高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数1课件新人教A版

1 2任意角的三角函数1 2 1任意角的三角函数 一 知识提炼 1 任意角的三角函数的定义 y y x x 2 正弦 余弦 正切函数在弧度制下的定义域 R R 3 三角函数值在各象限的符号 4 诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数的值 sin cos tan 相等 即时小测 1 判断 1 相等的角正弦值相等 反之正弦值相等的两个角也相等 2 已知 是三角形的内角 则必有sin 0 cos 0 3 对于任意角 sin cos tan 都有意义 解析 1 错误 相等的角正弦值相等 但是正弦值相等的两个角未必相等 2 错误 因为 是三角形的内角 所以 0 所以sin 0 cos 大于零 小于零或等于零都有可能 3 错误 对于任意角 sin cos 都有意义 但是终边落在y轴上的角tan 无意义 答案 1 2 3 2 若sin 0 且tan 0 则角 是 A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角 解析 选D 由sin 0知角 的终边落在第三 四象限或y轴的非正半轴上 由tan 0知角 的终边落在第二 四象限 所以角 是第四象限角 3 计算 sin180 2cos270 的值为 解析 180 的终边与单位圆的交点坐标为 1 0 所以sin180 0 270 的终边与单位圆的交点坐标为 0 1 所以cos270 0 所以sin180 2cos270 0 答案 0 4 sin cos tan 解析 角的终边与单位圆的交点坐标为所以答案 5 tan390 的值为 解析 tan390 tan 360 30 tan30 答案 知识探究 知识点1任意角三角函数的定义观察图形 回答下列问题 问题1 任意角三角函数的自变量和函数值分别是什么 问题2 知道某角终边任意一点的坐标 是否可以计算该角的三角函数值 总结提升 1 对任意角三角函数的三点说明 1 在任意角的三角函数的定义中 是一个任意角 同时它也是一个实数 弧度数 2 三角函数也是函数 都是以角为自变量 以单位圆上点的坐标 坐标的比值 为函数值的函数 三角函数值只与角 的大小有关 即由角 的终边位置决定 3 要明确sin 是一个整体 不是sin与 的乘积 它是 正弦函数 的一个记号 就如f x 表示自变量为x的函数一样 离开自变量的 sin cos tan 等是没有意义的 2 任意角三角函数的另一种定义设角 的终边上任一点P x y OP r r 0 如图所示则 知识点2三角函数值在各象限的符号观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 判断三角函数值在各象限的符号的依据和关键分别是什么 问题2 三角函数值在各象限的符号有什么规律吗 总结提升 对正弦 余弦 正切函数值在各象限的符号的两点说明 1 由三角函数的定义知 r 0 可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P x y 的坐标确定的 则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键 2 要熟记三角函数值在各象限的符号规律 三角函数值在各象限的符号规律可简记为 一全正 二正弦 三正切 四余弦 知识点3诱导公式一观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 诱导公式一的作用是什么 问题2 诱导公式一的结构特征是什么 总结提升 对诱导公式一的三点说明 1 公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等 2 公式一的结构特征 左 右为同一三角函数 公式左边的角为 k 2 右边的角为 注意公式一中的条件k Z不可遗漏 3 公式一的作用 把求任意角的三角函数值转化为求0 2 或0 360 角的三角函数值 题型探究 类型一任意角三角函数的定义及应用 典例 已知角 终边经过点P x x 0 且cos x 求sin 的值 解题探究 本例中计算sin cos tan 的依据是什么 提示 依据任意角三角函数的定义 即若角 的终边上任一点P x y OP r r 0 则 解析 因为P x x 0 所以点P到原点的距离又cos 所以cos 因为x 0 所以x 所以当x 时 P点坐标为 由三角函数的定义 有sin 所以当x 时 同样可求得 延伸探究 1 变换条件 本题中点P的坐标改为 x x 0 且sin x 结果又是什么 解析 因为P x x 0 所以点P到原点的距离又sin x 所以因为x 0 所以x 所以 当x 时 P点坐标为 由三角函数的定义 有所以当x 时 同样可求得 2 变换条件 改变问法 若角的终边经过点P1 且点P1到原点的距离与本题中P到原点的距离相等 试求点P1的坐标 解析 角的终边与单位圆的交点坐标为 所以由已知得 OP1 由三角函数的定义 知点P1的坐标为 即 3 方法技巧 由角 终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤 1 已知角 的终边在直线上时 常用的解题方法有以下两种 先利用直线与单位圆相交 求出交点坐标 然后再利用正 余弦函数的定义求出相应三角函数值 在 的终边上任选一点P x y P到原点的距离为r r 0 则sin cos 已知 的终边求 的三角函数值时 用这几个公式更方便 2 当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时 要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 补偿训练 2015 临沂高一检测 已知角 的终边过点P 3a 4a a 0 求2sin cos 的值 解析 1 若a 0 则r 5a 角 在第二象限 所以2sin cos 2 若a 0 则r 5a 角 在第四象限 所以2sin cos 延伸探究 1 变换条件 将本题中点P的坐标改为 12a 5a a 0 其他条件不变 结果又如何 解析 1 若a 0 则r 13a 角 是第一象限角 所以所以 2 若a 0 则r 13a 角 是第三象限角 所以所以 2 改变条件和问法 点P的坐标改为 8m 6sin30 且cos 求m的值 解析 因为点P的坐标为 8m 3 所以所以cos 所以m 0 所以 解得m 又m 0 所以m 类型二三角函数在各象限的符号问题 典例 1 已知角 2k k Z 若角 与角 的终边相同 则y 的值为 A 1B 1C 3D 32 2015 南通高一检测 已知sin tan 0 那么 是第 象限角 3 如果 sinx sinx 那么角x的取值集合是 解题探究 1 典例1中 角 的终边在第几象限 该象限内正弦 余弦 正切函数值的符号分别是什么 提示 角 的终边与的终边相同 是第四象限角 第四象限内正弦 正切函数值为负 余弦函数值为正 2 典例2中 sin tan 0包括哪些情况 正弦 正切函数值在各象限的符号有什么规律 提示 sin tan 0包括sin 0 tan 0和sin 0 tan 0两种情况 正弦函数值在第一 二象限为正 在第三 四象限为负 正切函数值在第一 三象限为正 在第二 四象限为负 3 典例3中 sinx的符号是什么 角x的终边所在区域是什么 提示 sinx 0 角x的终边在第一 二象限或x轴上或y轴的非负半轴上 解析 1 选B 由 2k k Z 知 角 的终边在第四象限 又角 与角 的终边相同 所以角 的终边在第四象限 所以sin 0 cos 0 tan 0 所以 1 1 1 1 2 因为sin tan 0 所以sin 0 tan 0或sin 0 tan 0 若sin 0 tan 0 所以 在第二象限 若sin 0 tan 0 则 在第三象限 答案 二或三 3 因为 sinx sinx 所以sinx 0 所以角x的终边在第一 二象限或x轴上或y轴的非负半轴上 所以2k x 2k k Z 角x的取值集合是 x 2k x 2k k Z 答案 x 2k x 2k k Z 延伸探究 将典例1的条件去掉 求关于 的函数的值域 解析 显然角 的终边不可能落在坐标轴上 角 的终边落在第一象限时 角 的终边落在第二象限时 角 的终边落在第三象限时 角 的终边落在第四象限时 所以的值域是 1 3 方法技巧 正弦 余弦函数值的正负规律 变式训练 已知角 的终边过点 3a 9 a 2 且cos 0 sin 0 则实数a的取值范围是 解题指南 先确定角 的终边的位置 然后列出不等式组求a的取值范围 解析 因为cos 0 sin 0 所以角 的终边在第二象限或y轴非负半轴上 因为 终边过 3a 9 a 2 所以所以 2 a 3 答案 2 a 3 补偿训练 确定下列各式的符号 1 sin2014 2 cos 3 sin4 cos4 解题指南 先确定各角所在的象限 然后判断符号 解析 1 2014 360 5 214 所以2014 为第三象限的角 所以sin2014 0 为第四象限的角 所以 3 4 所以4rad为第三象限的角 所以cos40 类型三诱导公式一的应用 典例 1 2015 武汉高一检测 sin 660 2 已知P 2 3 是角 终边上一点 则tan 2 等于 解题探究 1 典例1中 在0 360 内与 660 终边相同的角是什么 提示 因为 660 720 60 所以60 与 660 终边相同 2 典例2中 如何计算tan tan 2 与tan 有什么关系 提示 依据任意角的正切函数的定义计算tan tan 2 tan 解析 1 选B sin 660 sin 720 60 sin60 2 选C 因为P 2 3 是角 终边上一点 所以tan 所以tan 2 tan 方法技巧 应用诱导公式一化简求值的步骤 1 将已知角化为k 360 k为整数 0 360 或2k k为整数 0 2 的形式 2 将原三角函数值化为角 的同名三角函数值 3 借助特殊角的三角函数值或任意角三角函数的定义达到化简求值的目的 拓展延伸 公式一的意义诱导公式一体现了三角函数值 周而复始 的变化规律 即角 的终边每绕原点旋转一周 函数值将重复出现 变式训练 sin585 的值为 解析 选A sin585 sin 360 225 sin225 由于225 是第三象限角 且终边与单位圆的交点为所以sin225 补偿训练 点A x y 是 300 角终边与单位圆的交点 则的值为 解析 选A x cos 300 cos 360 60 cos60 y sin 300 sin 360 60 sin60 所以 易错案例任意角三角函数定义的应用 典例 2015 孝感高一检测 角 的终边经过点P x 4 且cos 则sin 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是忽视对点的坐标中的参数进行分类讨论 实际上本题中要分x 0和x 0两种情况讨论 自我矫正 点P x 4 到原点的距离 1