高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例课件2

2 7向量应用举例 题型探究 类型一向量在解析几何中的应用 典例 1 点P0 1 2 到直线l 2x y 10 0的距离为 2 已知 ABC的三顶点A 0 4 B 4 0 C 6 2 点D E F分别为边BC CA AB的中点 1 求直线DE EF FD的方程 2 求AB边上的高线CH所在的直线方程 解题探究 1 典例1中点P0到直线l的距离的实质是什么 提示 实质是过点P0作直线m 垂足与P0的距离 2 典例2题 1 中直线DE有什么特征 题 2 中的CH呢 提示 设点M为直线DE上任意一点 则设点N为CH所在的直线上任意一点 则 解析 1 方法一 取直线l的一个法向量为n 2 1 在直线l上任取一点P 5 0 所以 6 2 所以点到直线l的距离d就是在法向量n上的射影 设与n的夹角为 所以故点P0到直线l的距离为 方法二 由点到直线的距离公式得答案 2 1 由已知得点D 1 1 E 3 1 F 2 2 设点M x y 是直线DE上任一点 则所以 2 x 1 2 y 1 0 即x y 2 0为直线DE的方程 同理可求 直线EF FD的方程分别为x 5y 8 0 x y 0 2 设点N x y 是CH所在的直线上任一点 则所以4 x 6 4 y 2 0 即x y 4 0为所求直线CH所在的直线方程 方法技巧 1 直线的法向量n 2 利用方向向量及法向量求直线方程的关键及常用结论 1 关键是探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或法向量的关系 2 常用结论如下 所求直线与已知直线平行 则和已知直线的方向向量平行 和已知直线的法向量垂直 所求直线与已知直线垂直 则和已知直线的方向向量垂直 和已知直线的法向量平行 变式训练 已知圆C x 3 2 y 3 2 4及点A 1 1 M是圆C上的任一点 点N在线段MA的延长线上 且求点N的轨迹方程 解析 设N x y M x0 y0 所以 1 x0 1 y0 x 1 y 1 依题设则 1 x0 1 y0 2 x 1 y 1 所以又因为点M x0 y0 在圆C上 所以 x0 3 2 y0 3 2 4 则x2 y2 1 故点N的轨迹方程为x2 y2 1 类型二向量在平面几何中的应用 典例 已知正方形ABCD中 E F分别是CD AD的中点 BE CF交于点P 求证 BE CF 解题探究 典例中如何用向量证明BE CF 提示 可证明 证明 建立如图所示的平面直角坐标系 设AB 2 则A 0 0 B 2 0 C 2 2 E 1 2 F 0 1 所以 1 2 2 1 0 所以即BE CF 延伸探究 1 改变问法 本例条件不变 证明 AP AB 证明 连接AP 建系同例题 设点P坐标为 x y 则因为所以x 2 y 1 即x 2y 2 同理 由得y 2x 4 由 所以点P坐标为所以即AP AB 2 变换条件 本例条件变为 P为对角线BD上的一点 四边形PECF是矩形 求证 PA EF 证明 方法一 基向量法 如图 设由已知得 a b 且a b 0 设所以 所以即AP EF 方法二 坐标法 如图 以A为坐标原点 AB所在直线为x轴 建立平面直角坐标系 设正方形的边长为1 则A 0 0 所以故所以即AP EF 方法技巧 1 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 1 向量的线性运算法的四个步骤 选取基底 用基底表示相关向量 利用向量的线性运算或数量积找相应关系 把几何问题向量化 2 向量的坐标运算法的四个步骤 建立适当的平面直角坐标系 把相关向量坐标化 用向量的坐标运算找相应关系 把几何问题向量化 2 用向量解决平面几何问题的常用策略 1 证明线段相等 平行 常运用向量加法的三角形法则 平行四边形法则 有时也用到向量减法的定义 2 证明线段平行 三角形相似 判断两直线是否平行 常运用向量平行的条件 a b a b b 0 或者a b x1y2 x2y1 0 3 证明线段的垂直问题 如证明四边形是矩形 正方形 判断两直线是否垂直等 常运用向量垂直的条件 a b a b 0 或者a b x1x2 y1y2 0 4 求与夹角相关的问题 往往利用向量的夹角公式cos 如求三角形的面积用公式S absinC时 可能会利用夹角公式求出cosC 进而求出sinC 5 向量的坐标法 对于有些平面几何问题 如矩形 正方形 直角三角形等 可建立平面直角坐标系 把向量用坐标表示 通过代数运算解决几何问题 补偿训练 如图 已知Rt OAB中 AOB 90 OA 3 OB 2 M在OB上 且OM 1 N在OA上 且ON 1 P为AM与BN的交点 求AP 解析 设 延伸探究 1 改变问法 本题条件不变 求 MPN 解析 设的夹角为 则所以 所以cos 又因为 0 所以 因为 MPN即为向量的夹角 所以 MPN 2 变换条件 本题条件变为 等腰Rt OAB中 OA OB 2 D是BO的中点 E是AB上的点 且AE 2BE 求证AD OE 证明 如图 以O为坐标原点 以OA OB所在的直线为x轴 y轴建立坐标系 则A 2 0 因为AO BO 所以B 0 2 因为D为BO的中点 所以D 0 1 所以 0 2 2 0 2 2 0 1 2 0 2 1 所以所以所以AD OE 类型三向量在物理中的应用 典例 1 如图 无弹性的细绳OA OB的一端分别固定在A B处 同样无弹性的细绳OC下端系着一称盘 且使得OB OC 试分析三根绳子受力的大小 判断哪根绳受力最大 2 某人在静水中游泳 速度为4km h 如果他径直游向河对岸 水的流速为4km h 他实际沿什么方向前进 速度大小为多少 解题探究 1 典例1中考查的知识点是什么 提示 向量加法的平行四边形法则 2 典例2中某人在水中的速度与其在静水中的速度及水的流速有什么关系 提示 某人在水中的速度是其在静水中的速度及水的流速的和 解析 1 设OA OB OC三根绳子的受力分别为a b c 则a b c 0 a与b的合力为c a b c c 在如图的平行四边形中 因为所以即 a b 且 a c 故绳OA受力最大 2 如图 设人游泳的速度为 水流的速度为 以OA OB为邻边作平行四边形OACB 则此人的实际速度为根据勾股定理 且在Rt ACO中 COA 60 故此人实际沿与水速夹角为60 的方向前进 速度大小为8km h 延伸探究 改变问法 典例2条件不变 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进 求出其与河岸夹角的余弦值即可 他实际前进的速度大小为多少 解析 如图 设此人的实际速度为 水流速度为 因为实际速度 游速 水速 故游速为在Rt AOB中 所以cos BAO 故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为 且逆着水流方向 实际前进速度的大小为4km h 方法技巧 利用向量解决物理问题的步骤 变式训练 两个力F1 i j F2 4i 5j作用于同一质点 使该质点从点A 20 15 移动到点B 7 0 其中i j分别是与x轴 y轴同方向的单位向量 求 1 F1 F2分别对该质点做的功 2 F1 F2的合力F对该质点做的功 解题指南 明确所求力及其位移 代入公式 得出结论 解析 7 20 i 0 15 j 13i 15j 1 F1做的功W1 F1 s F1 i j 13i 15j 28J F2做的功W2 F2 s F2 4i 5j 13i 15j 23J 2 F F1 F2 5i 4j 所以F做的功W F s F 5i 4j 13i 15j 5J 补偿训练 如图 在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体 绳子与铅垂方向的夹角为 绳子所受到的拉力为F1 1 求 F1 F2 随角 的变化而变化的情况 2 当 F1 2 G 时 求角 的取值范围 解析 1 如图 由力的平衡及向量加法的平行四边形法则 得 F1 F2 G tan 当 从0 趋向于90 时 F1 F2 都逐渐变大 2 由 1 得 F1 由 F1 2 G 得cos 又因为0 90 所以0 60 易错案例用错向量的性质及运算法则致误 典例 在 ABC中 设若a b b c c a 判断三角形ABC的形状 失误案例 错解分析 分析上面的解析过程 你知道错在哪里吗 提示 以上三种解法都犯了推理不严谨的错误 解法一中 只有在a b同向共线时 才有a b a b 成立 解法二错在 a c b 0 而b 0 故a c 0 得到a c 这里由 a c b 0只能得出 a c b 而不能得到a c 解法三错在由a b b c 而b 0 得a c 向量具有方向 不能像数量那样 在进行计算时可以约分 自我矫正 因为a b b c 所以 a c b 0 而由向量加法的三角形法则可知 a b c 0 所以b a c 所以 a c a c 0 即 a c a c 0 得到a2 c2 0 a2 c2 即 a 2 c 2 也就是 a c 同理可得 a