高中数学第三章三角恒等变换3.2.3两角和与差的正切函数课件

3 2 3两角和与差的正切函数 知识提炼 两角和与差的正切公式 sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin sin 即时小测 1 思考下列问题 1 两角和与差的正切公式中角的取值范围是什么 提示 公式T 中 都是实数且不能等于 k k Z 2 T 的变形公式是指的什么 提示 tan tan tan 1 tan tan 2 tan 165 的值是 A 2 B 2 C 2 D 2 解析 选B 原式 tan 180 15 tan15 tan 45 30 3 若tan 3 tan 则tan 等于 A 3B C 3D 解析 选D tan 4 若 解析 答案 3 5 解析 原式 tan 78 18 tan60 答案 知识探究 知识点正切的和 差角公式T 观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 公式T 应用的条件是什么 问题2 公式T 的特点是什么 总结提升 1 公式成立的条件角 以及 均不能等于k k Z 且tan tan 1 或tan tan 1 2 结构特征公式T 的右侧为分式形式 其中分子为tan 与tan 的和或差 分母为1与tan tan 的差或和 3 符号规律 分子同 分母反 题型探究 类型一利用T 求值 典例 1 已知 2 已知tan tan 是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 a c 的两个根 则tan 的值为 解题探究 1 典例1中cos 的值是什么 提示 由2 典例2中与一元二次方程的两根满足的性质有什么联系 提示 先建立一元二次方程的根与系数的联系 整体代入计算和角的正切 解析 1 因为所以所以答案 2 由a 0和一元二次方程根与系数的关系 得又a c 所以tan 答案 方法技巧 1 从三个角度入手直接利用公式T 求值 1 复角化单角 公式反映了复角化单角的思想 即要求 的正切函数值 只需知道tan 和tan 的值 代入求解便可 2 整体意识 公式T 中有两个小团体 tan tan 及 tan tan 求解时可利用整体思想代入求解 3 角的配凑 公式T 中 只代表了角的某一形式 其可能是单纯的 也可能是某些小团体 如等式中相当于 相当于 2 逆用公式的技巧在三角函数的化简 求值过程中 通常存在着两种形式的逆用 公式的逆用和特殊角三角函数的逆用 当式子中出现这些特殊角的三角函数值时 往往就是 由值变角 的一种提示 可以根据问题的需要 将常数用三角函数式表示出来 以构成适合公式的形式 从而达到化简的目的 变式训练 2015 江苏高考 已知tan 2 则tan 的值为 解题指南 将 化为 利用两角差的正切公式求解 解析 tan tan 因为tan 2 tan 所以上式 答案 3 补偿训练 已知tan 的值 解题指南 依题目特征 可以先求出 的异名三角函数值 代入所求式子的展开式中便可求解 解析 因为所以因为所以 类型二利用公式T 求角 典例 1 若锐角 满足 1 tan 1 tan 4 则 2 已知tan tan 0 求2 的值 解题探究 1 典例1中去括号 移项整理后会得到什么样的式子 提示 去括号 移项 合并同类项可得 tan tan 3 1 tan tan 2 典例2中已知角与所求角有什么关系 提示 2 其中 解析 1 因为 1 tan 1 tan 1 tan tan 3tan tan 4 所以 tan tan 3 1 tan tan 即tan tan 1 tan tan 所以tan 又 均为锐角 所以0 所以 答案 2 因为tan tan 所以tan tan tan 2 tan 因为 所以所以 0 又tan 0 所以 2 0 而tan 2 1 所以2 延伸探究 1 变换条件 典例2中若将题设条件 tan 改为 2 则结果是什么 解析 由得tan 3 所以tan 2 tan 因为tan 3 0 tan 0 所以 故因此由tan 2 1得2 2 变换条件 若将典例2中条件 tan 改为 tan 其他条件不变 则 等于多少 解析 因为tan tan 又 0 所以 方法技巧 利用公式T 求角的步骤 1 求值 计算待求角的正切函数值 2 求范围 借助已知角的范围及题目隐含信息 求相关角的范围 注意角的范围越小越好 3 求角 借助角的范围及角的三角函数值求角 补偿训练 在 ABC中 tanA tanB tanAtanB 则角C等于 解析 选A 由题意tanA tanB 1 tanAtanB 故tan A B 又A B C 所以 类型三公式的变形应用 典例 1 2 已知 则 1 tan 1 tan 解题探究 1 典例1中可以表示为哪一个角的三角函数值 提示 根据式子的特点 本题中可将表示为tan60 较合适 2 典例2中对角 取哪一个三角函数值合适 提示 tan tan 1 解析 1 tan45 1 答案 12 因为 所以tan 1 即所以tan tan 1 tan tan 所以 1 tan 1 tan tan tan 1 tan tan 2 答案 2 延伸探究 利用典例2的结论 求 1 tan1 1 tan2 1 tan3 1 tan45 的值 解析 由例2解析知当 45 时 1 tan 1 tan 2 所以原式 1 tan1 1 tan44 1 tan2 1 tan43 1 tan22 1 tan23 1 tan45 222 2 223 方法技巧 公式T 的变形应用的方法对两角和与差的正切公式的正用 逆用 变形用是恒等变换的基本要求 数学的特点是 多想点就少算点 因此注意观察式子的结构特点并注意特殊值的代换 角的变换等技巧可使运算简捷 例如 1 tan45 tan60 等 变式训练 求值 tan10 tan50 tan10 tan50 解题指南 注意到10 50 60 而tan60 故联想到tan 10 50 的展开形式并变形即可求出 解析 因为tan 10 50 所以tan10 tan50 tan10 tan50 所以原式 补偿训练 已知 解析 规范解答两角和与差的正切公式的综合应用 典例 12分 2015 宝鸡高一检测 如图 在平面直角坐标系xOy中 以Ox轴为始边作两个锐角 它们的终边分别与单位圆交于A B两点 已知A B的横坐标分别为 1 求tan 的值 2 求 2 的值 审题指导 要求tan 根据已知条件先求cos cos 再求tan tan 进而求tan 由tan 2 tan 求出 2 的正切 再根据 2 的范围求 2 规