数列解答题专练(含答案版)

数列高考真题汇编 1 已知等差数列 an 的公差为 2 前 n 项和为 Sn 且 S1 S2 S4成等比数 列 1 求数列 an 的通项公式 2 令 bn 1 n 1 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 4n anan 1 解析 1 因为 S1 a1 S2 2a1 2 2a1 2 2 1 2 S4 4a1 2 4a1 12 3 分 4 3 2 由题意得 2a1 2 2 a1 4a1 12 解得 a1 1 所以 an 2n 1 5 分 2 bn 1 n 1 1 n 1 4n anan 1 4n 2n 1 2n 1 1 n 1 6 分 1 2n 1 1 2n 1 当 n 为偶数时 Tn 1 1 1 3 1 3 1 5 1 2n 3 1 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 2n 2n 1 当 n 为奇数时 Tn 1 1 1 3 1 3 1 5 1 2n 3 1 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 10 分 2n 2 2n 1 2 已知数列 an 的前 n 项和 Sn n N n2 n 2 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 2an 1 nan 求数列 bn 的前 2n 项和 解析 1 当 n 1 时 a1 S1 1 当 n 2 时 an Sn Sn 1 n n2 n 2 n 1 2 n 1 2 故数列 an 的通项公式为 an n 2 由 1 知 an n 故 bn 2n 1 nn 记数列 bn 的前 2n 项和为 T2n 则 T2n 21 22 22n 1 2 3 4 2n 记 A 21 22 22n B 1 2 3 4 2n 则 A 22n 1 2 2 1 22n 1 2 B 1 2 3 4 2n 1 2n n 故数列 bn 的前 2n 项和 T2n A B 22n 1 n 2 3 数列 an 满足 a1 1 nan 1 n 1 an n n 1 n N 1 证明 数列是等差数列 an n 2 设 bn 3n 求数列 bn 的前 n 项和 Sn an 解析 1 证明 由已知可得 1 即 1 4 分 an 1 n 1 an n an 1 n 1 an n 所以数列是以 1 为首项 1 为公差的等差数列 5 分 an n a1 1 2 解 由 1 得 1 n 1 1 n 所以 an n2 an n 从而 bn n 3n 7 分 Sn 1 31 2 32 3 33 n 3n 3Sn 1 32 2 33 n 1 3n n 3n 1 得 2Sn 31 32 3n n 3n 1 n 3n 1 3 1 3n 1 3 10 分 1 2n 3n 1 3 2 所以 Sn 12 分 2n 1 3n 1 3 4 4 已知 Sn是数列 an 的前 n 项和 a1 2 Sn 1 3Sn n2 2 n N 设 bn an n 1 证明 数列 bn 是等比数列 2 若 cn 数列 cn 的前 n 项和为 Tn 求证 Tn0 3 2n 4 3n 又 所以 Tn0 q 0 Error an 2n 1 2 由题意 可得 2n 1 b1 1 b2 3 b3 5 bn 2n 1 2n 1 1 2n 1 n 2 2n 1 bn 2n 1 bn 2n 1 bn 2n 1 2n 1 n 2 当 n 1 时 b1 1 符合上式 bn 2n 1 2n 1 n N 设 Tn 1 3 21 5 22 2n 1 2n 1 2Tn 1 2 3 22 5 23 2n 3 2n 1 2n 1 2n 两式相减 得 Tn 1 2 2 22 2n 1 2n 1 2n 2n 3 2n 3 Tn 2n 3 2n 3 9 已知数列 an 是 a3 公比 q 的等比数列 设 1 64 1 4 bn 2 3log an n N 数列 cn 满足 cn anbn 1 4 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求数列 cn 的前 n 项和 Sn 解析 1 证明 由已知 可得 an a3qn 3 n 1 4 则 bn 2 3log n 3n bn 3n 2 1 4 1 4 bn 1 bn 3 bn 为等差数列 2 由 1 知 cn anbn 3n 2 n 1 4 Sn 1 4 2 7 3 3n 2 n 1 4 1 4 1 4 1 4 Sn 1 2 4 3 7 4 3n 5 n 3n 2 n 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 得 Sn 3 2 3 4 n 3n 2 n 1 3 4 1 4