动力学-第6章点 的 运 动学动画及例题

1,第二篇 运动学和动力学,第 六 章 点 的 运 动学,2,第六章 点 的 运 动学, 动画, 例题,3,第六章 点 的 运 动学, 动 画,4, 动画,第六章 点的运动学,矢量法表示点的运动,5, 动画,第六章 点的运动学,密切面的形成,6, 动画,第六章 点的运动学,自然轴系,7, 动画,第六章 点的运动学,自然轴系,图片,8,第六章 点的运动学, 例 题,9,一人在路灯下由灯柱起以匀速 u 沿直线背离灯柱行走。设人高AB=l，灯高OL=h，试求头顶影子M 的速度和加速度。,10,解：取坐标轴 Ox 如图。由三角形相似关系，有,即,从而求得 M 点的直线运动方程,M 点的速度,而加速度 a = 0 ，即 M 点作匀速运动。,11,椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动，端点A以铰链连接于规尺BC；规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺上任一点M 的轨迹方程。,已知:,12,运 动 演 示,13,考虑任意位置， M点的坐标 x，y可以表示成,消去上式中的角，即得M点的轨迹方程:,解:,14,轨 迹 演 示,15,思考题：M点的轨迹是什么曲线 ？,16,轨 迹 演 示,17,在上例的椭圆规尺BC上固连一个半径是a/2的圆盘，圆心重合于A。求圆盘边缘上任一点 M 的运动方程和轨迹方程，已知角=k t,其中k 是常量。,18,运 动 演 示,19,解:,将=k t 代入上式即可得到圆盘边缘上任一点 M 的运动方程。另外，由上式可以看出，两个坐标x，y成正比，即,故 M点的轨迹是斜率为tan并通过坐标原点的直线，上式即为其轨迹方程。,20,轨 迹 演 示,21,对于圆盘边缘上不同的点，角取不同的值。但所有各点均作直线运动，且轨迹通过原点O。,如令轴O重合于M点的轨迹直线，则有,代入=k t ，得M点沿O的直线运动方程,对于点B与C，角=90o与0o，故有,22,曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆AB的长度分别为r和l。且lr，角=t，其中是常量。滑块B可沿轴Ox作往复运动，试求滑块B的运动方程，速度和加速度。,23,运 动 演 示,24,考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得滑块 B 的坐标,将=t 代入上式得,令= r/l，将上式的根式展开，有,解:,25,略去4以及更高阶项，并利用关系,滑块B的速度和加速度为,则,可表示为,26,如图凸轮绕O轴匀角速转动，使杆AB上升。欲使杆AB匀速上升，凸轮上的CD段轮廓线应是什么曲线？,27,以凸轮为参考系，取极坐标研究杆上A点的运动。,根据题意有,将上式对时间积分一次，并设C点为动点A在t=0时的初始位置，于是得以极坐标表示的A点相对于凸轮的运动方程,消去时间 t，得A点在凸轮上的轨迹方程,凸轮转动，杆AB匀速上升，v，为常值，上式为阿基米得螺旋线。,解：,28,飞机在铅直面内从位置M0处以s=250t+5t2规律沿半径r=1 500 m的圆弧作机动飞行（如图），其中s以m计，t以s计，当t=5s时，试求飞机在轨迹上的位置M及其速度和加速度。,29,解：因已知飞机沿圆弧轨迹的运动方程，宜用 自然法求解。取M0为弧坐标 s 的原点，s 的正 负方向如图所示。,当t = 5 s时，飞机的位置 M 可由弧坐标确定,先求出飞机的速度和切向加速度、法向加速度,30,故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为,代入 t = 5s,得,31,销钉B可沿半径等于R的固定圆弧滑道DE和摆杆的直槽中滑动，OA=R=0.1 m。已知摆杆的转角 （时间以s计， 以rad计），试求销钉在t1=1/4 s和t2=1 s时的加速度。,32,运 动 演 示,33,已知销钉B的轨迹是圆弧DE，中心在A点，半径是R。选滑道上O点作为弧坐标的原点，并以OD为正向。则B点在任一瞬时的弧坐标,但是，由几何关系知 ，且 ，将其代入上式，得,这就是B点的自然形式的运动方程。,解：,34,B点的速度在切向上的投影,B点的加速度 a 在切向的投影,而在法向的投影,35,当 时, , ，又 , 。 可见 , 这时B点的加速度大小,且a1沿切线的负向。,当 t1= 1 s 时, 又 可见，这时点B的加速度大小,且 a2 沿半径 B2A。,36,半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角=t，其中是常量。试求在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。,O,H,C,D,M,x,y,37,O,A,H,B,C,D,M,x,y,在M点的运动平面内取直角坐标系Oxy如图所示：轴 x 沿直线轨道，并指向轮子滚动的前进方向，轴 y 铅直向上。考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有OH=弧MH 。于是，在图示瞬时动点M 的坐标为,解：,1.求M点的运动方程。,38,这方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。车轮滚一转的时间 T=2/ ，在此过程中，M点的轨迹只占滚轮线的一环OEP，其两端O和P是尖点。,O,A,H,B,C,D,M,x,y,以 代入，得M点的运动方程,对,E,39,求坐标 x，y 对时间的一阶导数，得,故得M点速度 v 的大小和方向，有,M点的速度矢恒通过轮子的最高点D。,O,A,H,B,C,D,M,P,x,y,2.求M点的瞬时速度。,40,求vx，vy对时间的一阶导数，得,故得M点加速度 a 的大小和方向，有,x=0, y=0;,当t = 0时，有,这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。,O,A,H,B,C,D,M,P,E,x,y,3.求M点的瞬时加速度。,41,轨 迹 演 示,42,试求例 8 中轮缘上M点的切向加速度和法向加速度，并求轨迹的最大曲率半径。,O,H,C,D,M,x,y,43,解：,因而它的切向加速度,注意，当 时， 而当 时， ；两者相差一个负号。在 以后，M点进入另一个滚轮环，这里出现尖点， 运动方向发生突然逆转，由 突变为 。,O,H,C,D,M,E,x,y,2,44,矢量 at 和 an 的方向分别沿MD 和MH。,M点的法向加速度大小,45,另一方面， ，故轨迹的曲率半径为,可见，轨迹的最大曲率半径 ，对应于轨迹的最高点 。,46,圆柱的半径为r，绕铅直固定轴 z 作匀速运动，周期为 T 秒。动点M以匀速 u 沿圆柱的一条母线NM运动（如图）试求M点的轨迹、速度和加速度，并求轨迹的曲率半径。,47,运 动 演 示,48,取固定直角坐标系Oxyz如图所示。设开始时M点在M0位置，当圆柱转动时，角M0ON随时间成正比地增加，在瞬时t ，它等于 ，故M点的坐标为,这就是M点的运动方程。,M点的轨迹方程,这螺旋线方程就是M点在固定坐标系中的运动轨迹。,解：,1. M点的运动方程和轨迹。,49,轨 迹 演 示,50,2. M点的速度。,对运动方程求导得,速度在平面Oxy上的投影大小等于,常数,速度与圆柱母线的交角 不变。,5