高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积课件2

2 5从力做的功到向量的数量积 知识提炼 1 向量的夹角与投影 1 夹角 定义 已知两个非零向量a和b 作 a b 则 叫作向量a与b的夹角 范围 AOB 0 180 大小与向量共线 垂直的关系 0 a与b 180 a与b 90 a b 同向 反向 2 投影 定义 如图所示 a b 过点B作BB1垂直于直线OA 垂足为B1 则OB1 叫做向量b在a方向上的投影数量 简称投影 b cos b cos 大小与夹角的关系 b 正值 0 负值 b 2 向量的数量积 1 定义 已知两个向量a与b 它们的夹角为 我们把 叫作a与b的数量积 或内积 记作 即a b a b cos a b a b cos 2 几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a方向上投影 的乘积 或b的长度 与a在b方向上投影 的乘积 3 物理意义 力对物体做功 就是力F与其作用下物体的位移s的数量积 b cos b a cos F s 4 性质 若e是单位向量 则e a a e a b 其中a b为非零向量 a cos a b 0 对任意两个向量a b 有 a b a b a cos a b 0 5 运算律 交换律 a b 结合律 a b 分配律 a b c b a a b a b a b a c 即时小测 1 思考下列问题 1 向量的夹角与直线的倾斜角的范围相同吗 提示 不相同 向量的夹角范围为 0 而直线的倾斜角范围为 0 2 影响数量积的大小的因素有哪些 提示 影响数量积的大小的因素有向量的模及其夹角的大小 2 若e1 e2是两个平行的单位向量 则下面结果正确的是 A e1 e2 1B e1 e2 1C e1 e2 1D e1 e2 1 解析 选C 由于e1 e2是两个平行的单位向量 设其夹角为 则 cos 1 所以 e1 e2 cos 1 3 若a b 0 则a与b的夹角 的取值范围是 解析 选A 因为a b 0 所以cos 0 所以 4 若e1 e2是夹角为的单位向量 且a 2e1 e2 b 3e1 2e2 则a b等于 A 1B 4C D 解析 选C a b 2e1 e2 3e1 2e2 6 e1 2 e1 e2 cos 2 e2 2 6 12 1 1 2 12 5 已知 a 5 b 6 若a b 则a b 解析 由a b 可知a与b的夹角为0或 故a b 30 答案 30 知识探究 知识点1向量的数量积观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 向量的数量积可正 可负 可为零 其决定因素是什么 问题2 向量数量积a b中的 能否省去 总结提升 1 数量积的写法及与实数乘积的区别两向量a b的数量积也称作内积 写成a b 其应与代数中的a b的乘积ab区分开来 其中 是一种运算符号 不同于实数的乘法符号 在向量运算中既不能省略 也不能用 代替 2 数量积运算的结果 1 向量线性运算的结果是一个向量 但两个向量的数量积是一个数量 2 由于0 180 所以a b可以为正数 负数和零 且当0 0 当 90 时 a b 0 当90 180 时 a b 0 3 若a为零向量 则 a 0 从而a b 0 故零向量与任一向量的数量积为0 4 a a a2 a 2 5 两个单位向量的数量积等于它们的夹角的余弦值 知识点2数量积的性质及运算律观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 向量的数量积有什么重要的性质 问题2 数量积与实数乘积有什么差异 总结提升 1 数量积五条性质的应用性质 1 可以帮助理解数量积的几何意义 性质 2 可以解决有关垂直的问题 性质 3 可以求向量的长度 性质 4 可以求两向量的夹角 性质 5 可以解决有关不等式的问题 当且仅当a b时 等号成立 2 数量积运算遵循的运算律及常用公式 1 遵循的运算律 数量积的运算只适合交换律 分配律及数乘结合律 不适合乘法结合律 即 a b c不一定等于a b c 这是由于 a b c表示一个与c共线的向量 而a b c 表示一个与a共线的向量 而c与a不一定共线 2 常用公式及注意点 a b a b a 2 b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 注意 a 2 a a b 2 b b 题型探究 类型一平面向量数量积的概念及运算 典例 1 a 2 向量a与向量b的夹角为120 则向量a在向量b方向上的射影等于 A 2B 120 C 1D 由向量b的长度确定2 已知 a 3 b 6 当 1 a b 2 a b 3 a与b的夹角是60 时 分别求a b a a b 解题探究 1 向量a在向量b方向上的射影公式是什么 提示 a cos 2 a b时 两向量的夹角是多少 提示 若a与b同向 则它们的夹角 0 若a与b反向 则它们的夹角 180 解析 1 选C 根据平面向量数量积的几何意义可知 a cos120 2 1 2 1 当a b时 若a与b同向 则它们的夹角 0 所以a b a b cos0 3 6 1 18 a a b a2 a b 9 18 27 若a与b反向 则它们的夹角 180 所以a b a b cos180 3 6 1 18 a a b a2 a b 9 18 9 2 当a b时 它们的夹角 90 所以a b 0 a a b a2 9 3 当a与b的夹角是60 时 有a b a b cos60 3 6 9 a a b a2 a b 18 方法技巧 1 求平面向量数量积的流程 2 形如 ma nb ka lb 的运算技巧及注意点 1 技巧 类似于实数多项式的运算 将运算转化为向量a b的数量积运算 2 注意点 a与b的数量积不可书写或认为是ab a2 a 2的应用 拓展延伸 数量积运算时的两个注意点 1 要找准两向量的夹角 2 注意向量数量积的运算律的应用 变式训练 已知正三角形ABC的边长为1 求 解析 1 的夹角为60 所以 2 因为的夹角为120 所以 类型二利用数量积求向量的模 典例 已知 a b 5 向量a与b的夹角为 求 a b a b 解题探究 联想到 a 2 a2 要求 a b a b 应先求什么 提示 应求 a b 2与 a b 2 进而可知先求a b 解析 方法一 由题意可得a b a b cos 5 5 因为 a b 2 a 2 b 2 2a b 25 25 2 75 所以 a b 5 同理因为 a b 2 a 2 b 2 2a b 25 所以 a b 5 方法二 由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD 使AB AD 5 设如图 则 延伸探究 1 改变问法 本例的条件不变求 3a b 解析 由题意可得a b a b cos 5 5 因为 3a b 2 3a b 2 9a2 b2 6a b 325 所以 3a b 5 2 变换条件 本例的已知条件若改为 a b 5 且 3a 2b 5 如何求 3a b 的值 解析 因为 3a 2b 2 9 a 2 12a b 4 b 2 9 25 12a b 4 25 325 12a b 又因为 3a 2b 5 所以325 12a b 25 即a b 25 所以 3a b 2 3a b 2 9a2 6a b b2 9 25 6 25 25 400 所以 3a b 20 方法技巧 求向量的模的常用思路及方法 1 求模问题一般转化为求模平方 与向量数量积联系 并灵活应用a2 a 2 勿忘记开方 2 a a a2 a 2或 a 此性质可用来求向量的模 可以实现实数运算与向量运算的相互转化 3 一些常见的等式应熟记 如 a b 2 a2 2a b b2 a b a b a2 b2等 补偿训练 已知向量a与b的夹角为120 且 a 4 b 2 求 1 a b 2 3a 4b 解析 a b a b cos 4 2 cos120 4 1 因为 a b 2 a2 2a b b2 a 2 2a b b 2 42 2 4 22 12 所以 a b 2 2 因为 3a 4b 2 3a 4b 2 9a2 24a b 16b2 9 16 24 4 16 4 304 所以 3a 4b 4 延伸探究 1 变换条件 本例条件变为 已知向量a与b的夹角为120 且 a 4 a b 2 求 b 解析 因为a b a b cos 4 b cos120 2 b 所以 a b 2 a2 2a b b2 a 2 2a b b 2 16 4 b b 2 因为 a b 2 即 a b 2 12 所以16 4 b b 2 12 解得 b 2 2 改变问法 若本例删去条件 已知向量a与b的夹角为120 求 a b 的取值范围 解析 设向量a与b的夹角为 则a b a b cos 4 2 cos 8cos a b 2 a2 2a b b2 42 2 8cos 22 20 16cos 因为 0 所以cos 1 1 所以 a b 2 4 36 则 a b 2 6 类型三向量的夹角或垂直 典例 1 已知 a 1 b 4 a b a 2b 29 则a与b夹角 2 已知向量a b c满足a b c 0 且 a 3 b 5 c 7 求a与b的夹角 解题探究 1 典例1中 若求a与b的夹角 还需要什么 提示 需要利用 a b a 2b 29求出a b 2 要求a与b的夹角 关键是先求哪些量 提示 关键是先求a b 解析 1 因为 a b a 2b a 2 a b 2 b 2 1 a b 32 31 a b 所以 31 a b 29 所以a b 2 所以又因为0 所以 答案 2 因为a b c 0 所以a b c 所以 a b c 所以 a b 2 c2 即a2 2a b b2 c2 所以a b 又因为a b a b cos 所以 3 5 cos 即cos 因为 0 所以 延伸探究 典例2中若条件不变 是否存在实数 使 a b与a 2b垂直 存在 求出 值 不存在 说明理由 解析 假设存在实数 使 a b与a 2b垂直 可得 a b a 2b 0 即 a2 2b2 2 a b a b 0 所以9 2 25 2 解得 所以存在 使得 a b与a 2b垂直 方法技巧 1 求向量夹角的解题流程及注意事项 1 解题流程 2 注意事项在个别含有 a b 与a b的等量关系式中 常利用消元思想计算cos 的值 2 求cos 的两种情形 1 求出a b a b 的值代入公式计算 2 得到a b a b 之间的关系代入公式计算 3 两向量垂直的确定与应用 1 确定 通常利用两向量垂直的充要条件 即计算a b是否为0 2 应用 若a b 则a b 0可求其中参数的值 变式训练 2015 重庆高考 若非零向量a b满足且则a与b的夹角为 解题指南 解答本题可以根据相互垂直的向量的数量积为零进行计算 然后求出夹角 解析 选A 设a与b的夹角为 因为所以解得cos 因为 0 所以 补偿训练 1 已知a b都是非零向量 且a 3b与7a 5b垂直 a 4b与7a 2b垂直 求a与b的夹角 解题指南 由 a 3b 7a 5b 0及 a 4b 7a 2b 0建立a b与b2以及 a 与 b 的等量关系 可求a与b的夹角 解析 由已知得 a 3b 7a 5b 0 即7a2 16a b 15b2 0 a 4b 7a 2b 0 即7a2 30a b 8b2 0 两式相减得2a b b2 所以a b b2 代入 中任一式得a2 b2 设a b的夹角为 则因为0 180 所以 60 2 设n和m是两个单位向量 其夹角是60 求向量a 2m n与b 2n 3m的夹角 解析 m和n是两个单位向量 其夹角是60 所以m n m n cos60 设a 2m n与b 2n 3m的夹角为 所以因为0 180 所以 120 即a 2m n与b 2n 3m的夹角为120 易错案例根据向量的夹角求范围 典例 设两个向量e1 e2满足 e1 2 e2 1 e1 e2的夹角为60 若向量2te1 7e2与e1 te2的夹角为钝角 求实数t的取值范围 失误案例 错解分析 分析上面的解析过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因在于忽视了向量的夹角的取值范围 2te1 7e2 e1 te2 0包括了向量2te1 7e2与e1 te2的夹角为 即共线且方向相反的情况 故应排除这种情况 自我矫正 由向量2te1 7e2与e1 te2的夹角 为钝角 得cos 即 2te1 7e2 e1 te2 0 化简得2t2 15t 7 0 解得 7 t 当夹角为 时 也有 2te1 7e2 e1 te2 0 但此时夹角不是钝角 设2te1 7e2 e1 te2 0 则所以所求实数t的取值范围是 防范措施 1 注意向量夹角的取值范围由公式co