高中数学第二章平面向量2.5向量的应用教案

2.5向量的应用教学分析1在生产和日常生活中，有时会遇到既有大小，又有方向的量，这就为采用向量法解决问题提供方便，向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁这样向量又为解决几何问题提供了理论基础，本节主要在于让学生了解向量来源于实际又为解决实际问题及几何问题提供方便，教学中注意难度的控制，同时还要注意，向量也是解决许多物理问题的有力工具2本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果代数方法的流程图可以简单地表述为：则向量方法的流程图可以简单地表述为：这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点3研究几何可以采取不同的方法这些方法包括：综合方法不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；解析方法以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；向量方法以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；分析方法以微积分为工具，对几何元素及其关系进行讨论，等等前三种方法都是中学数学中出现的内容有些平面几何问题，利用向量方法求解比较容易使用向量方法的要点在于用向量表示线段或点，根据点与线之间的关系，建立向量等式，再根据向量的线性相关与无关的性质，得出向量的系数应满足的方程组，求出方程组的解，从而解决问题使用向量方法时，要注意向量起点的选取，选取得当可使计算过程大大简化通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用三维目标1通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”理解并掌握用向量方法解决平面几何问题的步骤明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示2通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段重点难点教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”教学难点：如何将实际问题化归为向量问题课时安排2课时第1课时导入新课思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便本节专门研究平面几何中的向量方法思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用推进新课一、向量在几何中的应用1证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的条件ab ab x1y2x2y10(b0)2证明垂直问题，常用向量垂直的条件abab0x1x2y1y20.3求夹角问题利用夹角公式cos.4求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|或|AB|.5用向量处理其他代数或几何问题二、用向量法解决几何问题的“三步曲”1建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2通过向量运算，研究几何元素之间的关系；3把运算结果“翻译”成几何关系引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”即：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系这个“三步曲”用流程图表示为：思路1例1课本本节例2.变式训练1.如图1，连结平行四边形ABCD的顶点B至AD、DC边的中点E、F，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？图1活动：为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系，教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形，测量AR、RT、TC的长度，让学生发现ARRTTC，拖动平行四边形的顶点，动态观察发现，ARRTTC这个规律不变，因此猜想ARRTTC.事实上，由于R、T是对角线AC上的两点，要判断AR、RT、TC之间的关系，只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可又因为AR、RT、TC、AC共线，所以只需判断，与之间的关系即可探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：ARRTTC.解：如图1，设a，b，r，t，则ab.由于与共线，所以，我们设rn(ab)，nR，又因为ab，与共线，所以我们设mm(ab)因为，所以rbm(ab)因此n(ab)bm(ab)，即(nm)a(n)b0.由于向量a、b不共线，要使上式为0，必须解得nm.所以.同理.于是，所以ARRTTC.2.如图2，AD、BE、CF是ABC的三条高求证：AD、BE、CF相交于一点图2证明：设BE、CF相交于H，并设b，c，h，则hb，hc，cb.因为，所以(hb)c0，(hc)b0，即(hb)c(hc)b，化简得h(cb)0.所以.所以AH与AD共线，即AD、BE、CF相交于一点H.例2课本本节例3.思路21如图3，已知在等腰ABC中，BB、CC是两腰上的中线，且BBCC，求顶角A的余弦值图3活动：教师可引导学生思考探究，上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标如果能比较方便的建立起平面直角坐标系，如本例中的图形，很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成解：建立如图3所示的平面直角坐标系，取A(0，a)，C(c,0)，则B(c,0)，(0，a)，(c，a)，(c,0)，(2c,0)，因为BB、CC为两中线，所以()(2c,0)(c，a)(，)同理(，)因为BBCC，所以c20，a29c2.所以cosA.变式训练如图4，在RtABC中，已知BCa.若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值图4解：方法一：如图4.，0.，()()a2a2()a2a2a2cos，故当cos1，即0，与的方向相同时，最大，其最大值为0.方法二：如图5.图5以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系设|AB|c，|AC|b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ|2a，|BC|a.设点P的坐标为(x，y)，则Q(x，y)，(xc，y)，(x，yb)，(c，b)，(2x，2y)(xc)(x)y(yb)(x2y2)cxby.cos，cxbya2cos.a2a2cos.故当cos1，即0，与的方向相同时，最大，其最大值为0.课本本节练习2、3、4.1由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤，即“三步曲”特别是这“三步曲”，要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度2本节都学习了哪些数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点课本习题2.53、4、6、7.1本节是对研究平面几何方法的探究与归纳，设计的指导思想是：充分使用多媒体这个现代化手段，引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动本节知识方法容量较大，思维含量较高，教师要把握好火候，恰时恰点的激发学生的智慧火花2由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题，因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续的解析几何内容等知识的交汇，提高学生综合解决问题的能力3平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的条件及定比分点的向量式等，它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力一、利用向量解决几何问题的进一步探讨用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处，特别是处理线段相等，线线平行，垂直，点共线，线共点等问题，往往简单明了，少走弯路，同时避免了复杂，烦琐的运算和推理，可以收到事半功倍的效果现举几例以供教师学生进一步探究使用1证明线线平行例1如图6，在梯形ABCD中，E，F分别为腰AB，CD的中点图6求证：EFBC，且|(|)证明：连ED，EC，ADBC，可设(0)又E，F是中点，0.且()，而(1)，.EF与BC无公共点，EFBC.又0，|(|)(|)2证明线线垂直例2如图7，在ABC中，由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD与BE，且AD与BE交于H，连结CH，求证：CHAB.图7证明：由已知AHBC，BHAC，有0，0，又，故有()0，且()0，两式相减，得()0，即0，即CHAB.3证明线共点或点共线例3求证：三角形三边中线共点，且该点到顶点的距离等于该中线长的.解：已知：ABC的三边中点分别为D，E，F(如图8)，图8求证：AE，BF，CD共点，且.证明：设AE，BF相交于点G，1，由定比分点的向量式有，又F是AC的中点，()，设2，则， 12，2，即.又(2)()，C，G，D共线，且.二、备用习题1有一边长为1的正方形ABCD，设a，b，c，则|abc|_.2已知|a|2，|b|，a与b的夹角为45，则使ba与a垂直的_.3在等边ABC中，a，b，c，且|a|1，则abbcca_.4已知三个向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A，B，C三点共线，则k_.5如图9所示，已知矩形ABCD，AC是对角线，E是AC的中点，过点E作MN交AD于点M，交BC于点N，试运用向量知识证明AMCN.图96已知四边形ABCD满足|2|2|2|2，M为对角线AC的中点求证：|.7求证：如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补参考答案：122.23.4.2或115解：建立如图10所示的直角坐标系，设BCa，BAb，则C(a,0)，A(0，b)，E(，)图10又设M(x2，b)，N(x1,0)，则(x2,0)，(x1a,0)，(x2，)，(x1，)，(x2)()(x1)()0.x2ax1.|x2|ax1|x1a|.而|x1a|，|，即AMCN.6解：设a，b，c，d，abcd0，ab(cd)a2b22abc2d22cd.|2|2|2|2，a2b2(d)2(c)2c2d2.由得abcd.M是AC的中点，如图11所示，则(dc)，(ba)，图11|22(b2a22ab)，|22(d2c22cd)|2|2.|.7解：已知OAOA，OBOB，求证：AOBAOB或AOBAOB.证明：OAOA，OBOB，可设(R，0)，(R，0)cosAOB，cosAOB.当与，与均同向或反向时，取正号，即cosAOBcosAOB.AOB，AOB(0，)，AOBAOB.当与，与只有一个反向时，取负号，即cosAOBcosAOBcos(AOB)AOB，AOB(0，)，AOBAOB.AOBAOB.命题成立第2课时导入新课(问题导入)你能举出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，学生很容易就举出来进一步，你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗？你是怎样解决的？教师由此引导：向量是有广泛应用的数学工具，对向量在物理中的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识我们可以通过对下面若干问题的研究，体会向量在物理中的重要作用由此自然的引入新课推进新课向量在物理中的应用1向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用2向量在速度的分解与合成中的应用如何用向量法来解决物理问题1将相关物理量用几何图形表示出来2将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题3最后将数学问题还原为物理问题例1课本本节例1.变式训练1在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力你能从数学的角度解释这种现象吗？活动：这个日常生活问题可以抽象为如图12所示的数学模型，引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题这样物理中用力的现象就转化为数学中的向量问题只要分析清楚F、G、三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力)，就得到了问题的数学解释图12在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|，|G|，之间在变化过程中所产生的相互影响由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤，也可以由学生自己完成，还可以用信息技术来验证用向量解决物理问题的一般步骤是：问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；参数的获得，即求出数学模型的有关解理论参数值；问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象解：不妨设|F1|F2|，由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道cos |F1|.通过上面的式子，我们发现：当由0到180逐渐变大时，由0到90逐渐变大，cos的值由大逐渐变小，因此|F1|由小逐渐变大，即F1，F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力点评：本题是日常生活中经常遇到的问题，学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验本题的关键是作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型，从数学角度进行解释，这就是本题活动中所完成的事情教学中要充分利用好这个模型，为解决其他物理问题打下基础得到模型后就可以发现，这是一个很简单的向量问题，这也是向量工具优越性的具体体现2某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶，感到风从正南方向吹来，而当其速度变为40 km/h时，他又感到风从西南方向吹来，求实际的风向和风速解：如图13所示设v1表示20 km/h的速度，在无风时，此人感到的风速为v1，实际的风速为v，那么此人所感到的风速为v(v1)vv1.图13令v1，2v1，实际风速为v.，vv1，这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度，v2v1，这就是当车的速度为40 km/h时，骑车人感受到的风速由题意得DCA45，DBAB，ABBC，DCA为等腰三角形DADC，DACDCA45，DADCBC20，|v|20 km/h，答：实际吹来的风的速度v的大小是20 km/h，v的方向是东南方向.例2在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？解：如图14，船航行的方向是与河岸垂直方向成30夹角，即指向河的上游图14知能训练1一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过小时，该船实际航程为()A2 km B6 km C. km D8 km2如图15，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为_ N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力F，则F_.图153一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度的大小参考答案：1B点评：由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理，所以要通过作高来求2.(5,4)3解：如图16所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸的速度，表示船的实际速度，AOC30，|5 km/h.图16因为四边形OA