函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

1 函数对称性 周期性和奇偶性函数对称性 周期性和奇偶性 关岭民中数学组关岭民中数学组 一 同一函数的函数的奇偶性与对称性 奇偶性是一种特殊的对称性 1 奇偶性 1 奇函数关于 0 0 对称 奇函数有关系式0 xfxf 2 偶函数关于 y 即 x 0 轴对称 偶函数有关系式 xfxf 2 奇偶性的拓展 同一函数的对称性 1 函数的轴对称 函数关于对称 xfy ax xafxaf 也可以写成 或 xafxaf 2 xafxf 2 xafxf 若写成 则函数关于直线 xbfxaf xfy 对称 22 baxbxa x 证明 设点在上 通过可知 11 yx xfy 2 xafxf 即点上 而点 2 111 xafxfy 2 11 xfyyxa 也在 与点关于 x a 对称 得证 11 yx 2 11 yxa 说明 关于对称要求横坐标之和为 纵坐标相等 ax 2a 关于对称 函数关于对称 1111 ax yax y 与xa xfy ax xafxaf 关于对称 函数关于对称 1111 2 x yax y 与xa xfy ax 2 xafxf 关于对称 函数关于对称 1111 2 x yax y 与xa xfy ax 2 xafxf 2 函数的点对称 函数关于点对称 xfy ba bxafxaf2 或 bxfxaf2 2 上述关系也可以写成bxfxaf2 2 若写成 函数关于点 对称cxbfxaf xfy 2 2 cba 2 证明 设点在上 即 通过 11 yx xfy 11 xfy bxfxaf2 2 可知 所以 所以点bxfxaf2 2 11 111 2 2 2 ybxfbxaf 也在上 而点与关于对称 2 2 11 ybxa xfy 2 2 11 ybxa 11 yx ba 得证 说明 关于点对称要求横坐标之和为 纵坐标之和为 如 ba2a2b 之和为 axax 与 2a 3 函数关于点对称 假设函数关于对称 即关于任一个 xfy by by 值 都有两个 y 值与其对应 显然这不符合函数的定义 故函数自身不可能x 关于对称 但在曲线 c x y 0 则有可能会出现关于对称 比如圆by by 它会关于 y 0 对称 04 22 yxyxc 4 复合函数的奇偶性的性质定理 性质 1 复数函数 y f g x 为偶函数 则 f g x f g x 复合函数 y f g x 为奇函数 则 f g x f g x 性质 2 复合函数 y f x a 为偶函数 则 f x a f x a 复合函数 y f x a 为奇函数 则 f x a f a x 性质 3 复合函数 y f x a 为偶函数 则 y f x 关于直线 x a 轴对称 复合函数 y f x a 为奇函数 则 y f x 关于点 a 0 中心对称 总结 总结 x x 的系数一个为的系数一个为 1 1 一个为 一个为 1 1 相加除以 相加除以 2 2 可得对称轴方程 可得对称轴方程 总结 总结 x x 的系数一个为的系数一个为 1 1 一个为 一个为 1 1 f x f x 整理成两边 其中一个的系数是为整理成两边 其中一个的系数是为 1 1 另一个为 另一个为 1 1 存在对称中心 存在对称中心 总结 总结 x x 的系数同为为的系数同为为 1 1 具有周期性 具有周期性 二 两个函数的图象对称性 1 与关于 X 轴对称 yf x yf x 证明 设上任一点为 则 所以经过点 yf x 11 x y 11 yf x yf x 11 xy 与关于 X 轴对称 与关于 X 轴对 11 x y 11 xy 11 yf x yf x 称 3 注 换种说法 与若满足 即它们关于 xfy yg xf x xgxf 对称 0 y 2 与关于 Y 轴对称 yf x yfx 证明 设上任一点为则 所以经过点 yf x 11 x y 11 yf x yfx 11 x y 与关于 Y 轴对称 与关于 Y 轴对 11 x y 11 x y yf x yfx 称 注 因为代入得所以经过点 11 x y yfx 111 yfxf x yfx 11 x y 换种说法 与若满足 即它们关于 xfy yg xfx xgxf 对称 0 x gxfxf x 3 与关于直线 对称 yf x 2 yfax xa 证明 设上任一点为则 所以经过点 yf x 11 x y 11 yf x 2 yfax 11 2 ax y 与 关于轴对称 与关 11 x y 11 2 ax y xa yf x 2 yfax 于直线 对称 xa 注 换种说法 与若满足 即它们 xfy 2 yg xfax 2 xagxf 关于对称 ax 4 与关于直线对称 xfy 2xfay ay 证明 设上任一点为则 所以经过点 yf x 11 x y 11 yf x 2xfay 11 2 xay 与 关于轴对称 与关于直线 11 x y 11 2 xay ya xfy 2xfay 对称 ay 注 换种说法 与若满足 即它们 xfy 2 yg xaf x axgxf2 关于对称 ay 5 关于点 a b 对称 2 2 xafbyxfy 与 4 证明 设上任一点为则 所以经过 yf x 11 x y 11 yf x 2 2 ybfax 点 11 2 2 axby 与关于点 a b 对称 关 11 x y 11 2 2 axby 2 2 xafbyxfy 与 于点 a b 对称 注 换种说法 与若满足 xfy 2 2 yg xbfax bxagxf2 2 即它们关于点 a b 对称 2 2 2 2 2 gaxbfaaxbf x 6 与关于直线对称 xafy yf xb 2 ba x 证明 设上任一点为则 所以经过点 yf x 11 x y 11 yf x yf ax 经过点 与关于直线 11 ax y yf bx 11 bx y 11 ax y 11 bx y 对称 2 ba x 与关于直线对称 xafy yf xb 2 ba x 三 总规律 定义在 上的函数 在对称性 周期性和奇偶性这三条 xfy 性质中 只要有两条存在 则第三条一定存在 一 同一函数的周期性 对称性问题 即函数自身 一 函数的周期性 对于函数 如果存在一个不为零的常数 T 使得 xfy 当 x 取定义域内的每一个值时 都有都成立 那么就把函数 xfTxf 叫做周期函数 不为零的常数 T 叫做这个函数的周期 如果所有的周 xfy 期中存在着一个最小的正数 就把这个最小的正数叫做最小正周期 1 周期性 1 函数满足如下关系式 则 xfy Txf2 的周期为 A B xfTxf 1 1 xf Txf xf Txf 或 C 或 等式右边加负号亦成立 1 1 2 xf xfT xf 1 1 2 xf xfT xf D 其他情形 5 2 函数满足且 则可推出 xfy xafxaf xbfxbf 即可以 2 2 2 2 abxfbxabfbxabfxafxf 得到的周期为 2 b a 即可以得到 如果函数在定义域内关于垂直于 xfy x 轴两条直线对称 则函数一定是周期函数 3 如果奇函数满足则可以推出其周期是 2T 且可以推出对 xfTxf 称 轴为 根据可以找出其对称中心为kT T x2 2 zk 2 Txfxf 以上 0 kT zk 0 T 如果偶函数满足则亦可以推出周期是 2T 且可以推出对称中 xfTxf 心为 根据可以推出对称轴为 0 2 2 kT T zk 2 Txfxf kTTx2 以上 zk 0 T 4 如果奇函数 xfy 满足 xTfxTf 0 T 则函数 xfy 是 以 4T 为周期的周期性函数 如果偶函数 xfy 满足 xTfxTf 0 T 则函数 xfy 是以 2T 为周期的周期性函数 定理 1 若函数在 R 上满足 且 xf xafxaf 其 xbfxbf 中 则函数以为周期 ba xfy ba 2 定理 2 若函数在 R 上满足 且 xf xafxaf xbfxbf 其中 则函数以为周期 ba xfy ba 2 定理 3 若函数在 R 上满足 且 xf xafxaf 其 xbfxbf 中 则函数以为周期 ba xfy ba 4 定理 4 若函数 f x 的图像关于直线 x a 和 x b 都对称 则 f x 是周 6 期函数 2 b a 是它的一个周期 未必是最小正周期 定理 5 若函数 f x 的图像关于点 a c 和 b c 都成中心对称 则 f x 是 周期函数 2 b a 是它的一个周期 未必是最小正周期 定理 6 若函数 f x 关于点 a c 和 x b 都对称 则 f x 是周期 4 b a 是它的一个周期 未必是最小正周期 定理 7 若函数 f x 满足 f x a f x a a 0 则 f x 是周期函数 2a 是 它