高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件

3 2 1常数与幂函数的导数3 2 2导数公式表 1 能根据导数的定义 求函数y C y x y x2 的导数 2 会使用导数公式表 1 常数函数的导数设y f x C C为常数 则C 0 名师点拨C 0表示函数y C的图象上每一点处的切线的斜率为0 若y C表示路程关于时间的函数 则y 0可解释为某物体的瞬时速度始终为0 即一直处于静止状态 做一做1 函数的导数为 答案 0 2 几种特殊的幂函数的导数 1 函数y x的导数 x 1 2 函数y x2的导数 x2 2x 名师点拨记住几种特殊幂函数的求导公式 我们就可以直接求一些简单函数的导数了 做一做2 函数y x2在x 6处的导数为 答案 12 3 基本初等函数的导数公式 1 C 0 C为常数 2 xn nxn 1 n为自然数 x x 1 为有理数 且 0 x 0 3 ax axlna a 0 a 1 ex ex 5 sinx cosx cosx sinx 名师点拨 1 xn n为自然数 与x 为有理数 0 x 0 可以归为一类函数来记忆导数公式 只是要注意n为负数时的运算技巧 先变形 再求导 2 logax与lnx等求导公式较难记忆 可以相互间作比较 如lnx logex 则 对logax求导 只需把上式e换为a 3 指数函数y ax与幂函数求导易出错 比如 对y 2x与y x2求导 可专门记忆y ax的求导公式 2x 2xln2 x2 2x 名师点拨基本初等函数包括常值函数y C 指数函数y ax a 0 且a 1 对数函数y logax a 0 a 1 x 0 幂函数y x R 三角函数等 1 函数y f x x的导数的意义是什么 剖析 y 1表示函数y x的图象上每一点处的切线的斜率都为1 若y x表示路程关于时间的函数 则y 1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动 2 如何理解函数y f x x2的导数 剖析 y 2x表示函数y x2图象上点 x y 处切线的斜率 说明随着x的变化 切线的斜率也在变化 另一方面 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看 y 2x表明 当x0时 随着x的增加 函数y x2增加得越来越快 若y x2表示路程关于时间的函数 则y 2x可以解释为某物体作变速运动 它在时刻x的瞬时速度为2x 题型一 题型二 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数 分析对于基本初等函数的求导 直接利用导数公式求导 但要注意把所给函数的关系式转化成能够直接应用公式的基本函数的形式 以免在求导时发生不必要的错误 反思基本初等函数求导的关键 熟记导数公式表 根式 分式求导时 先将其转化为指数式的形式 题型一 题型二 导数公式的应用 分析利用导数公式求出该点处的导数 即切线的斜率 再由点斜式写出切线方程即可 题型一 题型二 例3 已知点P e a 在曲线f x lnx上 直线l是以点P为切点的切线 求过点P且与直线l垂直的直线的方程 字母e是一个无理数 是自然对数的底数 分析因所求直线与直线l垂直 故其斜率乘积为 1 可利用导数公式求出直线l的斜率k 从而可得所求直线的斜率 点P在曲线上可求得a 然后利用点斜式写出所求直线的方程 由题意知所求直线斜率为 e 点P e a 在曲线f x lnx上 a lne 1 故所求直线方程为y 1 e x e 即ex y e2 1 0 题型一 题型二 反思求以曲线上的点为切点的切线方程的方法和步骤 求切点处的导数即为切线的斜率 由直线方程的点斜式写出切线方程 3函数y log3x在x 1处的导数为 4以曲线y ex上的点P 0 1 为切点的切线方程为 5已知直线l与直线3x y 2 0平行 且与曲线y x3相切 求直线l的方程 分析由直线l与直线3x y 2 0平行 可得kl 3 设切点为 a b 则y x a 3a2 3 可得a 即可求出b 从而可求出切线方程 解设切点为 a b y 3x2 kl y x a 3a2 又 直线l与直线3x y 2 0平行 3a2 3 a 1 当a 1时 b 1 此时直线l的方程