第二章多元正态分布及其抽样分布

第二章多元正态分布及其抽样分布 内容 第一节多元正态分布的定义第二节多元正态的性质第三节多元正态参数的极大似然估计第四节多元正态的样本分布 第一节多元正态分布的定义 一 标准多元正态分布 则 设随机向量 其分量独立同分布于 密度函数为 其中的 均值为 协方差矩阵为 二 一般的正态分布 设随机向量 若其的密度函数为 其中的均值为 协方差为 称服从均值为E X 协方差为 的正态分布 三 一般的p维正态和p维标准正态的关系 设 其中是一个阶非退化矩阵 服从维标准正态分布 则 服从p维正态分布 且均值向量为 x的协方差矩阵为 其密度函数为 若 则 1存在 是非退化元正态分布 若 则不存在 是退化元正态分布 不存在密度函数 值得注意 设随机向量 是常数向量 是一个的常数矩阵 则服从正态分布 记为 其中 例 设随机向量 则的分布是退化的三元正态分布 第二节多元正态分布的性质 二 x是一个服从p维正态分布 当且仅当它的任何线性函数服从一元正态分布 一 多元正态分布的特征函数 三 X服从维正态分布 则 其中为常数矩阵 为维的常数向量 则 四 设 则的任何子向量也服从多元正态分布 其均值为的相应子向量 协方差为的相应子矩阵 五 设 相互独立 且 则对任意个常数 有 六 则分布 七 将作如下的分块 子向量相互独立 当且仅当 证 必要性 八 设 其中是阶矩阵 是阶矩阵 则与相互独立 当且仅当 九 设 其中是阶矩阵 是阶矩阵 则与相互独立 当且仅当 同上可证 十 将作如下的分块 则与相互独立 与相互独立 证 则给定时的条件分布为 其中 十一 将作如下的分块 为给定的条件下数学期望 十二 偏相关系数 矩阵称为条件协方差矩阵 它的元素用表示 是当给定的条件下 与 的偏相关系数 定义为 它度量了在值给定的条件下 与 相关性的强弱 例设X N6 其协方差矩阵为 计算偏相关系数 求x7给定的条件下 x1 x6的偏协方差矩阵 3实例分析及SAS CORR 例1今对31人进行人体测试 考察的7个指标是 x1 年龄x2 体重x3 肺活量x4 1 5英里跑所需时间x5 休息时的脉搏x6 跑步时的脉搏x7 跑步时记录的最大的脉搏对这些指标进行一些相关分析 SAS的程序dataa inputx1 x7 cards 4489 4744 60911 37621781824075 0745 31310 07621851853889 0249 8749 2255178180474861 2447 92011 50521701765282 7847 46710 5053170172 proccorrnosimplcov varx1 withx7 partialx3 run proccorrnosimplcov 分析相关系数nosimpl是要求不打印描述性统计量 varx1 指定分析相关系数的变量 withx7 with指定变量与var指定的变量之间的相关系数 partialx3 当指定的变量给定时 计算偏相关系数 在肺活量一定的条件下 年龄和跑步时记录的最大脉搏成负相关 1PartialVariables x31WithVariables x71Variables x1PartialCovarianceMatrix DF 29x1x7 24 95076704PearsonPartialCorrelationCoefficients N 31Prob r underH0 PartialRho 0 x1x7 0 545730 0018 第三节极大似然估计及其性质 则总体的密度函数为 X1 X2 Xn是从总体中抽取的一个简单随机样本 满足X1 X2 Xn相互独立 且同正态分布 称X为样本数据矩阵 一 样本的联合密度函数 为样本联合密度函数 所以 似然函数还可以表示为 二 和 的极大似然估计 所谓 和 的极大似然估计 是寻找和满足条件 令 可以证明 和 的极大似然估计为 三 相关系数的极大似然估计 一 极大似然估计的不变性质设是的极大似然估计是 而且变换 f 是一一对应的 则f 的极大似然估计就是 二 简单相关系数的极大似然估计 其中Sij是样本协方差矩阵S中相应位置上的元素 三 偏相关系数的极大似然估计 则偏相关系数的极大似然估计 其中 四 复相关系数的极大似然估计 将x和S作如下的分块 的线性函数为 定义 复相关系数 一个变量y与一组变量X1 X2 XK的负相关系数是以y为被解释变量 X1 X2 XK为自变量的回归方程的可决系数 为了研究四川经济增长的影响因素 欲建立四川省经济增长模型 主要经济指标采用国内生产总值增长率 Y 投资指标 资本形成总额增长率 X1 人口指标 用自然增长率 X2 就业指标 失业率 X3 和消费指标 居民消费水平增长率 X4 分析指标之间的关系 dataa inputyx1 x4 cards 数据行 proccorrnosimplnoprobcov run prociml sigma22 76 586056192 59407381 3 4580761949 03157071 2 594073815 14447619 0 782523814 24046429 3 45807619 0 782523813 63747619 2 32063571 49 031570714 24046429 2 3206357153 90793143 sigma12 57 790535244 91975476 2 9884452452 41117214 fcorr sigma12 inv sigma22 t sigma12 54 8989690 printfcorr procreg modely x1 x4 run AnalysisofVarianceSumofMeanSourceDFSquaresSquareFValuePr FModel41089 28592272 32148501 20 0001Error168 693460 54334Total201097 97938RootMSE0 73712R Square0 9921DependentMean115 58238AdjR Sq0 9901CoeffVar0 63774FCORR 0 9920823 四 估计量的性质 1 不变性 2 无偏性 3 有效性 4 相合性 5 充分性 中小企业的破产模型为了研究中小企业的破产模型 首先选定了X1总负债率 现金收益 总负债 X2收益性指标 纯收入 总财产 X3短期支付能力 流动资产 流动负债 和X4生产效率性指标 流动资产 纯销售额 4个经济指标 对17个破产企业为 1 和21个正常运行企业 2 进行了调查 得资料如下 如果这些指标是用来做判别分析和聚类分析的变量 他们之间没有显著性差异是不恰当的 所以检验所选择的指标在不同类型企业之间是否有显著的差异 x1 x2 x3 x4均为判别变量 x1 x3为判别变量 多元假设检验StatisticValueFValueNumDFDenDFPr FWilks Lambda0 545616206 874330 0004Pillai sTrace0 454383806 874330 0004Hotelling LawleyTrace0 832790156 874330 0004Roy sGreatestRoot0 832790156 874330 0004直接检验两个总体的均值向量是否相等 DependentVariable x1 对X1进行的检验 SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr FModel10 874667910 8746679116 900 0002Error361 863008400 05175023CorrectedTotal372 73767632X1在类间有显著性差异 DependentVariable x2 对X2进行的检验 SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr FModel10 083120770 083120771 950 1710Error361 533700280 04260279CorrectedTotal371 61682105X2在类间没有显著性差异 DependentVariable x3 对X3进行的检验 SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr FModel116 4695844316 4695844321 45 0001Error3627 640805040 76780014CorrectedTotal3744 11038947X3在类间有显著性差异 DependentVariable x4 对X4进行的检验 SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr FModel10 001126940 001126940 030 8643Error361 369780950 03804947CorrectedTotal371 37090789X4在类间没有显著性差异 第四节抽样分布 一 维希特 Wishart 1 定义随机矩阵的分布 矩阵中的每一个元素均为随机变量 则矩阵X的分布是其列向量拉长 组成一个长向量 特别当是阶对称阵 则的分布为的下三角部分组成的长向量 在一元正态随机变量中 我们曾经讨论了分布 在多元正态随机变量也有类似的样本分布 维希特分布 Wishart 相当于一元统计中的分布 定义维希特 Wishart 分布的统计量 设个随机向量 独立同分布于 则随机矩阵 服从自由度为的非中心维斯特分布 记为 定理1 若 且 则的分布密度为特别 当和时 服从分布 维希特 Wishart 分布的密度函数 二 维斯特 Wishart 分布有如下的性质 1 若A1和A2独立 其分布分别和 则的分布为 即维斯特分布有可加性 2 C为m p阶的矩阵 则的分布为分布 三 抽样分布 定理1 设X1 X2 Xn是来自多元正态总体Np 的简单随机样本 有 则有 证明 独立 故 且相互独立 独立 当 时 由卡方分布的定义可知 可见维希特分布是由卡方分布在多元下的推广 服从自由度为的卡方分布 定理2设独立同正态分布 则统计量 证 由于样本均值 相互独立的标准正态分布的平方和为自由度为的卡方分布 在一元正态的情形下 我们有样本的统计量当总体的方差未知时 我们必须用样本的方差来代替总体的方差 则那么在多元正态的情形下 是否有相同的问题呢 回答时肯定的 定义 称T2服从参数为P和n的非中心霍特林 Hotelling 分布 当 当时 服从自由度为n的中心霍特林分布 记为 定理 定理 设是来自多元正态总体的简单随机样本 有 定理 设是来自多元正态总体的简单随机样本 设是来自多元正态总体的简单随机样本 1 Wilks分布 定义 设和 且相互独立 和 则称服从Wilks分布 记 可以证明 当