因式分解法解一元二次方程典型例题

典型例题一典型例题一 例 用因式分解法解下列方程 1 y2 7y 6 0 2 t 2t 1 3 2t 1 3 2x 1 x 1 1 解 1 方程可变形为 y 1 y 6 0 y 1 0 或y 6 0 y1 1 y2 6 2 方程可变形为t 2t 1 3 2t 1 0 2t 1 t 3 0 2t 1 0 或t 3 0 t1 t2 3 2 1 3 方程可变形为 2x2 3x 0 x 2x 3 0 x 0 或 2x 3 0 x1 0 x2 2 3 说明 1 在用因式分解法解一元二次方程时 一般地要把方程整理为一般 式 如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积 而右边为零时 则可 令每一个一次因式为零 得到两个一元一次方程 解出这两个一元一次方程的 解就是原方程的两个解了 2 应用因式分解法解形如 x a x b c的方程 其左边是两个一次因 式之积 但右边不是零 所以应转化为形如 x e x f 0 的形式 这时才 有x1 e x2 f 否则会产生错误 如 3 可能产生如下的错解 原方程变形为 2x 1 1 或x 1 1 x1 1 x2 2 3 在方程 2 中 为什么方程两边不能同除以 2t 1 请同学们思考 典型例题二典型例题二 例 用因式分解法解下列方程 622336 2 xxx 解 把方程左边因式分解为 0 23 32 xx 或032 x023 x 3 2 2 3 21 xx 说明 对于无理数系数的一元二次方程 若左边可分解为一次因式积的形式 均可用因式分解法求出方程的解 典型例题三典型例题三 例 用因式分解法解下列方程 152 2 yy 解 移项得 0152 2 yy 把方程左边因式分解 得 0 3 52 yy 或052 y03 y 3 2 5 21 yy 说明 在用因式分解法解一元二次方程时 一定要注意 把方程整理为一般 式 如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积 而右边为零时 则可 令每一个一次因式都为零 得到两个一元一次方程 解出这两个一元一次方程 的解就是原方程的两个解了 典型例题四典型例题四 例 用因式分解法解下列方程 1 02136 2 xx 2 0 23 9 12 3 22 xx 分析 一元二次方程化为一般形式后 在一般情况下 左边是一个二次三 项式 右边是零 二次三项式 通常用因式分解的方法 可以分解成两个一次因 式的积 从而可求出方程的根 但有些问题 可直接用因式分解法求解 例如 2 符合平方差公式的结构特征 解 1 原方程可变形为 0 2 16 xx 或 016 x02 x 2 6 1 21 xx 2 原方程可化为 0 633 332 22 xx 即 0 633332 633332 xxxx 0 363 6335 xx 或 06335 x0363 x 321 5 132 21 xx 说明 因式分解将二次方程化为一次方程求解 起到了降次的作用 这种化 未知为已知的解题思想 是数学中的 化归思想 事实上 将多元方程组化为 一元方程 也是此法 典型例题五典型例题五 例 用因式分解法解方程 1 0365 2 xx 2 0 32 3 32 2 2 xx 3 0223 222 2 xx 4 066 2332 2 xy 分析 用因式分解法解一元二次方程时 应将方程化为的形式 然0 BA 后通过或 求出 0 A0 B 21 x x 解 1 0 4 9 xx 或 09 x04 x 4 9 21 xx 2 0 364 32 xx 即 0 94 32 xx 或 032 x094 x 4 9 2 3 21 xx 3 0 223 1 xx 即 或 01 x0 223 x 223 1 21 xx 4 0 23 32 yy 即 或 032 y023 y 23 32 21 yy 说明 有些系数或常数是无理数的一元二次方程 只要熟悉无理数的分解方法 也可将之和因式分解法求解 典型例题六典型例题六 例 用适当方法解下列方程 1 2 052 2 x 2 1 1 225 2 xxxx 3 4 14 1 2 3 2 22 xxx 01034 2 xx 5 用配方法 0473 2 xx 解 1 移项 得 52 2 x 方程两边都除以 2 得 2 5 2 x 解这个方程 得 2 5 x 10 2 1 x 即 10 2 1 1 x 10 2 1 2 x 2 展开 整理 得 0 4 2 xx 方程可变形为 0 14 xx 或 0 x014 x 4 1 0 21 xx 3 展开 整理 得 015164 2 xx 方程可变形为 0 52 32 xx 或032 x052 x 2 5 2 3 21 xx 4 10 34 1 cba 081014 34 4 22 acb 232 2 2234 12 8 34 x 232 1 x232 2 x 5 移项 得 473 2 xx 方程各项都除以 3 得 3 4 3 7 2 xx 配方 得 222 6 7 3 4 6 7 3 7 xx 36 1 6 7 2 x 解这个方程 得 6 1 6 7 x 即 3 4 1 x 1 2 x 说明 当一元二次方程本身特征不明显时 需先将方程化为一般形式 若 a c 异号时 可用直接开平方法求解 如0 2 cbxax0 a0 b l 题 若 时 可用因式分解法求解 如 2 题 若0 a0 b0 c a b c 均不为零 有的可用因式分解法求解 如 3 题 有的可用公式法求 解 如 4 题 配方法做为一种重要的数学方法也应掌握 如 5 题 而有些一元二次方程有较明显特征时 不一定都要化成一般形式 如方程 可用直接开平方法或因式分解法求解 又如方程04 3 2 x 也不必展开整理成一般形式 因为方程两边都有 2 1 14 2 xxxx 移项后提取公因式 得 用因式分解法求解 得0 1 14 2 xxx 对于这样的方程 一定注意不能把方程两边都除以 这 3 2 2 21 xx 2 x 会丢掉一个根 也就是方程两边不能除以含有未知数的整式 2 x 典型例题七典型例题七 例 解关于的方程 x031120 222 nmnxxm0 m 解法一 原方程可变形为 0 34 5 nmxnmx 或05 nmx034 nmx 0 m 4 3 5 21 m n x m n x 解法二 2 20ma mnb11 2 3nc acb4 2 2 11 mn 2 204m 3 2 n 0361 22 nm 又 0 m 40 1911 202 3611 22 22 m mnmn m nmmn x 4 3 5 21 m n x m n x 说明 解字母系数方程时 除了要分清已知数和未知数 还要注意题目中给 出的条件 要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零 对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法 也要根据题目 的特点选用较简单的解法 本题的解法一显然比解法二要简单 典型例题八典型例题八 例 已知 试解关于的方程12 mx 1 1 2 2 xxxmx 分析 由 容易得到或 整理关干 x 的方程 得12 m3 m1 m 题目中没有指明这个方程是一元二次方程 因此对二次032 1 2 mxxm 项系数要进行讨论 当时 方程是一元一次方程 当时 方程01 m 01 m 是一元二次方程 解 由 得12 m 12 m 1 3 21 mm 整理 得 1 1 2 2 xxxmx 0 32 1 2 mxxm 当时 原方程为 3 m0362 2 xx 解得 2 33 2 33 21 xx 当时 原方程为 1 m032 x 解得 2 3 x 当时 3 m 2 33 2 33 21 xx 当时 1 m 2 3 x 填空题填空题 1 方程的根是 2 2 2 xx 2 方程的解是 46 1 3 xxx 3 方程的解是 02 12 3 12 2 yy 答案 1 2 3 32 21 xx 2121 21 xx 2 3 1 21 yy 解答题解答题 1 用因式分解法解下列方程 1 2 42 2 2 xx0 3 3 4 2 xxx 3 4 061110 2 xx 22 1 4 2 9 xx 5 6 0 2 xx0352 2 xx 7 8 0107 2 xx0189 2 xx 9 10 061110 2 xx07116 2 xx 2 用因式分解法解下列方程 1 2 5 1 3 xx065 4 9 4 14 2 xx 3 02 2 1 5 2 1 3 2 xx 3 用因式分解法解下列关于的一元二次方程 x 1 2 0 22 xkxx02 222 nmmxx 3 4 0543 22 mmxx0181715 22 mxxm 0 m 5 0 222 abxbaabx 0 ab 4 用适当的方法解下列方程 1 2 0494 2 x094 2 xx 3 4 2 2 xx6242 2 xx 5 6 01 2 xx0252 2 xx 5 已知三角形的两边分别是 1 和 2 第三边的数值是方程的根 0352 2 xx 求这个三角形的周长 答案 1 1 2 02 21 xx 43 21 xx 3 4 5 2 2 3 21 xx 5 4 8 21 xx 5 6 7 8 0 1 x1 2 x5 1 x7 2 x2 1 x5 2 x3 1 x 9 10 6 2 x 2 3 1 x 5 2 2 x 2 1 1 x 3 7 2 x 2 1 42 21 xx 2 3 7 41 2 3 21 xx 2 5 6 1 21 xx 3 1