基于内点法的最优潮流计算

摘要摘要 内点法是一种能在可行域内部寻优的方法 即从初始内点出发 沿着中心 路径方向在可行域内部直接走向最优解的方法 其中路径跟踪法是目前最具有 发展潜力的一类内点算法 该方法鲁棒性强 对初值的选择不敏感 在目前电 力系统优化问题中得到了广泛的应用 本文采用路径跟踪法进行最优求解 首 先介绍了路径跟踪法的基本模型 并且结合具体算例 用编写的 Matlab 程序进 行仿真分析 验证了该方法在最优潮流计算中的优越性能 关键词 关键词 最优潮流 内点法 路径跟踪法 仿真 电力系统稳态分析课程文论 第 页 共 页 目目 次次 0 引言 1 1 路径跟踪法的基本数学模型 2 2 路径跟踪法的最优潮流求解思路 3 3 具体算例及程序实现流程 6 3 1 算例描述 6 3 2 程序具体实现流程 7 4 运行结果及分析 11 4 1 运行结果 11 4 2 结果分析 16 5 结论 17 6 编程中遇到的问题 17 参考文献 19 附录 20 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 1 页 共 30 页 0 引言 引言 电力系统最优潮流 简称 OPF Optimal Power Flow OPF 问题是一个复 杂的非线性规划问题 要求满足待定的电力系统运行和安全约束条件下 通过 调整系统中可利用控制手段实现预定目标最优的系统稳定运行状态 针对不同 的应用 OPF 模型课以选择不同的控制变量 状态变量集合 不同的目标函数 以及不同的约束条件 其数学模型可描述为确定一组最优控制变量 u 以使目 标函数取极小值 并且满足如下等式和不等式 0 1 0 0 其中为优化的目标函数 可以表示系统运行成本最小 或者系 统运行网损最小 为等式约束 表示满足系统稳定运行的功率平 0 衡 为不等式约束 表示电源有功出力的上下界约束 节点电压上下 0 线约束 线路传输功率上下线约束等等 电力系统最优潮流算法大致可以分为两类 经典算法和智能算法 其中经 典算法主要是指以简化梯度法 牛顿法 内点法和解耦法为代表的基于线性规 划和非线性规划以及解耦原则的算法 是研究最多的最优潮流算法 这类算法 的特点是以一阶或二阶梯度作为寻找最优解的主要信息 智能算法主要是指遗 传算法和模拟退火发等 这类算法的特点是不以梯度作为寻优信息 属于非导 数的优化方法 因此经典算法的优点是能按目标函数的导数信息确定搜索方向 计算速度 快 算法比较成熟 结果可信度高 缺点是对目标函数及约束条件有一定的限 制 可能出现局部极小时难以收敛 而智能算法的优点是计算与导数无关 灵 活性高 随机性强 缺点是算法不稳定 结果不可信 并且控制参数需凭经验 给出 通过对这些常见算法的简单比较 内点法具有其优越的性能 特别是路径 跟踪法 其算法收敛迅速 鲁棒性强 对初值的选择不敏感 其迭代次数与系 统规模或控制变量的数目关系不大 因此本文采用该方法进行最优计算 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 2 页 共 30 页 1 路径跟踪法的基本数学模型路径跟踪法的基本数学模型 内点法最初的基本思路是希望通过寻优迭代过程始终在可行域内进行 因 此 初始点应在可行域内 并在可行域的边界设置 障碍 使迭代点接近边界 时其目标函数迅速增大 从而保证迭代点均在可行域的内点 但是对于大规模 实际问题而言 寻找初始点往往十分困难 为此许多学者长期以来致力于内点 算法初始 内点 条件的改进 以下介绍的路径跟踪法只要求在寻优过程中松 弛变量和拉格朗日乘子满足简单的大于 0 或者小于 0 的条件 即可代替原来必 须在可行域内求解的要求 使得计算过程大为简化 一般可以将最优潮流模型简化为如下的非线性优化模型 Obj 1 1 s t 1 2 0 1 3 其中为优化的目标函数 为等式约束 为 0 不等式约束 路径跟踪内点法的基本思路是 首先将式 1 3 的不等约束变成 等式约束 1 4 1 5 其中松弛变量 应满足 1 1 u 0 l 0 这样原问题就转化为问题 A Obj S t 0 h x g xug g xlg 然后 把目标函数改造成障碍函数 该函数在可行域内应接近于原函数 f x 而在边界时变得很大 一次可得带优化问题 B 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 3 页 共 30 页 obj 11 min log log rr rr jj f xuluu s t 0 h x g xug g xlg 其中扰动因子或者障碍因子 u 0 当 l 或 u 接近边界时 以上函数将趋于无 穷大 因此满足以上障碍目标函数的极小解不可能在边界上找到 这样就通过 目标函数的变化把含不等式限制的优化问题 A 变成只含等式限制优化的问题 B 了 因此可以直接用拉格朗日乘子法来求解 优化问题 B 的拉格朗日目标函数为 11 log log rr TTT rr jj Lf xy h xzg xlgwg xuguluu 式中 和均为拉格朗日乘子 yzw 因此最后简化的求解问题就是求取上述表达式的极小解 2 路径跟踪法的最优潮流求解思路路径跟踪法的最优潮流求解思路 路径跟踪法的最优潮流求解过程就是对拉格朗日目标函数求极小值问题 11 log log rr TTT rr jj Lf xy h xzg xlgwg xuguluu 式中 和均为拉格朗日乘子 该问题极小值存在的必要条件是拉格yzw 朗日函数对所有变量及乘子的偏导数为 0 即 2 1 1 1 w 0 0 0 u0 0 U0 xxxx y z w ll uu L Lf xh x yg x z x L Lh x y L Lg xlg z L Lg xg w L LzL eLLZee l L LweLUWee u 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 4 页 共 30 页 通过上述表达式可以解出 2 2 TT l zu w r 2 定义 称为互补间隙 可得 TT Gapl zu w 2 2 Gap r 3 如果 x 是优化问题 A 的最优解 当 u 固定时 x u 是优化问题 B 的解 那 么当 Gap0 u0 时 产生的序列 x u 收敛至 x 建议采用 式中称为中心参数 一般取 0 1 在大多 2 Gap r 0 1 数场合可获得较好的收敛效果 通过偏导数为 0 的表达式可以可得内点法的修正方程为 2 4 1 1 1 0000 000 0 00000 000 0 0000 0000 0 l T z x u T w x x x T y x L LzIL Z LlIg x U LwI LuIg x LxHh x Lyh x 求解方程可得到第 k 次迭代的修正量 于是最优解的一个新的近似解为 2 5 1 1 1 1 1 1 kk p kk p kk p kk d kk d kk d xxax llal uuau yyay zzaz wwaw 式中 和为步长 p a d a 0 9995min min 0 0 1 ii pii ii lu alu lu 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 5 页 共 30 页 2 6 0 9995min min 0 0 1 ii dii ii zw azw zw 其潮流计算的流程图如下图 1 所示 其中初始化部分包括 1 设置松弛变量 l 和 u 保证 l u T 0 2 设置拉格朗日乘子 w y z 满足 w0 Y 0 T 3 设置优化问题的初值 4 取中心参数 给定计算精度 迭代次数初值 K 0 0 1 图 1 内点法潮流计算流程图 输出最优解 停 止计算 计算互补间隙 Gap 计算扰动因子 计算和 p a d a 更新原始变量及拉格朗日乘子 k Kma x Gap 求解修正方程 求出 z l w u x y 输出 计算不收敛 初始化 是 是 否 否 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 6 页 共 30 页 3 具体算例及程序实现流程具体算例及程序实现流程 这部分主要有算例描述以及程序的实现流程两部分 其中算例描述主要是 对系统参数以及优化问题进行说明 而程序的实现流程主要描述的是最优潮流 计算中所涉及的矩阵方程的描述 3 1 算例描述 算例描述 该算例为王锡凡编写的 现代电力系统分析 中的 3 1 的例题 是以系统 燃料最省为最优潮流的目标函数 选择该题目作为算例分析的原因是 该题目 有比较详细的解题思路以及列写出了比较详细的迭代结果 方便对编写程序的 运行结果进行比对 求如下图所示简化系统的系统燃料最省的最优潮流计算 1 1 2 1 1 2 4 1 3 1 1 2 5 1 1 1 051 05 1 j0 015j0 03j0 25j0 25 0 08 j0 30 0 1 j0 35 0 04 j0 2 5 j0 25 j0 25 3 7 j1 32 j1 1 6 j0 8 除了由上图所提供的系统母线负荷功率数据 线路参数和变压器之路参数 数据 变压器便比数据之外 以下顺序给出了线路传输功率边界 表 3 1 发 电机有功无功出力上下界和燃料耗费曲线 参数 表 3 2 若不作特殊说明 所 有数据都是以标幺值形式给出 功率基准值为 100MVA 母线电压上下界分别 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 7 页 共 30 页 为 1 1 和 0 9 表 3 1 线路传输功率边界 支路号首末端母线号线路传输功率边界 11 22 21 30 65 32 32 42 46 53 55 表 3 2 发电机数据 出力上界出力下界燃料耗费曲线参数发电 机序 号 母线 号 有功无功有功无功二次系数一次系数常数 14831 350 4395200 43551200 64 25851 2 1200 55500 7451857 20 3 2 程序具体实现过程 程序具体实现过程 针对上述系统 首先我们先列写出该算例的数学模型和有关计算公式 在 该算例中 共有 5 个节点 相应的状态量为 1122334455 xVVVVV 系统中有 2 台发电机 没有其他无功源 因此控制变量为 1122 GGGG uPQPQ 应该指出 此处发电机和无功源的编号与及诶单编号无关 是独立编号的 这是因为系统中一个节点可能接有多台发电机的缘故 因此系统中总变量共有 14 个 11221122334455 GGGG xPQPQVVVVV 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 8 页 共 30 页 最优潮流的数学模型为 目标函数 2111110122212202 mPin 2P P2P GGGG aaaaaa 约束条件 每个节点有两个潮流方程 共有 10 个等式约束条件 对非发电机而言 i 1 2 3 5 1 5 1 cossin 0 sincos 0 A A iDiijijijijij j iDiijijijijij j PPVV GB QQVV GB 对发电机节点 i 4 5 5 1 5 1 cossin 0 sincos 0 A A iGkDiijijijijij k ij iGkDiijijijijij k ij PPPVV GB QQQVV GB 式中 表示第 k 台发电机接在节点 i 上 ki 不等式约束共有 14 个条件 分别是 1 2 1 2 1 5 5 GiGiGi GiGiGi iii ijijij PPPi QQQi VVVi PPP 对所有条支路 根据以上模型可以形成修正方程 该方程包括形成等式左边的系数矩阵和 等式右边的常数项两部分 1 形成系数矩阵 形成系数矩阵 1 等式约束的雅克比矩阵 G x R h P h h x Q h x 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 9 页 共 30 页 等式右端包括 3 个子矩阵 5511 1111 5511 2222 2 10 GGGG G GGGG PQPQ PPPP h PQPQP PPPP 其中 0 1 0 i Gj i Gj Q P ijP ijP 5511 1111 5511 2222 2 10 Q GGGG G GGGG PQPQ QPQ h PQPQQ QQQQ 其中 0 1 0 i Gj i Gj P Q ijQ ijQ 式中 i 为发电机的序号 j 为节点号 表示第 i 台发电机是在节点 j ij 上的 潮流计算中的雅克比矩阵 1111 1111 1111 1111 5555 1111 5555 1111 10 10 PQPQ PPPP VVVV h x PQPQ PQPQ VVVV 2 不等式约束的雅克比矩阵 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 10 页 共 30 页 3124 3124 3124 GGGG x GGGG gggg PPPP gggg g x QQQQ gggg xxxx 式中 和依次表示电源有功出力的上下界约束 无功电源 1 g 2 g 3 g 4 g 出力的上下界约束 节点电压赋值的上下界约束和线路潮流约束 1 2 2 G g I P 2 2 2 0 G g P 3 2 5 0 G g P 4 2 5 0 G g P 1 2 2 0 G g Q 2 2 2 G g I Q 3 2 5 0 G g Q 4 2 5 0 G g Q 1 10 2 0 g x 2 10 2 0 g x 3 10 5 00 00 10 00 00 00 00 01 g x 式中 第行列元素为 1 其他元素均为 0 2 ii 45414244 1111 45414244 1111 4 45414244 5555 41424445 5555 10 5 gggg gggg VVVV g x gggg gggg VVVV 3 对角矩阵 1 111414 1 111414 L Zdiag zlzl U Wdiag uwuw 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 11 页 共 30 页 4 海森伯矩阵 22211 T xxxxx Hf xh x yg x zwg x L ZU Wg x 这是最复杂的部分 共包含四项 有上述推导已经可以得到其中的第四项 为 11 T xx g x L ZU Wg x 其余三项是 目标函数的海森伯矩阵 等式约束海森伯矩阵与拉格 2 xf x 朗日乘子 y 的乘积和不等式约束海森伯矩阵与拉格朗日乘子的乘 2 xh x y zw 积 2 xg x z w 2 形成常数项 形成常数项 均可根据定义直接求得 可以表示为 yzwlu L L L L L x L 11 xxxxxlzuw Lf xh x yg x zwg x LLZLULWL 当知道目标函数梯度矢量 21111 22212 14 1 2 2 0 0 G G G x R f a PaP a Paf f x Q f x 之后 再根据以上等式和不等式约束的雅克比矩阵公式就可以求得 x L 4 运行结果及分析运行结果及分析 4 1 运行结果运行结果 以下对该算例的寻优过程用数字加以说明 设 4 5 节点发电机均能有算法 调节其出力 在初始化过程中各变量初值根据实际问题自行设置的 我们给出 所用变量的处置如下 节点电压 平衡节点V1 0 1 2 3 4 ii i 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 12 页 共 30 页 发电机出力有功取其边界值 松弛因子 当收敛条V1 05 0 ii 1 1 ii lu 件时 需要迭代进行 23 次 例题所给出的迭代次数为 17 次 6 10 表 4 1 迭代过程中各节点电压增量的变化情况 迭代次数 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 1 0 0 0 26638 0 0 2 0 0 0 0 0 3 2 1 3 1 3 4 0 0 2 0 2 5 0 0 0 189910 0 6 0 0 0 31384 0 0 7 0 0 0 52191 0 0 8 0 50336 0 1 0 1 9 0 0 052280 0 0 10 0 0 0 13409 0 0 11 0 0 0 135 0 02272 0 12 0 0 0 0 0 13 0 0 0 0966 0 0 14 0 0 0 0 0 15 0 0 0 016551 24E 05 0 16 0 0 0 01235 0 0 17 0 0 0 00473 0 0 18 0 0 002230 0 0 19 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 22 4 42E 08 7 14E 088 44E 061 71E 05 6 67E 08 23 9 43E 097 65E 091 38E 072 40E 081 58E 08 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 13 页 共 30 页 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 14 页 共 30 页 表 4 2 迭代过程中各节点相角增量的变化情况 迭代次数 1 2 3 4 5 1 10 10 9 10 9 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 5 28 46696 28 48845 28 5226 28 58592 28 6 32 35 29 147235 29 7 0 0 0 30025 0 0 8 0 0 0 3624 0 07659 0 9 0 0 0 271170 0 10 6054 9484 6300 9746058 9143059 0885 121 11 0 0 0 137520 0 12 131 1933 133 1411 129 232 131 1213 131 21147 13 0 0 0 0 0 14 0 0 0 111210 0 15 0 0 03296 0 048286 43E 02 0 16 0 0 0 0 0 17 0 0 0 18778 0 0 18 6 68934 6 67987 6 6504 6 62907 6 19 0 06977 0 0 00065 0 0 20 0 00417 0 0 00209 0 00978 0 21 0 973 E 060 966 E 060 97 E 060 9718 E 060 9797 E 06 22 1 42 E 08 1 43 E 08 1 43 E 08 1 43 E 08 1 41 E 08 23 1 01E 091 01E 091 1 E 081 01 E 091 01 E 09 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 15 页 共 30 页 表 4 3 迭代过程中有功源有功 无功源无功增量的变化情况 有功源有功出力增量无功源无功出力增量 迭代次数 1 G P 2 G P 1 G Q 2 G Q 1 6 0 0 2 2 1 0 3 3 3 0 0 11 7288 1 4 0 0 15 29238 5 0 0 3 1 6 1 0 3 0 7 0 0 4 0 8 0 0 6 524714 9 0 0 3 013663 10 0 0 1 0 11 0 0 1 473390 12 0 0 3 813813 13 0 0 0 458660 14 0 0 0 472941 15 0 0 0 3 58E 01 16 0 0 0 0 17 0 0810 0 247990 18 0 0 0 22899 0 19 0 36020 0 22777 0 20 0 0 0 0 21 0 0 0 0 22 1 41E 041 34E 042 33E 04 1 17E 04 23 2 60E 062 54E 063 21E 08 1 69E 07 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 16 页 共 30 页 将各次迭代过程中 Gap 变化情况绘制成曲线 可以显示出路劲跟踪法最优 潮流计算的收敛特性 如图 4 1 所示 0510152025 10 8 6 4 2 0 2 4 log Gap 互 互 互 互 互 互 互 互 互 互 互 互 图 4 1 5 节点系统最优潮流内点法收敛特性 图 4 2 为 5 节点系统最优潮流计算结果截图 其中包括迭代次数 燃料总 费用 发电机有功无功出力 各节点电压幅值与相角 以及各支路有功功率 注 结果中的值为标幺值 功率的基准值为 100MVA 4 2 结果分析结果分析 将最优潮流计算的结果和普通潮流计算结果进行比较 其中 PF 表示为普 通潮流计算 普通潮流计算中 发电机不会调节其出力 即 4 节点为 PQ 节点 5 节点为平衡节点 见表 4 4 和表 4 5 从表中可以看出 由于 4 机组比 5 机组 的燃料曲线系数小 因此 4 机组有功出力增加 5 机组有功出力减少 同时系 统的网损 无功功率都有所增加 这是由于要将 1 节点电压抬高至其下界以满 足不等式约束的要求而产生的副作用 但是网损的增加并不影响目标函数的优 化 整个系统的燃料费用与不优化的潮流计算相比仍然减少了 243 76 表 4 4 各有功源有功和无功源无功出力 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 17 页 共 30 页 有功出力无功出力燃料费用 发电机 序号 母线 序号OPFPFOPFPFOPFPF 145 50565 001 77801 883113833 063463 80 252 15682 57942 61942 29943870 134483 15 总计7 66247 57944 39744 13057703 207946 95 表 4 5 各节点电压向量 电压幅值电压相角 rad 母线序号OPFPFOPFPF 10 90000 8822 0 007 0 08340 21 10001 07790 40490 31160 31 08181 0364 0 0571 0 7473 41 06971 05000 478670 31160 51 1001 050000 5 结论结论 路径跟踪法在电力系统中应用与求解线性规划和非线性规划模型中 还是 比较有优势的 具有算法收敛迅速 鲁棒性强 对初值的选择不敏感 其迭代 次数与系统规模或控制变量的数目关系不大等特点 即在该简化模型中迭代次 数为 23 次 但是由于其迭代次数是与系统规模关系不大 对 IEEE30 IEEE118 节点系统的计算结果其迭代次数始终保持在 21 到 27 次之间 另外将水火电最 优潮流问题分解为火电最优潮流子问题和水电子问题 提供了有效的协调算法 但是对于路径跟踪法的影响因素还是比较多的 比如初始点的选择 迭代 步长的选取 壁垒参数的调整 离散变量的处理等等 如果选取不当可能会出 现不恰当的结果 因此还需要研究者们做大量的工作 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 18 页 共 30 页 6 编程中遇到的问题编程中遇到的问题 上图为例题所给出的迭代次数与仿真结果 可以看出除了迭代次数与书中 不一致以外 迭代的结果基本上完全一样 但在程序的实现过程中 很难按照书上的流程编写出结果一致的程序 因 为程序中有大量的矩阵计算 而且也不能将书上列写的矩阵直接翻译成 MATLAB 语言 需要进行一些不同的处理方式 所以需要在网上去寻找一些算 法的实现方式 另外在编程中发现 王锡凡的电力系统一书中 也有一些公式 书写有误的现象 所以需要对公式进行一定的验证推导 因此很大程度上会出 现问题 另外对于路径跟踪法来说 其初始点的选择 迭代步长的选取 壁垒参数 的调整等都对计算结果又一定的影响 而在本程序中 我选取的初始点以及拉 格朗日因子也都与例题所提供的有些许不同 如果选择和书中相同的参数 计 算结果就会出现问题 这其中的原因 我的猜测是可能在用 matalb 语言实现过 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 19 页 共 30 页 程中 细节方面可能与例题所展示的有所出入 由于时间关系 暂时还未找到 原因 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 20 页 共 30 页 参考文献参考文献 1 张伯明 高等电力网络分析 M 清华大学出版社 2007 2 王锡凡 现代电力系统分析 M 北京科学出版社 2003 3 张江红 最优潮流算法综述 J 华北电力 2010 07 4 赫玉国 一种基于 KarmarKar 内点法的最优潮流算法 J 中国机电工程 学报 1996 11 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 21 页 共 30 页 附录附录 clc clear 读取计算参数 Branch load Branch txt 支路参数文档 Node load Node txt 节点参数文档 Generator load Generator txt 发电机参数文档 支路数据提取 Nbr Branch 1 支路号 Nl Branch 2 支路首节点 Nr Branch 3 支路末节点 节点数据提取 N Node 1 节点号 Type Node 2 节点类型 Uamp Node 3 节点电压幅值 Dlta Node 4 节点电压相角 Pd Node 5 节点负荷有功 Qd Node 6 节点负荷无功 Pg Node 7 节点出力有功 Qg Node 8 节点出力无功 发电机数据提取 Ng Generator 1 发电机序号 Nbus Generator 2 所在母线号 a2 Generator 7 燃料耗费曲线二次系数 a1 Generator 8 燃料耗费曲线一次系数 a0 Generator 9 燃料耗费曲线常数项 计算参数初始化 n length N 节点个数 ng length Ng 发电机台数 nbr length Nbr 之路个数 x zeros 2 ng n 1 控制变量 状态量 x 1 ng Pg Nbus x ng 1 2 ng Qg Nbus x 2 ng 2 2 2 ng n Uamp x 2 ng 1 2 2 ng n 1 Dlta l 0 8 ones 2 ng n nbr 1 松弛变量 u 1 1 ones 2 ng n nbr 1 松弛变量 w 1 5 ones 2 ng n nbr 1 拉格朗日乘子 z ones 2 ng n nbr 1 拉格朗日乘子 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 22 页 共 30 页 y zeros 2 n 1 拉格朗日乘子 y 1 2 2 n 1 1e 3 y 2 2 2 n 1e 3 拉格朗日乘子 计算不等式约束的上下限 gmin的下界值 gmin zeros 2 ng n nbr 1 gmin 1 ng Generator 5 gmin ng 1 2 ng Generator 6 gmin 2 ng 1 2 ng n Node 10 gmin 2 ng n 1 2 ng n nbr Branch 8 gmax得上界值 gmax zeros 2 ng n nbr 1 gmax 1 ng Generator 3 gmax ng 1 2 ng Generator 4 gmax 2 ng 1 2 ng n Node 9 gmax 2 ng n 1 2 ng n nbr Branch 8 生成导纳矩阵 Y zeros n for k 1 nbr t1 Branch k 2 t2 Branch k 3 R Branch k 4 X Branch k 5 ban Branch k 6 K Branch k 7 Y t1 t1 Y t1 t1 1 R j X j ban Y t1 t2 Y t1 t2 1 K R j X Y t2 t1 Y t2 t1 1 K R j X Y t2 t2 Y t2 t2 1 K K R j X j ban end G real Y B imag Y k 0 迭代次数 主程序 while k1e 3 miu 0 1 Gap k 1 2 2 ng n nbr 形成系数矩阵 theta zeros n n for ii 1 n for jj 1 n theta ii jj Dlta ii Dlta jj end end 1 等式约束雅克比矩阵 hx zeros 2 ng n 2 n ah aP for ii 1 ng hx Ng ii 2 Nbus ii 1 1 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 23 页 共 30 页 end ah aQ for ii 1 ng hx Ng ii ng 2 Nbus ii 1 end ah ax H1 zeros n n J1 zeros n n N1 zeros n n L1 zeros n n for ii 1 n for jj 1 n if ii jj i j的情况 非对角元素 H1 ii jj Uamp ii Uamp jj G ii jj sin theta ii jj B ii jj cos theta ii jj J1 ii jj Uamp ii Uamp jj G ii jj cos theta ii jj B ii jj sin theta ii jj N1 ii jj Uamp ii G ii jj cos theta ii jj B ii jj sin theta ii jj L1 ii jj Uamp ii G ii jj sin theta ii jj B ii jj cos theta ii jj 对角元素 H1 ii ii H1 ii ii Uamp ii Uamp jj G ii jj sin theta ii jj B ii jj cos theta ii jj J1 ii ii J1 ii ii Uamp ii Uamp jj G ii jj cos theta ii jj B ii jj sin theta ii j j N1 ii ii N1 ii ii Uamp jj G ii jj cos theta ii jj B ii jj sin theta ii jj L1 ii ii L1 ii ii Uamp jj G ii jj sin theta ii jj B ii jj cos theta ii jj end end N1 ii ii N1 ii ii 2 Uamp ii G ii ii L1 ii ii L1 ii ii 2 Uamp ii B ii ii end hx 1 2 ng 2 2 n ng 1 1 2 2 n 1 H1 hx 1 2 ng 2 2 n ng 1 2 2 2 n J1 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 24 页 共 30 页 hx 2 2 ng 2 2 n ng 1 2 2 n 1 N1 hx 2 2 ng 2 2 n ng 2 2 2 n L1 2 不等式约束的雅克比矩阵 agaP eye ng ng zeros ng ng zeros ng n zeros ng nbr agaQ zeros ng ng eye ng ng zeros ng n zeros ng nbr ag1ax zeros 2 n ng ag2ax zeros 2 n ng ag3ax zeros 2 n n for ii 1 n ag3ax 2 ii ii 1 end ag4ax zeros 2 n nbr for ii 1 n for jj 1 nbr if Nl jj ii ag4ax 2 ii 1 jj Uamp Nl jj Uamp Nr jj G Nl jj Nr jj sin theta Nl jj Nr jj B Nl jj Nr jj cos theta Nl jj Nr jj ag4ax 2 ii jj Uamp Nr jj G Nl jj Nr jj cos theta Nl jj Nr jj B Nl jj N r jj sin theta Nl jj Nr jj 2 Uamp Nl jj G Nl jj Nr jj end if Nr jj ii ag4ax 2 ii 1 jj Uamp Nl jj Uamp Nr jj G Nl jj Nr jj sin theta Nl jj Nr jj B Nl jj Nr jj cos theta Nl jj Nr jj ag4ax 2 ii jj Uamp Nl jj G Nl jj Nr jj cos theta Nl jj Nr jj B Nl jj Nr jj sin theta Nl jj Nr jj end end end pxg agaP agaQ ag1ax ag2ax ag3ax ag4ax 3 对角矩阵 L 1Z zeros 2 ng n nbr 2 ng n nbr U 1W zeros 2 ng n nbr 2 ng n nbr for ii 1 2 ng n nbr L 1Z ii ii z ii l ii 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 25 页 共 30 页 U 1W ii ii w ii u ii end 4 海森伯矩阵 将海森伯矩阵分为四块H1 H2 H3 H4 H1 A2 diag a2 H1 zeros 2 ng n 2 ng n H1 1 ng 1 ng 2 A2 H2 H2 zeros 2 ng n 2 ng n A zeros 2 n 2 n Apb zeros 2 n 2 n n Aqb zeros 2 n 2 n n for ii 1 n for jj 1 n if ii jj Apb 2 ii 1 2 ii 1 ii Apb 2 ii 1 2 ii 1 ii Uamp ii Uamp jj G ii jj cos theta ii jj B ii jj sin theta ii jj Apb 2 ii 1 2 ii ii Apb 2 ii 1 2 ii ii Uamp jj G ii jj sin the ta ii jj B ii jj cos theta ii jj Aqb 2 ii 1 2 ii 1 ii Aqb 2 ii 1 2 ii 1 ii Uamp ii Uamp jj G ii jj sin theta ii jj B ii jj cos theta ii jj Aqb 2 ii 1 2 ii ii Aqb 2 ii 1 2 ii ii Uamp jj G ii jj cos theta ii jj B ii jj sin theta ii j j Apb 2 jj 1 2 jj 1 ii Uamp ii Uamp jj G ii jj cos theta ii jj B ii jj sin theta ii jj Apb 2 jj 1 2 jj ii Uamp ii G ii jj sin theta ii jj B ii jj cos theta ii jj Apb 2 jj 2 jj 1 ii Apb 2 jj 1 2 jj ii Aqb 2 jj 1 2 jj 1 ii Uamp ii Uamp jj G ii jj 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 26 页 共 30 页 sin theta ii jj B ii jj cos theta ii jj Aqb 2 jj 1 2 jj ii Uamp ii G ii jj cos theta ii jj B ii jj sin theta ii jj Aqb 2 jj 2 jj 1 ii Aqb 2 jj 1 2 jj ii Apb 2 ii 1 2 jj 1 ii Uamp ii Uamp jj G ii jj cos theta ii jj B ii jj sin theta ii jj Apb 2 ii 1 2 jj ii Uamp ii G ii jj sin theta ii jj B ii jj cos theta ii jj Apb 2 ii 2 jj 1 ii Uamp jj G ii jj sin theta ii jj B ii jj cos theta ii jj Apb 2 ii 2 jj ii G ii jj cos theta ii jj B ii jj sin theta ii jj Aqb 2 ii 1 2 jj 1 ii Uamp ii Uamp jj G ii jj sin theta ii jj B ii jj cos theta ii jj Aqb 2 ii 1 2 jj ii Uamp ii G ii jj cos theta ii jj B ii jj sin theta ii j j Aqb 2 ii 2 jj 1 ii Uamp jj G ii jj cos theta ii jj B ii jj sin theta ii j j Aqb 2 ii 2 jj ii G ii jj sin theta ii jj B ii jj cos theta ii jj Apb 2 jj 1 2 ii 1 ii Apb 2 ii 1 2 jj 1 ii Apb 2 jj 1 2 ii ii Apb 2 ii 2 jj 1 ii Apb 2 jj 2 ii 1 ii Apb 2 ii 1 2 jj ii Apb 2 jj 2 ii ii Apb 2 ii 2 jj ii Aqb 2 jj 1 2 ii 1 ii Aqb 2 ii 1 2 jj 1 ii Aqb 2 jj 1 2 ii ii Aqb 2 ii 2 jj 1 ii Aqb 2 jj 2 ii 1 ii Aqb 2 ii 1 2 jj ii Aqb 2 jj 2 ii ii Aqb 2 ii 2 jj ii 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 27 页 共 30 页 end end Apb 2 ii 2 ii 1 ii Apb 2 ii 1 2 ii ii Apb 2 ii 2 ii ii 2 G ii ii Aqb 2 ii 2 ii 1 ii Aqb 2 ii 1 2 ii ii Aqb 2 ii 2 ii ii 2 B ii ii end for ii 1 n A A Apb ii y 2 ii 1 Aqb ii y 2 ii end H2 2 ng 1 2 ng n 2 ng 1 2 ng n A H3 H3 zeros 2 ng n 2 ng n 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G Nl ii Nr ii sin theta Nl ii Nr ii B Nl ii Nr ii cos theta Nl ii N r ii Apc 2 Nl ii 2 Nr ii ii G Nl ii Nr ii cos theta Nl ii Nr ii B Nl ii Nr ii sin th eta Nl ii Nr ii 非对角线ji Apc 2 Nr ii 1 2 Nl ii 1 ii Apc 2 Nl ii 1 2 Nr ii 1 ii Apc 2 Nr ii 1 2 Nl ii ii Apc 2 Nl ii 2 Nr ii 1 ii Apc 2 Nr ii 2 Nl ii 1 ii Apc 2 Nl ii 1 2 Nr ii ii Apc 2 Nr ii 2 Nl ii ii Apc 2 Nl ii 2 Nr ii ii 求和 c z w A3 A3 Apc ii c 2 ng n ii end H3 2 ng 1 2 ng n 2 ng 1 2 ng n A3 H4 H4 pxg L 1Z U 1W pxg H H1 H2 H3 H4 形成常系数项 Ly h zeros 2 n 1 for ii 1 n h 2 ii 1 Pg ii Pd ii h 2 ii Qg ii Qd ii for jj 1 n h 2 ii 1 h 2 ii 1 Uamp ii Uamp jj 电电力力系系统统稳稳态态分分析析课课程程论论文文 第 29 页 共 30 页 G ii jj cos theta ii jj B ii jj sin theta ii jj h 2 ii h 2 ii Uamp ii Uamp jj G ii jj sin theta ii jj B ii jj cos theta ii jj end end Ly h Lz gx zeros 2 ng n nbr 1 gx 1 ng x 1 ng gx ng 1 2 ng x ng 1 2 ng gx