信号与系统-11.2第六章

第六章,1,第六章 复频域系统函数与系统模拟,第六章,2,系统函数的零、极点分析,(1) h(t)随时间变化的规律取决于H(s)的极点分布 位于左半平面极点对应：暂态分量 位于右半平面极点对应：不稳定分量 位于j轴极点对应：(2) h(t)幅值大小、相位等取决于H(s)的零点、极点; H(s)的零点分布只影响h(t)波形的幅度和相位，不影响h(t)时域波形模式。 H(s)零点阶次的变化，则不仅影响h(t)的波形幅度和相位，还可能使其波形中出现冲激函数(t)。,复频域系统函数H(s),第六章,3,系统函数H(s)求法,1、 由系统的单位冲激响应h(t)求H(s)， H(s) h(t),2、 由系统的传输算子H(p)求H(s)；,3、 系统零状态响应与激励的像函数之比；,4、零状态系统的微分方程进行拉普拉斯变换，再按 求。,5、零状态下复频域电路模型求H(s)；,6系统模拟图，信号流图，根据梅森公式求H(s)。,系统的频率特性,7求周期激励下系统的稳态响应,若系统的激励为 f(t)=Fmcos(w0t+)U(t),系统的正弦稳态响应,第六章,4,系统模拟框图,基本模拟单元,直接形式、级联形式、并联形式,第六章,5,由系统模拟图求系统函数,设：中间变量为X,第六章,6, 6-5 系统的信号流图,信号流图定义,反映系统功能和信号流向的点、线集合图。,节点：表示系统的变量或信号,支路：表示信号流向的有向线段。,X1,X2,第六章,7,一、基本术语,节点：,5个节点,激励节点 响应节点 混合节点,支路 ：,通路：,开通路 前向开通路,环路 ：,三条前向通路,两条环路,互不接触环路 自环路 环路传输函数,流图特性： （1）信号只能沿支路方向传输； （2）支路输出为其输入信号与支路增益的乘积； （3）节点信号为输入该节点的各支路信号之和。,前向开通路的传输函数 ：,第六章,8,二、梅森(Mason)公式,式中,Pk ： 由输入节点到输出节点的第条前向通路的传输函数的乘积 。, k ：不与第条前向通路相接触的那一部分值。 即 把第K条前向通路去掉后的值。,返回,第六章,9,例 1,求系统函数H(s)Y(s)/F(s),解：,L1,L2,L3,L4,L5,第六章,10,例 2,求,解：,(1) 环路：,两两互不接触环路：,3个、3个以上互不接触环路：,F(s)到Y1(s)的前向通路：,P14AB14AB， P25GQAB15GQAB,1,L1,L2,L3,L4,L5,1-(GI+GHJ),2,=1,第六章,11,例 2,求,解：,(2),与H1(s)相同,F(s)到Y2(s)的前向通路：,P15GH15GH P24AEGH14AEGH,1,=1-(AC+ABD),2,=1,第六章,12,例3,图示系统，欲使H(s)=2，求系统函数H1(s)。,解：,画出该系统信号流图。利用梅森公式计算,2个环路：,没有互不接触环路,两个前向通道：,第六章,13, 6-6 系统的稳定性分析,一定义：,若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应，则该系统是稳定的。,Mf，My为有限正数,二稳定性准则（充要条件）,即：系统的单位冲激响应绝对可积，则系统稳定。,可见，系统的稳定性描述的是系统本身的特性，只取决于系统的结构与参数，与系统的激励和初始状态均无关。,必要条件：,第六章,14,三稳定性判断,时域,s域,1H(s)的极点判断,（1） H(s)极点全部位于s左半平面： 系统稳定（2）含有j 轴单极点，其余位于s左半平面：系统临界稳定（3）含有s右半平面或j 轴重极点： 系统不稳定,2霍尔维茨（Hurwitz）判断法：,（1）系数无缺项；（2）ai0，i=0，1，n D(s)称为霍尔维茨多项式。,系统稳定的必要条件：H(s)中的D(s)应为霍尔维茨多项式。（一、二阶系统的充要条件）,第六章,15,3、罗斯(Routh)判据,系统稳定的充分必要条件:特征方程的全部系数为正值，并且由特征方程系数组成的罗斯阵的第一列系数也为正值。,三稳定性判断,例,稳定条件：A0，B0,（1）D(s)应为霍尔维茨多项式；,（2）排列罗斯阵列（二阶以上）；,（3）判断系统的稳定性。,例,第六章,16,罗斯判据,罗斯阵的形式为：,返回,若所排出的数字阵列中第一列数字全部是正号，则H(s)的极点即全部位于s平面的左半平面，系统稳定； 若第一列(n+1)个数字的符号不完全相同，则符号改变的次数即等于在s平面右半平面上出现的H(s)的极点个数，系统不稳定。,第六章,17,例 1,判断各系统的稳定性,不稳定,缺s4,不稳定,D(s)为霍尔维茨多项式；,排列罗斯阵列,s3 a3 a1,s2 a2 a0,s1 0,s0 a0,不稳定,极点p1=2，位于s平面的右半平面。,不稳定,罗斯判据,=3 =8,=1 =2,=8,= -2/3,第六章,18,改变一次符号,改变一次符号,根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：,罗斯阵第一列所有系数均不为零，但也有不全为正数的情况：特征根在右开半平面的数目等于罗斯阵第一列系数符号改变的次数。例：线性系统的特征方程为：,罗斯阵为,可见系统不稳定，改变符号次数为2，表明有两个正实部的根。,第六章,19,根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：,罗斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不为零的情况。可用无穷小量（ 是正是负均可）代替零计算。例：线性系统的特征方程为：,罗斯阵为,故有两个根在右半平面。实际上,改变一次符号,改变一次符号,0,0,第六章,20,根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：,罗斯阵某一行全为零的情况。表明特征方程有一些大小相等，方向相反的根（共轭虚根jw0）。例：线性系统的特征方程为：,罗斯阵为,构成辅助多项式：,其导数为：,返回,第六章,21,罗斯阵某一行全为零的情况,系统没有正实部根，有共轭虚根，其根为,即,罗斯阵变为,返回,阵列中第一列数字符号没有变化，故H(s)在s平面的右平面上无极点，因而系统肯定不是不稳定的。,系统是临界稳定的,系统有四个根：,第六章,22,例 2,分析反馈系数K对系统稳定性的影响。,解：,系统稳定的必要条件：,K1,10K0，即K0,罗斯阵列,若取K=0,临界稳定（等幅振荡）,第六章,23,例 3,某线性时不变系统初始状态不为0，当激励f(t)(t)时，全响应为y(t)=3e-tU(t)；当激励f(t)U(t)时，全响应为y(t)=（1e-t）U(t)。求当激励f(t)tU(t)时，全响应为y(t)=？,解：,f(t)(t),F(s)1,y(t)=3e-tU(t),f(t)U(t),F(s)1/s,y(t)=（1e-t）U(t),f(t)tU(t),第六章,24,作业,6-26-56-86-12,6-166-176-20,第六章,25,第七章 离散系统的时域分析,第六章,26,7-1 离散信号及其时域特性,一、离散信号的定义两个方面来定义：仅在一些离散时刻 k (k=0,1, 2,)上才有定义 (确定的函数值)的信号称为离散时间信号，简称离散信号，用 f (k) 表示。连续时间信号经过抽样（即离散化）后所得到的抽样信号通常也称为离散信号，用f (kT)表示，T 为抽样周期。 f (kT)一般简写为f (k) 。,第六章,27,离散信号的表示方法：,（1）图形表示：,（2）数据表格：,（3）序列表示：,第六章,28,例,写出其序列形式并画出图形。,解：,序列形式,图形,序列的几种形式,（1）单边序列：,右序列：k1，压缩a倍 ；0a1 ，扩展1/a倍。,第六章,34,对f(k)进行展缩后得到序列y(k)可能会出现k为非整数情况，在此情况下舍去这些非整数的k及其值。即坐标k只能取整数。,k不取奇数,原为1/2，非整数序号,原为1/2,离散信号压缩后再展宽不能恢复原序列。,第六章,35,四、常用离散信号,1单位序列(k),单位取样序列、单位脉冲序列、单位函数,推广,性质,筛选性：,加权性：,可以将任意离散信号表示为一系列延时单位函数的加权和,第六章,36,(k)与(t) 差别:,(t)用面积表示强度，幅度为,(k)的值就是k0的瞬时值 （不是面积）,(t)是一个奇异信号，数学抽象， 实际中无法实现,(k)是一个非奇异信号， 可实现信号。,例：利用单位序列(k)表示任意序列,第六章,37,延迟的阶跃序列,截除性,单位阶跃序列,第六章,38,单位阶跃序列,U(k)与U(t)的差别：,U(t)是奇异信号， 数学抽象；,U(t)在t=0处发生跃变，U(0-)0，U(0+)1；,U(k)是非奇异信号，可实现信号；,U(k)在k=0处明确定义为1。,(k)与U(k)的关系,U(k)可以看作是无数个出现在不同序号上的单位序列信号之和。,第六章,39,单位矩形序列（单位门序列）GN(k),斜变序列,第六章,40,单边指数序列,递减序列,递增序列,正负相间，递减序列,正负相间，递增序列,第六章,41,正弦序列,数字角频率0与模拟角频率0的关系由于离散信号定义的时间为 kT，显然有： 0= 0T模拟角频率0的单位是 rad/s，而数字角频率0的单位为 rad。0表示相邻两个样值间弧度的变化量。,0表示1秒内变化了50个2 rad,0表示两个离散值之间的弧度变化量,第六章,42,正弦序列的周期,周期序列的定义： f (k+N)=f (k) 式中：N为序列的周期，只能为任意整数。周期 N 的计算方法：与模拟正弦信号不同，离散正弦序列是否为周期函数取决于比值2/0是正整数、有理数还是无理数。,是正整数时，则周期为N。因为：,是有理数时，则周期为,为无理数时，正弦序列就不再是周期序列。 但包络线仍是正弦函数。,第六章,43,例 1,求下列正弦序列的周期。,正整数,周期N=,有理数,周期N=,无理数,不是周期序列,第六章,44,例 2,下述四个等式中，正确的是_。,D,第六章,45,例 3,已知离散信号 f (k)=(k+2)U(k+2)-U(k-3), 求: f (k+1)+ f (-k+1)=？,f (k+1)+ f (-k+1)= (k+2)+6(k+1)+6(k)+6(k-1)+(k-2),折叠，右移,第六章,46,一、离散系统： 激励、响应均为离散时间信号的系统。,二、分类：,线性系统 非线性系统,线性系统,时不变系统,因果系统 非因果系统,因果系统,时不变系统 时 变 系 统,2 离散时间系统的数学描述,第六章,47,设 f (k)和 y (k)分别表示离散时间系统的输入和输出序列，分析以下系统的线性、时不变、因果性。,解：,(1),(2),(3),例 1,(1),齐次性,叠加性,不满足时不变性,线性时变离散时间系统,(2),不满足齐次性,不满足叠加性,时不变性,非线性时不变离散时间系统,（3）,线性时不变离散时间系统,第六章,48,三离散时间系统模型,线性时不变连续时间系统:,激励、响应是连续变量t的函数，系统数学模型微分方程。,线性时不变离散时间系统：,激励、响应是时间的离散值，系统数学模型差分方程,1差分方程描述,第六章,49,解：,离散时间变量kT代替连续时间变量t,y(t)的导数可近似写成,一阶差分方程,例2写出节点电压关系。,二阶差分方程,返回,第六章,50,差分方程,n阶前向差分方程,多用于状态变量分析法,n阶后向差分方程,多用于因果系统与数字滤波器的分析,差分方程阶数：响应最高序号与最低序号的差值。,离散自变量k不一定限于时间。,差分方程的重要特点是：系统当前的输出（即在k时刻的输出）y(k)，不仅与激励有关，而且与系统过去的输出 y(k-1), y(k-2), y(k-n) 有关，即系统具有记忆功能。,第六章,51,微分方程与差分方程的比较,第六章,52,传输算子及其应用,算子E 表示将序列向前(左)移一个时间间隔的运算 E f (k)= f (k+1), E2 f (k)= f (k+2), .算子E-1 表示将序列向后(右)移一个时间间隔的运算 E-1 f (k)= f (k-1), E-2 f (k)= f (k-2), .差分方程