高中数学第二章函数2.2.3映射课件

第二章 函数 2对函数的进一步认识 2 3映射 自主预习学案 某魔术师猜牌的表演过程是这样的 表演者手中持有六张扑克牌 不含王牌和牌号数相同的牌 让6位观众每人从他手里任摸一张 并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号 牌号数是这样规定的 A为1 J为11 Q为12 K为13 其余的以牌上的数字为准 然后 表演者让他们按如下的方法进行计算 将自己的牌号乘2加3后乘5 再减去25 把计算结果告诉表演者 要求数值绝对准确 表演者便能立即准确地猜出谁拿的是什么牌 你能说出其中的道理吗 1 映射的概念两个 集合A与B之间存在着对应关系f 而且对于A中的 元素x B中总有 的一个元素y与它对应 就称这种对应为从A到B的 记作 2 像与原像给定一个从集合A到集合B的映射f A B A中的元素 称为原像 B中的 称为x的像 记作f x y 非空 每一个 唯一 映射 f A B x 对应元素y 3 一一映射如果映射f A B满足 A中每一个元素在B中都有 与之对应 A中的 的像也不同 B中的每一个元素都有 我们把这种映射叫一一映射 也叫一一对应 4 映射与函数设A B是两个 f是A到B的一个映射 那么映射f A B就叫作A到B的 在函数中 的集合称为定义域 的集合称为值域 唯一的像 不同元素 原像 非空数集 函数 原像 像 A B C D 解析 在 中元素2没有像 中元素1在像的集合中有两个元素和它对应 故 不是映射 B D 7 4 互动探究学案 命题方向1 映射 一一映射与函数的判断 思路分析 解答时可先从映射的定义出发 观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一的元素与之对应 然后再根据一一映射的定义及映射与函数的关系确定该对应关系是否为一一映射及是否是函数 规范解答 1 是映射 且是函数 但不是一一映射 因为A中的任何一个元素 在B中都能找到唯一的元素与之对应 又A B均为非空数集 所以此映射是函数 因为x以及x的相反数在B中的对应元素相同 所以不是一一映射 2 不是从集合A到集合B的映射 更不是函数和一一映射 因为A中的元素0在集合B中没有对应的元素 3 不是从集合A到集合B的映射 更不是函数和一一映射 因为任何正数的平方根都有两个值 即集合A中的任何元素 在集合B中都有两个元素与之对应 4 是映射 是函数 也是一一映射 因为对A中的任一个元素 其倒数是唯一的 即在B中有唯一的元素与之对应 又由于A B都是非空数集 故此映射也是函数 又因为对于不同的正数 其倒数也是不同的 且B中每个正数都是A中某个正数的倒数 故这个映射也是一一映射 规律总结 判断一个对应是否构成从A到B的映射时 先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素 若有 看对应元素是否唯一 集合B中有剩余元素不影响映射的成立 想说明一个对应不是映射 只需寻找一个反例即可 若进一步判断该映射是否是函数 只需看两个集合A B是否是非空数集即可 若进一步判断是否为一一映射 还需注意B中的每一个元素在A中都有原像 集合A中不同元素对应的像不同 解析 1 集合A N中元素1在对应关系f的作用下为0 而0 N 即A中元素1在B中没有元素与之对应 故该对应不是从A到B的映射 2 集合A中元素6在对应关系f的作用下为3 而3 B 故该对应不是从A到B的映射 3 集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下 在集合B中都有唯一的一个元素与之对应 所以此对应是从A到B的映射 又B中每一个元素在A中都有唯一的原像与之对应 故该对应是一一映射 又A B是非空数集 因此该对应也是从集合A到集合B的函数 命题方向2 求映射中的像与原像 规律总结 1 解答此类问题 关键是 1 分清原像和像 2 搞清楚由原像到像的对应法则 2 一般已知原像求像时 常采用代入法 已知像求原像时 通常由方程组法求解 求解过程中要注意像与原像的区别和联系 映射个数的确定 关于集合A到集合B构成映射的个数问题 要充分利用映射的定义 用分类讨论的思想 使得集合A中的任何一个元素在B中都有唯一的元素与之对应 从而确定出映射的个数 思路分析 由条件f a f b f c 4入手 分情况找出满足条件的映射 因此准确理解映射的概念是解答本题的关键 规范解答 2 1 1 4 要满足题设条件f a f b f c 4 必须a b c中有一个对应2 另外两个都对应1 共有3种情况 即 1 f a f b 1 f c 2 2 f b f c 1 f a 2 3 f a f c 1 f b 2 故满足条件的映射的个数为3 规律总结 若集合A有n个元素 集合B有m个元素 则A到B的映射有mn个 对于给定的A到B的映射需要满足某些特殊要求 求映射的个数时 关键是将映射具体化 形象化 如列表法 图像法 数形结合法等 解析 1 1的像有2种情况 2的像有2种情况 3的像也有2种情况 结合映射定义知 对A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应 允许多对一 故有2 2 2 8 种 情况即8个映射 2 a的像有1 2 3共3种情况 同时b的像也有3种情况 所以f B A的映射共有3 3 9 种 情况即9个映射 错解 根据映射与函数的定义知 是映射也是函数 而 中 x 0时y不存在 既不是映射也不是函数 辨析 判断对应是否是A到B的映射 应考查集合A中的每一个元素是否在集合B中都有对应元素 且对应元素唯一 正解 对x A 在f x y 3x 1作用下在B中都有唯一的像 因此能构成映射 又A B均为数集 从而能构成函数 当x 1时 y x 1 1 1 0 B 即A中的元素1在B中无像 因而不能构成