2003年北京市中考数学试题.pdf

北京市 2003年高级中等学校招生统一考试 数学试卷 第 I 卷 机读卷共 56 分 一 选择题 共14 个小题 每小题4 分 共 56 分 在每个小题给出的四个备选答案中 只有一个是符合题目要求的 请把所选答案前的 字母按规定要求涂抹在 机读答题卡 第1 14 题的相应位置上 1 5的绝对值是 A 5 B 1 5 C 1 5 D 5 2 计算3 2 的结果是 A 9B 6C 1 9 D 1 9 3 计算aa 34 的结果是 A a 12 B aC a 7 D 2 3 a 4 2002 年我国发现首个世界级大气田 储量达6000 亿立方米 6000 亿立方米用科学记 数法表示为 A 610 2 亿立方米B 610 3 亿立方米 C 610 4 亿立方米D 0 610 4 亿立方米 5 下列图形中 不是中心对称图形的是 A 菱形B 矩形C 正方形D 等边三角形 6 如果两圆的半径分别为3cm和5cm 圆心距为10cm 那么这两个圆的公切线共有 A 1 条B 2 条C 3 条D 4 条 7 如果反比例函数y k x 的图象经过点P 2 3 那么k的值是 A 6B 3 2 C 2 3 D 6 8 在ABC中 C90 如果tan A 5 12 那么sin B的值等于 A 5 13 B 12 13 C 5 12 D 12 5 9 如图 CA 为 O 的切线 切点为 A 点 B 在 O 上 如果CAB55 那么AOB 等于 A 55B 90C 110D 120 A C O B 10 如果圆柱的底面半径为4cm 母线长为5cm 那么它的侧面积等于 A 20 2 cm B 40 2 cm C 20 2 cm D 40 2 cm 11 如果关于x 的一元二次方程kxx 2 690有两个不相等的实数根 那么k 的取值 范围是 A k1B k0C kk10且D k1 12 在抗击 非典 时期的 课堂在线 学习活动中 李老师从5 月 8 日至 5 月 14 日在 网上答题个数的记录如下表 日期5 月 8 日5 月 9 日5 月 10 日 5 月 11 日5 月 12 日5 月 13 日5 月 14 日 答题个数68 55 50 56 54 48 68 在李老师每天的答题个数所组成的这组数据中 众数和中位数依次是 A 68 55 B 55 68 C 68 57 D 55 57 13 如图 AB 是 O 的直径 弦CDAB 垂足为 E 如果 AB 10 CD 8 那么 AE 的 长为 A 2 B 3 C 4 D 5 B O C E D A 14 三峡工程在6 月 1 日于 6 月 10 日下闸蓄水期间 水库水位由106 米升至 135 米 高 峡平湖初现人间 假设水库水位匀速上升 那么下列图象中 能正确反映这10 天水位 h 米 随时间 t 天 变化的是 第 II 卷 非机读卷共 64 分 二 填空题 共4 个小题 每小题4 分 共 16 分 15 在函数yx3中 自变量x 的取值范围是 16 如果 在等边三角形ABC 中 点 D E 分别在 AB AC 边上 且 DE BC 如果 BC 8cm AD AB 1 4 那么ADE的周长等于 cm A D E B C 17 如图 B C 是河岸边两点 A 是对岸岸边一点 测得ABC45 ACB45 BC 60 米 则点A 到岸边 BC 的距离是 米 18 观察下列顺序排列的等式 9011 91211 92321 93431 94541 猜想 第n个等式 n 为正整数 应为 三 共 3 个小题 共14 分 19 本小题满分4 分 分解因式 xxyy 22 29 解 20 本小题满分4 分 计算 1 21 831 0 解 21 本小题满分6 分 用换元法解方程xx xx 2 2 35 6 3 0 解 四 本题满分5 分 22 如图 在平行四边形ABCD 中 点 E F 在对角线AC 上 且 AE CF 请你以F 为 一个端点 和图中已标明字母的某一点连成一条新线段 猜想并证明它和图中已有的某一 条线段相等 只须证明一组线段相等即可 1 连结 2 猜想 3 证明 D C F E A B 五 本题满分6 分 23 列方程或方程组解应用题 在社会实践活动中 某校甲 乙 丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路 三 环路 四环路的车流量 每小时通过观测点的汽车车辆数 三位同学汇报高峰时段的车 流量情况如下 甲同学说 二环路车流量为每小时10000 辆 乙同学说 四环路比三环路车流量每小时多2000 辆 丙同学说 三环路车流量的3 倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2 倍 请你根据他们所提供的信息 求出高峰时段三环路 四环路的车流量各是多少 解 六 本题满分7 分 24 已知 关于x 的方程xmxm 2 230的两个实数根是xx 12 且 xx 12 2 16 如果关于x 的另一个方程xmxm 2 2690的两个实数根都在x1和x2之间 求 m 的 值 解 七 本题满分8 分 25 已知 在ABC中 AD 为BAC的平分线 以C 为圆心 CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E 交 AD 于点 F 交 AE 于点 M 且BCAE FE FD 43 1 求证 AFDF 2 求AED的余弦值 3 如果 BD 10 求ABC的面积 1 证明 2 解 3 解 八 本题满分8 分 26 已知 抛物线yaxaxt 2 4与 x 轴的一个交点为A 1 0 1 求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标 2 D 是抛物线与y 轴的交点 C 是抛物线上的一点 且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9 求此抛物线的解析式 3 E 是第二象限内到x 轴 y 轴的距离的比为 5 2 的 点 如果点E 在 2 中的 抛物线上 且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧 问 在抛物线的对称轴上是否存在 点 P 使APE的周长最小 若存在 求出点P 的坐标 若不存在 请说明理由 解 试题答案 第 I 卷 机读卷共 56 分 一 选择题 共14 个小题 每小题4 分 共 56 分 1 A 2 D 3 C 4 B 5 D 6 D 7 A 8 B 9 C 10 B 11 C 12 A 13 A 14 B 第 II 卷 非机读卷共 64 分 二 填空题 共4 个小题 每小题4 分 共 16 分 15 x316 6 17 30 18 91109 nnn 或911011 nnn 三 共 3 个小题 共14 分 19 本小题满分4 分 分解因式 xxyy 22 29 解 xxyy 22 29 xy 2 92 分 xyxy334 分 20 本小题满分4 分 计算 1 21 831 0 解 1 21 831 0 212 213 分 24 分 21 本小题满分6 分 用换元法解方程xx xx 2 2 35 6 3 0 解 设xxy 2 3 1 分 则原方程化为y y 5 6 02 分 yy 2 560 解得yy 12 23 3 分 当y2时 xx 2 32 xx 2 320 解得xx 12 12 4 分 当y3时 xx 2 33 xx 2 330 9120 此方程无实数根 5 分 经检验 xx 12 12 都是原方程的根6 分 原方程的根为xx 12 12 四 本题满分5 分 22 如图 在平行四边形ABCD中 点 E F 在对角线AC 上 且AE CF 请你以F 为一个端点 和图中已标明字母的某一点连成一条新线段 猜想并证明它和图中已有的某 一条线段相等 只须证明一组线段相等即可 1 连结 2 猜想 3 证明 D C F E A B 答案一 1 连结BF 1 分 2 猜想 BF DE 2 分 3 证法一 四边形 ABCD 为平行四边形 ADBC ADBC DAEBCF 3分 在BCF和DAE中 CBAD BCFDAE CFAE B CFDA E4 分 BFDE5 分 证法二 连结DB DF 设 DB AC 交于点 O D C F E O A B 四边形 ABCD 为平行四边形 AOOC DOOB AEFC AOAEOCFC EOOF3 分 四边形 EBFD 为平行四边形4 分 BFDE5 分 答案二 1 连结DF 1 分 2 猜想 DF BE 2 分 3 证明 略 参照答案一给分 五 本题满分6 分 23 列方程或方程组解应用题 在社会实践活动中 某校甲 乙 丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路 三 环路 四环路的车流量 每小时通过观测点的汽车车辆数 三位同学汇报高峰时段的车 流量情况如下 甲同学说 二环路车流量为每小时10000 辆 乙同学说 四环路比三环路车流量每小时多2000 辆 丙同学说 三环路车流量的3 倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2 倍 请你根据他们所提供的信息 求出高峰时段三环路 四环路的车流量各是多少 解法一 设高峰时段三环路的车流量每小时x 辆 1 分 则高峰时段四环路的车流量为每小时 x2000辆 2 分 根据题意 得 32000210000 xx 4 分 解这个方程 得x110005 分 x200013000 答 高峰时段三环路的车流量为每小时11000 辆 四环路的车流量为每小时13000 辆 6 分 解法二 设高峰时段三环路的车流量为每小时x 辆 四环路的车流量为每小时y 辆 1 分 根据题意 得 3210000 2000 xy yx 4 分 解这个方程组 得 x y 11000 13000 5 分 答 高峰时段三环路的车流量为每小时11000 辆 四环路的车流量为每小时13000 辆 6 分 六 本题满分7 分 24 已知 关于x 的方程xmxm 2 230的两个实数根是xx 12 且 xx 12 2 16 如果关于x 的另一个方程xmxm 2 2690的两个实数根都在x1和x2之间 求 m 的 值 解 xx 12 是方程xmxm 2 230 1 的两个实数根 xxm xxm 1212 23 xx xxx x mm 12 2 12 2 12 2 16 416 41216 解得mm 12 14 3 分 i 当m1时 方程 1 为xx 2 230 xx 12 31 方程xmxm 2 2690 2 为xx 2 2150 xx 12 53 53 不在3和 1 之间 m1不合题意 舍去 5 分 ii 当m4时 方程 1 为xx 2 8120 xx xx 12 2 26 28150 方程 为 xx 12 35 2356 即xxxx 1122 方程 2 的两根都在方程 1 的两根之间 m47 分 综合 i ii m4 注 利用数形结合解此题正确的 参照上述评分标准给分 七 本题满分8 分 25 已知 在ABC中 AD 为BAC的平分线 以C 为圆心 CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E 交 AD 于点 F 交 AE 于点 M 且BCAE FE FD 43 1 求证 AFDF 2 求AED的余弦值 3 如果 BD 10 求ABC的面积 解法一 1 证明 AD平分BAC BADDAC BCAE BADBDACCAE A D EBADB ADEDAE EAED DE 是半圆 C 的直径 DFE90 AFDF2 分 2 解 连结DM DE是半圆 C 的直径 D M E FE FD 90 4 3 可设FExFDx43 则 由勾股定理 得DE 5x AEDEx AFFDx53 由切割线定理的推论 得AFADAMAE 3335 18 5 xxxAMx AMx MEAEAMxxx5 18 5 7 5 4 分 在Rt DME中 cos AED ME DE x x 7 5 5 7 25 5 分 3 解 过A 点作AN BE于 N 由cosAED 7 25 得sinAED 24 25 ANAEx 24 25 24 5 在CAEABE的中 C A EBAECBEA CAEABE AE BE CE AE AEBE CE xxx 2 2 5105 5 2 解得x27 分 ANx BCBDDC 24 5 48 5 10 5 2 215 SBC AN ABC 1 2 1 2 15 48 5 728 分 解法二 1 证明 同解法一 1 2 解 过A 点作AN BE于 N 在Rt DFE中 FE FD 43 可设 FE 4x 则 FD 3x 由勾股定理 得DEx5 AEDEx AFFDx SAD EFDEAN AD EFDEAN xxxx AN ANx ADE 53 1 2 1 2 3345 24 5 由勾股定理 得ENx 7 5 cos AED EN AE x x 7 5 5 7 25 5 分 3 解 在CAEBE和中 C A EBAECBEA CAEABE AE BE CE AE AEBE CE xxx 2 2 5105 5 2 解得x2 ANx 24 5 48 5 BCBDDC10 5 2 215 SBC AN ABC 1 2 1 2 15 48 5 728 分 八 本题满分8 分 26 已知 抛物线yaxaxt 2 4与 x 轴的一个交点为A 1 0 1 求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标 2 D 是抛物线与y 轴的交点 C 是抛物线上的一点 且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9 求此抛物线的解析式 3 E 是第二象限内到x 轴 y 轴的距离的比为 5 2 的 点 如果点E 在 2 中的 抛物线上 且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧 问 在抛物线的对称轴上是否存在 点 P 使APE的周长最小 若存在 求出点P 的坐标 若不存在 请说明理由 解法一 1 依题意 抛物线的对称轴为x2 抛物线与x 轴的一个交点为A 1 0 由抛物线的对称性 可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为 3 0 2 分 2 抛物线yaxaxt 2 4与 x 轴的一个交点为A 1 0 aat ta yaxaxa Da 1410 3 43 0 3 2 2 梯形 ABCD 中 AB CD 且点 C 在抛物线yaxaxa 2 43上 Ca ABCD 4 3 24 梯形 ABCD 的面积为9 1 2 9 1 2 24 39 1 ABCDOD a a 所求抛物线的解析式为yxx 2 43或yxx 2 435 分 3 设点 E 坐标为 xy 00 依题意 xy 00 00 且 y x 0 0 5 2 yx 00 5 2 1 设点 E 在抛物线yxx 2 43上 yxx 00 2 0 43 解方程组 yx yxx 00 00 2 0 5 2 43 得 x y x y 0 0 0 0 6 15 1 2 5 4 点 E 与点 A 在对称轴x2的同侧 点 E 坐标为 1 2 5 4 设在抛物线的对称轴x2上存在一点P 使APE的周长最小 AE 长为定值 要使APE的周长最小 只须PAPE最