2010年天津市大学数学竞赛试题

20101 2010 年天津市大学数学竞赛试题 经济管理类 年天津市大学数学竞赛试题 经济管理类 一 填空一 填空 本题 本题 15 分 每小题分 每小题 3 分 请将最终结果填在相应的横线上面 分 请将最终结果填在相应的横线上面 1 设 则 111 1 2312 n x n lim n n x 2 设曲线 在拐点 处有水平切线 则 b 642 yfxxbxcx 11 f c 3 1f 2 11 0 ded t x t t tx 4 已知 a b c 是两两垂直的单位向量 u a b c 则 u 5 设曲线的极坐标方程为 则该曲线上相应于 从 0 变到 2 的 e0 a a 一段弧与极轴所围成的图形的面积为 二 选择题二 选择题 本题 本题 15 分 每小题分 每小题 3 分 每个小题的四个选项中仅有一个是正确的 分 每个小题的四个选项中仅有一个是正确的 把你认为把你认为 正确选项正确选项 前的字母填在括号内 选对得分 选错 不选或选出的答案多于一前的字母填在括号内 选对得分 选错 不选或选出的答案多于一 个 不得分 个 不得分 1 设函数 其中 是有界函数 则 在 1cos 0 g0 x x xfx xx x g x fx 点处 0 x A 极限不存在 B 极限存在 但不连续 C 连续但不可导 D 可导 2 设函数 连续 则 fx 322 0 d d d x t fxtt x A B C D 2 32 0 d x xf uux fx 3 0 x f 32 x fx 2 0 d x xf uu 3 下列命题 设 且 则必有lim n n ua lim n n vb ab n1 2 nn uv 设 且 则必有 n1 2 nn uv lim n n ua lim n n vb ba 设 且 则 必存在 正确的 n1 2 nnn uxv lim0 nn n uv lim n n x 个数为 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 20102 4 设周期函数 可导 周期为 3 且 fx 11f 1 11 lim1 2 x ffx x 则曲线 在点 处的切线方程为 yfx 44 f A B C D 30 xy 250 xy 220 xy 290 xy 5 设函数 若在区间 内 则 xf xf 0 0 x f 0 x f xf 在区间 内 0 A B 0 x f 0 x f 0 x f 0 x f C D 0 x f 0 x f 0 x f 0 x f 三 计算 本题 7 分 1 326 lime1 2 n n n nnn 四 设 求 本题 6 分 1 arctan 1 x fx x 5 0f 五 设对任意 x 函数 满足等式 求 的 fx e2e3sin x x fxf xx fx 极值 本题 7 分 六 设 a b 均为常数且 问 a b 为何值时 有2a 0a 1 0 2 1 2 d1lnd1 2 2 xxx axx abxx 七 设 证明 存在并求其值 1 12a 1 121 2 3 nn aa n lim n n a 本题 8 分 八 设 是区间 上的函数 且 证明 fx 2a a 1fx 1fx 本题 7 分 2fx 2xa a 九 设 是由 所确定的二元函数 求 本题 6 zz x y ezzxy 2 2 z x 2 y z x 分 十 设区域 函数 在区域 D 上连续且 02 02Dx yx y fx y 20103 证明 存在 使 d d0 D fx yx y yd d1 D x fx yx y D 本题 8 分 1 d d1 D f xyx y 十一 证明 本题 7 分 1 230 1d 26 4 x xx 十二 20 世纪初意大利经济学家基尼 Gini coefficient 根据洛伦茨曲线提出判断社会分配平 等程度的指标 建立坐标系如图 很明显 y x 这条直线表示收入分配完全平等 称为绝对 平等线 折线 OPM 表示收入分配极端不平等 全部收入集中在一个人手中 称为绝对不 平等线 介于二线之间 的实际收入分配曲线就是洛伦茨曲线 洛伦茨曲线与绝对平等线 OM 越接近 收入分配越平等 洛伦茨曲线与绝对不平等线 OPM 越接近 收入分配越不平等 1 请你建立一个数学模型 用以判断社会分配公平程度 并将社会分配公平程度进行量 化 2