不等式恒成立问题解法探讨

精品文档 1欢迎下载 不等式恒成立问题解法探讨不等式恒成立问题解法探讨 我们经常会碰到 已知一不等式关于某一变量在给定区间内任意变化时恒成立 求 另一参变量取值范围 的题目 本文试就此类问题做一解法探讨 例 1 已知 求使不等式对任意恒成立的 a 的取值1axx x f 2 0 x f 2 1 x 范围 解法 1 数形结合 结合函数的草图可知时恒成立 x f 2 1 x 0 x f 2 5 a 0a25 2 f 0a2 1 f 得 所以 a 的取值范围是 2 5 解法 2 转化为最值研究 4 a 1 2 a x x f 2 2 1 若上的最大值 2 1 x f 3a 2 3 2 a 在时即 2 5 a 0a25 2 f x f max 得 3a 2 5 所以 2 若 得 所以0a2 1 f x f 2 1 x f 3a 2 3 2 a max 上的最大值在时即2a 3a 综上 a 的取值范围是 2 5 注 1 此处是对参 a 进行分类讨论 每一类中求得的 a 的范围均合题意 故对每一类 中所求得的 a 的范围求并集 2 恒成立 Ix m x f m m x f max 为常数 m m x fIx m x f min 为常数恒成立 解法 3 分离参数 设 则 当 2 1 x x 1 xa 2 1 x 01axx 2 x 1 x x g 2 x 1 1 x g 时 当且仅当 2 1 x 0 x g 0 x g 1x 时 则上单调递增 2 1 x g在 所以 2 5 a 2 5 2 g x g max 所以 注 1 运用此法最终仍归结为求函数的最值 但由于将参数 a 与变量 x 分离 x g 因此在求最值时避免了分类讨论 使问题相对简化 2 本题若将 改为 可类似上述三种方法完成 2 1 x 2 1 x 仿解法 1 2 1 x 0 x f 2 5 a 0 2 f 0 1 f 得 即 2 5 a 的范围是 精品文档 2欢迎下载 读者可仿解法 2 解法 3 类似完成 但应注意等号问题 即此处也合题 2 5 a 例 2 已知 1axx x f 2 求使恒成立的 a 的取值范围 1 1 x0 x f 对任意 解法 1 数形结合 结合的草图可得 x f 0 1 f 1 2 a 04a 04a 2 2 或 或 0 1 f 1 2 a 04a 2 得 2 2 a2a2 的取值范围是即 解法 2 转化为最值研究 4 a 1 2 a x x f 2 2 1 所以 2a20 4 a 1 x f 2a21 2 a 1 2 min 得时即2a2 2 若矛盾 2a 2a0a2 1 f x f 2a1 2 a min 与得时即 3 若矛盾 2a 2a0a2 1 f x f 2a1 2 a min 与得则时即 综上 a 的取值范围是 2 2 解法 3 分离参数 1 时 不等式显然成立 即此时 a 可为任意实数 0 x 2 时 0 1 x x 1 xa01axx 2 因为上单调递减 0 1 x 1 x x g 在 所以 2 1 g x ga max 3 时 1 0 x x 1 xa01axx 2 因为在 0 1 上单调递减 所以 x 1 x x g 2 1 g x ga min 综上 a 的范围是 2 2 注 本题中由于 x 的取值可正可负 不便对参数 a 直接分离 故采取了先对 x 分类 再分离参数 a 最后对各类中求得 a 的范围求交集 这与例 1 方法三中对各类中求得的 a 的范围求并集是不同的 应引起注意 精品文档 3欢迎下载 例 3 已知 求使对任意恒成立的 x 的取值范1axx x f 2 0 x f 3 3 a 围 解 习惯上视 x 为主元而 a 为辅元 但本题中是 a 在01axx0 x f 2 即 上任意变化时不等式恒成立 故可将 a 视为主元 3 3 变更主元法 设 则的图像为一直线 则1xax a g 2 a g 时恒成立 3 3 a 0 a g 01x3x 3 g 01x3x 3 g 2 2 即 x 的范围是 2 53 2 53 总之 处理不等式恒成立问题首先应分清谁是主元 哪一个变量在给定区间上任意变 化 则该变量即为主元相当于函数自变量 然后可数形结合或转化为最值研究 若易于 将参变量分离的可先分离参变量再求最值 若需分类讨论则应注意分类标准和最后的