高中数学第一章立体几何1.1.7柱锥台和球的体积课件

1 1 7柱 锥 台和球的体积 一 二 三 一 祖暅原理 问题思考 1 请计算一下长 宽 高分别是4cm 3cm 2cm的长方体的体积和底面半径为2cm 高为2cm的圆柱的体积 通过分析 你能发现什么结论 提示 根据V体 S底 h得这两个几何体的体积相等 均为24cm3 由此可知等底面积 且等高的圆柱和长方体的体积相等 不仅如此 在此基础上还有下面的一般规律 祖暅原理 一 二 三 2 填空 1 幂势既同 则积不容异 即 夹在两个平行平面间的两个几何体 被平行于这两个平面的任意平面所截 如果截得的两个截面的面积总相等 那么这两个几何体的体积相等 2 作用 等底面积 等高的两个柱体或锥体的体积相等 3 说明 祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想 是推导柱 锥 台体积公式的理论依据 3 运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等 需要几个条件 分别是什么 提示 需要三个条件 分别是 1 这两个几何体夹在两个平行平面之间 2 平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面 3 两个截面的面积总相等 一 二 三 二 柱 锥 台的体积 问题思考 1 填空 柱体 锥体 台体的体积公式如下表 其中S S分别表示上 下底面的面积 h表示高 r 和r分别表示上 下底面圆的半径 一 二 三 2 求三棱锥的体积时有什么技巧 提示 因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面 因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面 寻求底面积与高易求的三棱锥 3 台体可以还原为锥体 那么台体的体积可以怎样求 提示 台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体 所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差 求解过程如下 如图所示 设台体 棱台或圆台 上 下底面面积分别是S S 高是h 设截得台体时去掉的锥体的高是x 则截得这个台体的锥体的高是h x 一 二 三 一 二 三 4 做一做 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积为 答案 3 一 二 三 5 做一做 圆锥底面半径为3 母线长为5 则这个圆锥的体积为 A 36 B 18 C 45 D 12 答案 D 一 二 三 三 球的体积 问题思考 2 将球的表面积公式S球 4 R2和球的体积公式V球 R3从公式结构上进行比较 你能发现S球和V球的关系吗 提示 半径为R的球 其体积V球和表面积S球有以下关系 V球 S球 R 3 做一做 已知球的表面积变为原来的4倍 则它的体积变为原来的倍 答案 8 一 二 三 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 等底等高的两个柱体的体积相同 2 等底等高的圆柱体的体积是圆锥体积的9倍 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 柱体的体积 例1 用一块长4m 宽2m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒 如何制作可使铁筒的体积最大 解 若以矩形的长为圆柱的母线l 则l 4m 此时圆柱底面周长为2m 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟1 柱体 棱柱 圆柱 的体积等于它的底面积S和高h的积 即V柱体 Sh 底面半径是r 高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱 r2h 2 平行六面体的体积求解是比较常见的 因为平行六面体的六个面都是平行四边形 故可以用任意一组平行的面作为底面 其余面作为侧面 解题时 我们以解直棱柱的体积居多 故在平行六面体中选底面时 以构成直棱柱为首选因素 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练1如图 某几何体的主视图是平行四边形 左视图和俯视图都是矩形 则该几何体的体积为 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解析 由三视图知 该几何体为平行六面体 答案 B 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 锥体的体积 例2 如图所示 在边长为5 的正方形ABCD中 以A为圆心画一个扇形 以O为圆心画一个圆 M N K为切点 以扇形为圆锥的侧面 以圆O为圆锥的底面 围成一个圆锥 求该圆锥的表面积与体积 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解 设圆锥的母线长为l 底面半径为r 高为h 圆锥的表面积等于扇形和圆O的面积之和 圆锥的表面积为S rl r2 10 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟1 求锥体的体积常见的方法 1 公式法 直接代入公式求解 2 等积法 如四面体的任何一个面都可以作为底面 只需选用底面积和高都易求的形式即可 3 补形法 将几何体补成易求解的几何体 如棱锥补成棱柱 三棱柱补成四棱柱等 4 分割法 将几何体分割成易求解的几部分 分别求体积 2 对于本题而言 关键是找出正方形与其内部的扇形和圆的数量等式 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练2在正六棱锥P ABCDEF中 G为PB的中点 则三棱锥D GAC与三棱锥P GAC的体积之比为 A 1 1B 1 2C 2 1D 3 2解析 如图所示 设正六棱锥的高为h 又S ADC S ABC 2 1 所以VD GAC VP GAC 2 1 答案 C 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 台体的体积 例3 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解析 由三视图可知该几何体上部分为长方体 下部分为正四棱台 答案 B反思感悟1 台体体积公式适用于棱台和圆台 2 圆台 棱台 的高是指两个底面之间的距离 3 柱体 锥体 台体的体积关系如图所示 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练3一个圆台的轴截面 等腰梯形 的腰长为a 下底长为2a 对角线长为a 则这个圆台的体积是 答案 D 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 球的体积 例4 已知正四面体ABCD的外接球的体积为4 求正四面体的体积 思路分析 可以先将正四面体ABCD置于正方体中 再进行求解 直接找出正四面体的中心 即球心 借助平面几何知识加以解决 解法一将正四面体ABCD置于正方体中 正四面体的外接球即为正方体的外接球 如图所示 正方体的体对角线长即为球的直径 设外接球的半径为R 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解法二如图所示 设外接球的半径为R 反思感悟1 常见的有内切和外接问题 求解与球有关的切接问题时先要认真分析题中已知条件 明确切点或接点的位置 正确作出截面图 再分析相关量间的数量关系 2 上述解法一侧重整体求法 而解法二侧重用平面几何知识来寻求几何体的核心量 解法一显然更为巧妙 简洁 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练4平面 截球O的球面所得圆的半径为1 球心O到平面 的距离为 则此球的体积为 解析 如图所示 设截面圆的圆心为O M为截面圆上任一点 答案 B 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 转化思想在求体积中的应用 典例 如图所示 已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为1 且AA1 底面ABC 则三棱锥B1 ABC1的体积为 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 答案 A方法点睛转化思想是解决数学问题的基本思想 它将新的问题转化为已知问题 复杂问题转化为简单问题 最终将不易解决的问题转化为已解决的问题 如若所给几何体的体积不能直接利用公式得出 则常用等积法 分割法 补形法等方法进行转化求解 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练已知直三棱柱ABC A1B1C1中 点C到AB的距离为3cm 侧面ABB1A1的面积为8cm2 求直三棱柱的体积 解 补上一个相同的直三棱柱ACD A1C1D1 可以得到一个直四棱柱ABCD A1B1C1D1 这个直四棱柱可以看成以ABB1A1为底面的四棱柱DCC1D1 ABB1A1 所以点C到AB的距离即为C到底面ABB1A1的距离 1 2 3 4 5 6 1 若一个球的表面积为4 则这个球的体积是 答案 B 1 2 3 4 5 6 2 在棱长为1的正方体上 分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体 则截去8个三棱锥后 剩下的凸多面体的体积是 解析 如图 去掉的一个棱锥的体积是 答案 D 1 2 3 4 5 6 3 某几何体的三视图如图所示 若该几何体的体积是3 则主视图中x的值是 1 2 3 4 5 6 解析 由三视图可以看出几何体是一个以上 下底分别为1与2 高为2的直角梯形为底面 高为x的四棱锥 则几何体的底面积 答案 D 1 2 3 4 5 6 4 正四棱台的斜高与上 下底面边长之比为5 2 8 体积为14cm3 则该棱台的高为 解析 如图所示 设正四棱台AC 的上底面边长为2acm 则斜高EE 下底面边长分别为5acm 8acm 答案 2cm 1 2 3 4 5 6 5 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 若E F分别为AB AC的中点 平面EB1C1F将三棱柱分成了AEF A1B1C1和BB1E CC1F两部分 它们的体积分别为V1 V2 则V1 V2 解析 设三棱柱的高为