保角变换PPT课件

复变函数 保角映射和初等变换 目录 复变函数保角映射初等变换 复变函数基本概念 自变量为复数 是 的复变函数 连续 lim 0 0 lim 0 0 可微 解析 在 0的某领域内有定义且可微 奇异点 在 0的某领域内没有定义或不可微的点 复变函数基本概念 柯西 黎曼条件 C R条件 若复变函数 是解析的 则 和 形成一对共轭函数 也一定满足柯西 黎曼条件 共轭调和函数 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 const 和 const 两组相互正交的曲线簇 一般地 若其中某一曲线簇与平面二维场的等位面相合 另一曲线簇同平面二维场电力线相合 则称前者为电位函数 后者为通量函数 将通量函数 和电位函数 看作是复变函数的实部和虚部 复变函数基本概念 复变函数到保角变换 求解平面二维边值问题最有用的方法是保角变换法 通常是通过分析 选取合适的解析函数 使得待求边值问题的边界条件与该解析函数的实部和虚部的变化曲线相吻合 从而得到复位函数的表达式 求出简单边界问题的解 再求其逆变换 从而得到所求问题的解 保角变换基本概念 曲线切线倾角的复数表示 0 0 0 lim 0 0 0 0 解析函数的导数的几何意义 arg 0 arg 0 arg 0 arg 0 arg 0 0 0 0 保角变换基本概念 伸缩率不变性 旋转角不变性 0 arg 0 1 1 2 2 1 2 1 2 保角变换基本概念 保角变换的概念 第一类保角映射1 在 0处具有伸缩率不变性2 在 0处具有保角性第二类保角映射1 在 0处具有伸缩率不变性2 在 0处具有角度绝对值不变而旋转方向相反 保角变换基本概念 保角变换的重要定理 保角变换基本概念 二维标量亥姆霍兹方程的变换 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 重要特性 1 变换前后 泊松方程形式不变2 变换前后 总电量不变3 变换前后 电极间的电容不变4 变换前后 电场强度的幅值间满足 2 上述特性在二维平面场的保角变换中十分有用 初等变换 分式线性变换 分式线性变换特例 平移变换 旋转变换 相似变换 倒数变换 1 任何一个分式线性变换都可以表示成上述变换的乘积 初等变换 分式线性变换性质 保角性 保圆性 保对称性 保交比性 分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的 具有保角性 分式线性变换在扩充复平面上的圆周变换为扩充复平面上的圆周 且具有保圆性 在 平面上两点关于圆周 对称 那么分式变换下 在 平面的对应两点关于 的像曲线对称 4 1 4 2 3 1 3 2 4 1 4 2 3 1 3 2 初等变换 其他初等函数构成的变换 幂函数与根式函数变换对 指数 对数变换对 将 平面上以原点为顶点的角形域映射成 平面以原点为顶点的角形域 但是张角为原来的 1 倍 将 平面上 和 为常数的矩形网格映射到 平面上 其方程为 初等变换 其他初等函数构成的变换 正弦 反正弦变换对 余弦 反余弦变换对 将 平面上 和 为常数的矩形网格映射到 平面上 其方程为 一条为双曲线 一条为椭圆线 就如微带线的电力线和电位线 将 平面上 和 为常数的矩形网格映射到 平面上 其方程为 一条为双曲线 一条为椭圆线 就如微带线的电力线和电位线 初等变换 其他初等函数构成的变换 双曲正弦 反双曲正弦变换对 双曲余弦 反双曲余弦变换对 将 平面上 和 为常数的矩形网格映射到 平面上 其方程为 一条为双曲线 一条为椭圆线 就如微带线的电力线和电位线 将 平面上 和 为常数的矩形网格映射到 平面上 其方程为 一条为双曲线 一条为椭圆线 就如微带线的电力线和电位线 初等变换 其他初等函数构成的变换 双曲正切 反双曲正切变换对 儒可夫斯基变换 将 平面上 和 为常数的矩形网格映射到 平面上 其方程为 圆心分别为 2 0 和 0 2 两条椭圆线 初等变换