2012届高三数学一轮复习练习 第三章 章末强化训练

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 函数y13xx3有 ()A极小值1，极大值1 B极小值2，极大值3C极小值2，极大值2 D极小值1，极大值3解析：y3x23，令y0得x1.当x(，1)时，y0；当x(1，)时，y0；当x(0,4)时，F(x)0.故F(x)maxF(0)0；F(x)minF(4)43242.故应选B.答案：B8. 函数f(x)x33x21是减函数的区间为 ()A(2，) B(，2) C(，0) D(0,2)解析：f(x)(x33x21)3x26x，当f(x)0时，f(x)单调递减，3x26x0，即0x0,所以,所以2a-1,所以.故选A.答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 已知过曲线yx3bxc上一点A(1,2)的切线为yx1，则b2c2等于13.解析：y3x2b，所以y|x13b1. 又因为yx3bxc过点(1,2)，所以1bc2，解得b2，c3.所以b2c2(2)23213.答案：1312.（2011届福州质检）如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0)_；函数f(x)在x1处的导数f(1) .解析：观察图形可知f(0)4，所以f(f(0)f(4)2.AB的方程为：1，即y42x，所以f(x)42x，所以f(x)2，所以f(1)2.答案：2 -213.如图，函数的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则 = .解析：g(5)=f(5)+5=-5+8=3,所以f(5)=-2.又g(x)=f(x)+ ,所以g(5)=f(5)+ 5=-1,解得f(5)=-3,f(5)+f(5)=-5.答案：-514. 已知函数yf(x)x22x3在区间a,2上的最大值为，则a .解析：yf(x)2x2，令y0，则x1.因为f(1)1234，f(2)4435，且函数最大值为，又因为f(1)，所以a1，故应为f(a)a22a3，解之得a或(舍去)答案：15. 半径为r的圆的面积S(r)r2，周长C(r)2r，若将r看做(0，)上的变量，则(r2)2r. 式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为R的球，若将R看做(0，)上的变量，请你写出类似于的式子： . 式可用语言叙述为： .解析：考查类比推理和函数的求导答案：4R2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）16.(13分）已知函数f(x)x3(k21)x2k22(kR)，若过函数f(x)图象上一点P(1，a)的切线与直线xyb0垂直，求a的值解：f(x)3x22(k21)x，所以过点P的切线斜率为k1f(1)52k2.又因为过点P的切线与直线xyb0垂直，所以(52k2)11，所以k23.又因为点P(1，a)在f(x)的图象上，所以1(k21)k22a，所以a2.17.(13分）已知函数f(x)=x3+ax2+3bx+c(b0),且g(x)=f(x)-2是奇函数.（1）求a,c的值；（2）求函数f(x)的单调区间.解：(1)因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，所以对任意的xR,g(-x)=-g(x),即f(-x)-2=-f(x)+2.又f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.所以解得(2)由(1)得f(x)=x3+3bx+2.所以f(x)=3x2+3b(b0).当b0时，由f(x)=0得.x变化时，f(x)的变化情况如下表：所以当b0时,f(x)0,函数f(x)在(-,+)上单调递增.18.（2011届杭州质检）(13分）设函数,其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值；（2）已知不等式对任意a(0,+)都成立，求实数x的取值范围.解：(1) ,因为函数f(x)在x=1处取得极值，所以f(1)=0,即a-3+a+1=0,所以a=1.（2）由题设知：对任意a(0,+)都成立，即对任意a(0,+)都成立，于是对任意a(0,+)都成立，即，解得-2x0,所以x的取值范围是-2，0.19.（13分）设函数,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.（1）解：方程7x-4y-12=0可化为.当x=2时，,又,于是解得故(2)证明：设为曲线上任一点，由知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为,即.令x=0得,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x得,从而得切线与直线y=x的交点坐标为,所以点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.20.（14分）设函数.(1)令，判断并证明N（x)在（-1，+)上的单调性，并求N（0）；（2）求f(x)在其定义域上的最小值；（3）是否存在实数m,n满足0m-1时，,所以N(x)在（-1，+)上单调递增，N（0）=0.(2)f(x)的定义域是（-1，+),当-1x0时，N（x)0,所以f(x)0时，N（x)0,所以f(x)0,所以f(x)在（-1，0）上单调递减，在（0，+)上单调递增，所以=f(0)=0.(3)由（2）知f(x)在0，+)上是单调递增函数，若存在m,n满足条件，则必有f(m)=m,f(n)=n,也即方程f(x)=x在0，+)上有两个不等的实根m,n,但方程f(x)=x,即只有一个实根x=0,所以不存在满足条件的实数m,n.21.(14分) 某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分)，形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边)，已知AB2 km，BC6 km，AEBF4 km，其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线段试求该高科技工业园区的最大面积解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图，则A(0,0)，F(2,4)，由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为yax2(a0)，由4a22得，a1，则AF所在抛物线的方程为yx2.又因为E(0,4)，C(2,6)，所以EC所在直线的方程为yx4.设P(x，x2)(0x2)，则PQx