北京海淀区十一学校培训班讲义

1 目目 录录 第一讲第一讲 逻辑推理初步逻辑推理初步 2 第二讲第二讲 循环小数化分数循环小数化分数 4 第三讲第三讲 分数计算 一 分数计算 一 10 第四讲第四讲 分数计算 二 分数计算 二 13 第五讲第五讲 分数 百分数应用题 一 分数 百分数应用题 一 17 第六讲第六讲 分数 百分数应用题 二 分数 百分数应用题 二 22 第七讲第七讲 生活中的经济问题生活中的经济问题 27 第八讲第八讲 工程问题工程问题 29 第九讲第九讲 圆的周长与面积圆的周长与面积 32 第十讲第十讲 不定方程不定方程 40 2 第一讲第一讲 逻辑推理初步逻辑推理初步 学习提示学习提示 本讲主要是逻辑推理问题 这类问题很少依赖数学概念 法则 公式进行计算 而主 要是根据某些条件 结论以及它们之间的逻辑关系进行判断推理 最终找到问题的答案 像这样的问题我们称之为逻辑推理问题 典型题解典型题解 下面介绍一些逻辑推理问题以及逻辑推理的基本方法和基本技巧 例 1 我国有 三山五岳 之说 其中五岳是指 东岳泰山 南岳衡山 西岳华山 北岳恒 山和中岳嵩山 一位老师拿出这五座山的图片 并在图片上标出数字 他让五位同学来辨 别 每人说出两个 学生回答如下 甲 2 是泰山 3 是华山 乙 4 是衡山 2 是嵩山 丙 1 是衡山 5 是恒山 丁 4 是恒山 3 是嵩山 戊 2 是华山 5 是泰山 老师发现五个同学都只说对了一半 那么正确的说法是什么呢 例 2 甲乙丙三人对小强的藏书数目做了一个估计 甲说 他至少有 1000 本书 乙说 他的书不到 1000 本 丙说 他至少有一本书 这三个估计只有一句是对的 那么小 强究竟有多少本书 例 3 从前有三个和尚 一个讲真话 一个讲假话 另一个有时讲真话 有时讲假话 一天 一位智者遇到这三个和尚 他问第一个和尚 你后面是哪一个和尚 和尚回答 讲 真话的 他又问第二位和尚 你是哪一位 得到的回答是 有时讲真话 有时讲假 话 他问第三位和尚 你前面是哪位和尚 第三位和尚回答说 讲假话的 根据 他们的回答 智者很快分清了他们各自是哪一位和尚 请你说出智者的答案 例 4 桌上放了 8 张扑克牌 都背向上 牌放置的位置如图所示 现已知 1 每张都是 A K Q J 中的一张 2 这 8 张牌中至少有一张 Q 3 其中只有一 张 A 4 所有的 Q 都夹在两张 K 之间 5 至少有一张 K 夹在两张 J 之间 6 J 和 Q 互不相邻 A 和 K 也互不相邻 7 至少有两张 K 相邻 则图中的 8 张牌各是什么 牌 例 5 一天 一位老师让学生来分辨五位科学家的画像 老师把画像从 1 到 5 编了好 让各 个学生说出其中任意两位科学家的名字 张三说 2 号是牛顿 3 号是伽利略 李四说 1 号是瓦特 2 号是爱因斯坦 王五说 3 号是爱因斯坦 5 号是瓦特 许六说 2 号是牛顿 4 号是哥白尼 陈七说 4 号是哥白尼 1 号是伽利略 3 老师听后 发现每人都只说对了一半 试问这几位科学家的画像分别是几号 例 6 在一次有 3 人参加的讲话中 小张指责小王和小李 你们都在说谎 小李却说 小张正在说谎 小王则说 小李正在说谎 试判断他们谁讲的是真话 谁讲的是假 话 例 7 有三名工人 一名是电工 一名是车工 一名是钳工 又知道下面三种说法只有一种 是对的 1 甲是车工 2 乙不是车工 3 丙不是钳工 请问他们各是什么工种 例 8 有四人打桥牌 牌中不含大 小王 每人共 13 张牌 已知某人手中的牌如下 1 红桃 黑桃 方块 梅花四种花色的牌都有 2 各种花色的牌 张数不同 3 红桃和黑桃共有 6 张 4 红桃和方块共有 5 张 5 有两张主牌 将牌 问这手牌以什么花色为主牌 逻辑推理的特点就是条件繁多 错综复杂 纵横交错 如何从复杂的条件中选准突破逻辑推理的特点就是条件繁多 错综复杂 纵横交错 如何从复杂的条件中选准突破 口 层层剖析 步步逼近 逐渐向结论靠拢 这是解决这类问题的关键 因此我们在推理口 层层剖析 步步逼近 逐渐向结论靠拢 这是解决这类问题的关键 因此我们在推理 的过程中有时常采用列表的方法将条件当中的一些信息进行分类的用各类符号表示各种条的过程中有时常采用列表的方法将条件当中的一些信息进行分类的用各类符号表示各种条 件 然后运用几何直观把错综复杂的条件变的一目了然 答案也就找到了 件 然后运用几何直观把错综复杂的条件变的一目了然 答案也就找到了 例 9 同住一间宿舍的 A B C D 四名女大学生 正在听一组乐曲 她们当中有一人在修 指甲 一人在做头发 一人在化妆 另一人在看书 已知 1 A 不在修指甲 也不在看书 2 B 不在化妆 也不在修指甲 3 如果 A 补在 化妆 那么 C 不在修指甲 4 D 不在看书 也不在修指甲 问她们各自在做什么 例 10 在一个年级里 甲 乙 丙三位老师分别讲授数学 物理 化学 生物 语文 历 史 每位老师教两门课 现知道 1 化学老师和数学老师住在一起 2 甲老师是三位老师中最年轻的 3 数学老师和 丙老师是一对优秀的国际象棋手 4 物理老师比生物老师年长 比乙老师年轻 5 三 人中最年长的老师住家比其他二位老师远 问甲乙丙三位老师分别教哪两门课 例 11 A B C D 四人分别掌握英 法 德 日四种语言中的两种 其中有三人会说英 语 但没有一种语言四个人都会 并且知道 没有人既会日语又会法语 A 会日语 而 B 不会 但他们可以用另一种语言交谈 C 不会德语 A 和 D 交谈时 需要 C 为他们做翻译 B C D 不会同一种语言 请说出四人分别掌握哪种语言 例 12 甲 乙 丙 丁 戊五人各自从图书馆借来一本小说 他们约定读完后互相交换 经过数次交换后 他们五人每人都读完了这五本书 现已知 1 甲最后读的书是乙读的第二本 2 丙读的第二本甲在一开始就读了 3 丙最后读 的书是乙读的第四本 4 丁读的最后一本是丙读的第三本 5 乙读的第四本是戊读的 第三本 6 丁第三次读的书是丙开始读的那一本 请判断出读这五本书的顺序 例 13 小东 小兰 小英读书的学校分别是一中 二中 三中 他们各自爱好游泳 篮球 排球中的一项体育运动 但谁爱哪项运动 在哪个学校读书还不清楚 只知道 1 小东不在一中 2 小兰不在二中 3 爱好排球的不在三中 4 爱好游泳的在一 中 5 爱好游泳的不是小兰 你能弄清楚他们各自读书的学校和爱好的运动项目吗 例 14 宾馆里住着 A B C D E F 六个不同国籍的客人 他们来自美 英 法 德 俄国和意大利 现在知道 1 A 和美国人是医生 2 E 和俄国人是教师 3 C 和德国人是工程师 4 B 和 F 都曾是运动员 5 而德国人从来不爱运动 6 法国人比 A 年龄要大 7 C 比意大利人 4 年龄小 8 B 同美国人到英国去旅行 9 C 同法国人要到瑞士去度假 问 A B C D E F 各是哪国人 第二讲第二讲 循环小数化分数循环小数化分数 学习提示 学习提示 在进行分数和小数的大小比较以及分数 小数的混合运算中 常常要把分数化成小数 或者把小数化成分数 所以 理解和掌握分数和小数互化的方法 不仅可以沟通分数和小 数的联系 深刻理解分数 小数的意义 而且可以为学习分数 小数的混合运算打好基础 从本质上看 小数 这里指有限小数和无限循环小数 不包括无限不循环小数 可以看作 分数的另一种表示形式 所以分数和小数可以互化 典型题解典型题解 一 一 循环小数化成分数循环小数化成分数 1 纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数 怎样把它化成分数呢 看下 面例题 例 1 把纯循环小数化分数 1 0 6 2 3 102 1 0 6 106 6666 0 6 0 6666 0 6 96 62 0 6 93 解 两式相减得 所以 2 3 1020 102 0 102 1000102 102 102 0 1020 102 102 0 102 999102 10234 0 102 999333 102 3 1023 999 解 先看小数部分 两式相减得 所以 34 3 333 从以上例题可以看出 纯循环小数的小数部分可以化成分数 这个分数的分子是一个 循环节表示的数 分母各位上的数都是 9 9 的个数与循环节的位数相同 能约分的要约分 2 混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数 怎样把混循环小数化为分数呢 看下面的例题 例 2 把混循环小数化分数 1 0 215 2 6 353 5 1 0 215 1000 215 1515 0 215 10 2 151515 0 215 990 2152 215 221371 0 215 990990330 解 两式相减得 20 353 0 353 1000 353 333 0 353 100 35 333 0 353 900 35335 353 3531853 0 353 900900150 353 35318 6 353 66 900 解 先看小数部分 两式相减得 所以 53 6 900150 由以上例题可以看出 一个混循环小数的小数部分可以化成分数 这个分数的分 子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差 分母 的头几位是 9 末几位是 0 9 的个数与循环节中的位数相同 0 的个数与不循环部分的位 数相同 练习 1 化纯循环小数为分数 1 0 23 2 0 107 2 化下列混循环小数为分数 1 0 312 2 0 003 3 0 2316 二 二 循环小数的四则运算循环小数的四则运算 循环小数化成分数后 循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行 从这种意 义上来讲 循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样 也是分数的四则运算 例 3 计算下面各题 1 2 45 3 13 2 2 609 1 32 3 4 3 2 4 4 1 240 3 解 先把循环小数化成分数后计算 5297 12 3 5 1115165 61322839 22 1 1 100999900 1416 3 42 10 3927 818 4 1 3 33311 原式 原式 原式 原式 6 三 三 循环小数作加法循环小数作加法 循环小数能直接作加法运算吗 1 有限小数加循环小数 考察下面的例子 计算 0 20 3 0 280 7 0 40 32 0 980 45 0 6780 54 0 60 38 目前我们只能将这些小数都化成分数才能算出结果 118 0 20 30 53 5315 77238 0 280 71 057 259225 232358 0 40 320 7232 599495 495789 0 980 451 4345 5011550 33966729 0 6780 541 223454 500115500 33589 0 60 380 98 59090 现在 根据下面的提示 直接观察每个算式于最后结果之间的关系 希望你能从 中发现直接运算的法则 0 20 30 20 330 53 0 280 70 280 7771 057 0 40 320 40 32320 7232 0 980 450 980 45451 4345 0 6780 540 6780 5454541 223454 0 60 380 98 怎么样 发现了什么直接算的规则了吗 请归纳出来 我们利用类似的方法还可以去 研究其他的几种情形 2 两个循环节位数相同的纯循环小数相加 考察下面的一些例子 235 0 20 30 5 999 123405528 0 1230 4050 528 999999999 7 36 0 30 61 99 875 0 80 71 6 993 5849107 0 580 491 08 999999 9785841562 0 9780 5841 563 999999999 再试试直接列竖式结果会怎样 能归纳出直接运算的法则了吗 3 两个循环节位数不相等的纯循环小数相加 考察下面的例子 32154 0 30 210 54 99999 6212878 0 60 2120 878 9999999 23324556647 0 230 3240 556647 99999999999 598153 0 50 981 54 99999 674981175265 0 670 4981 175266 99999999999 再试试直接列竖式结果会怎样 能归纳出直接运算的法则了吗 如果能得出以上三种情形的运算法则的话 那么 利用这些法则去直接计算混循 环小数之间的加法运算就不是一件难事了 规律 1 有限小数家循环小数 和仍然是个循环小数 其循环节跟原加数的循环节 相同 法则是 用有限小数跟循环小数的非循环部分对应数位相加 循环 小数的非循环部分不够时 就用第一个循环节 第二个循环节 补足再 相加 用这个和作和的非循环部分 原来加数的循环节仍作和的循环节 2 两个循环节位数相同的纯循环小数相加 和仍然是个循环小数 法则是 用两个循环节相加的和除于 99 9 其中 9 的个数等于循环节的位数 商作和的整数部分 余数作小数部分的循环节 若余数位数不够原加数循 环节的位数时 就在余数的前面补足 0 作循环节 3 两个循环节位数不同的纯循环小数相加 和仍然是个循环小数 其循环节 的位数是两个加数循环节位数的最小公倍数 方法是 先把两个加数改成 循环节位数相同 两加数循环节位数的最小公倍数 而大小不变的循环小 数 再按照法则 2 进行计算 1 直接计算下列各题 0 40 3 0 430 35 0 90 8 0 980 89 0 40 98 0 50 89 练习 8 0 1230 234 0 4560 567 0 780 123 0 40 789 0 8250 78 2 直接计算下列各题 0 230 435 0 3890 983 0 2370 8 0 75460 283 0 2030 023 0 6780 678 3 将分数化成小数计算 2 1 0 85 3 51 2 0 38 69 25491 3 3691199 7583113 4 0 3 8999999 四 四 循环小数与整数作乘法循环小数与整数作乘法 我们已经知道 循环小数之间可以作加法运算 由于一个数乘以整数就是求几个 相同数连加的简便运算 因此 找出循环小数乘以整数的运算法则是完全可能的 下 面分两种情形来讨论 1 纯循环小数乘以整数 考察下面例子 3 0 3 220 6 9 3 0 3 441 3 9 43 0 43 220 86 99 8373348 0 837 443 351 999999 再试试直接列竖式结果会怎样 能归纳出直接运算的法则了吗 2 混循环小数乘以整数 混循环小数乘以整数可以转化为纯循环小数进 行计算 例如 计算 0 32 5 0 32 10 5 10 3 2 5 1016 1 101 61 任何一个混循环小数乘以整数的试题都可以利用类似的方法转化 不是吗 请归纳出法 则 规律 1 纯循环小数乘以整数 积仍然是个纯循环小数 其循环节的位数跟原循环小数 中的循环节位数相同 法则是 用循环节乘以整数的积除以 99 9 其中 9 的个数等于循环节的位数 商作积的整数部分 余数作积的循环节 2 混循环小数乘以整数 先将混循环小数扩大一定的倍数 使它变成纯循环小数 按照纯循环小数乘以整数的法则算出积 再将所得的积缩小同样的倍数 就得 到混循环小数乘以整数的积 1 计算下列各题 0 4 2 0 04 4 0 24 6 练习 9 0 324 8 0 56 3 0 056 5 0 256 7 0 1256 9 0 506 8 2 计算 0 8 0 9 0 87 0 65 0 850 6 13 8 170 35 9 125 0 8 7 7 087 490 138 10 第三讲第三讲 分数计算 一 分数计算 一 学习提示学习提示 在分数四则混合运算中 按照四则运算的顺序进行计算的同时 如果能够根据数据特 点灵活运用定律 可以使计算更简便 迅速 这一点在一定程度上反映一个人智商的高低 和知识掌握的灵活程度 典型题解典型题解 例例 1 20111934 113 003 20919195 分析 我们在五年级学过数的整除 看到 209 119 195 这样的数 不难想起 7 11 13 19 等质数 3 003 好象与 1001 有关系 它可是有 7 11 13 这三个质因数 好象能约分 可以试一试 250019343003 2091191951000 原式 2500192 173 7 11 13 11 197 173 5 131000 1 太好了 约完分正好等于 1 看到一个数字 你能想起哪些数学知识 这也可以说是 数感吧 例例 2 20041 20042004 20052006 分析 数太大了 不妨用常规方法计算一下 先把带分数化成假分数 分母 这算式可以运用乘法分配律等于 又可以约分 2004 20052004 2004 2006 1 2006 2004 2006 原式 2004 2005 1 2006 20051 20062006 1 2005 2004 2004 2006 真好 又等于 1 聪明的同学们 如果你的数感很强的话 不难看出 的被除数与除数都含有 2004 把他们同时除于 2004 得到也 2004 2004 2005 2005 1 1 1 2005 是很好算的 这一方法就留给你们吧 例例 3 1 31 8 7 9 19 944 3 2 1 4 分析 算式是乘加乘的形式 有可能运用乘法分配律 第一个乘法算式与第三个乘法 算式中分别有两个因数 7 9 和 2 1 但是另一个因数不相同 可以把 44 3 拆成 31 8 与 12 5 的和后反复运用乘法分配律 11 1 31 8 7 9 19 9 31 8 12 5 2 1 4 原式 1 31 8 7 9 19 931 8 2 1 12 5 2 1 4 1 31 8 7 92 1 19 912 5 2 1 4 318 19 8 1 25 1 25 2 1 318 19 8 19 1 25 1 25 2 1 318 152 1 25 1921 318 15250 520 怎么样 合理运用和 差 积 商的变化规律进行拆分 转化创造条件运用运算定律 可以使计算变的简单吧 例 4 1 2 3 4 2 4 6 8 4 8 12 16 1 3 5 7 2 6 10 14 4 12 20 28 分析 看起来数很大 很复杂 但排列很有规律性 自不用说 1 2 3 4 哇 4 2 4 6 81 2 2 2 2 3 2 4 21 2 3 4 4 4 8 12 16 41 2 3 4 分母也有这一规律 用乘法分配律又可以约分了 444 444 11 2 3 421 2 3 4 41 2 3 4 11 3 5 7 21 3 5 7 41 3 5 7 原式 444 444 1 2 3 4 1 2 4 1 3 5 7 1 2 4 8 35 例 5 2 2004 4 20042003 2005 2 20042004 200420042004 2003 20052005 2003 200420032003 2004 2004 2003 2003 1 分析 即表示个 表示个 也可以看成个再加上一个这样分母就转变为 2004 4 2004 20042003 20042003 2004 4 2004 20042003 2003 2004 4 2008 原式 12 其实此题运用的就是例 3 中拆数的方法 正反运用乘法分配律 分数计算千变万化 但万变不离其宗 除了要掌握分数运算的计算法则 定律 性质 外 还要有以下两种意识 1 约分 约简分子 分母中的公因数及公因式 2 灵活运用定律 性质 这里说的主要是运用乘法分配律 对于形如乘加 减 乘的算 式及乘法算式 有一个因数可以凑整时 分析另一个因数的特点 必要时进行拆 分 从而使用乘法分配律进行简便计算 同学们 通过以上讲解 不知对你是否有些启发 试一下怎么样 课后自测 课后自测 3 15 61 9 9 0 38 0 19 31 1 10 3314 232 843 11 42 1 4525 19981 31998 19981999 2000 153 43 473 67 53 3 9185 423119 51 18 20 19341223 139 1 3 3 9 11 73 9 27 171717 6 1 1 3 2 6 3 93 6 9 17 2 23 1717 111111 7111111 2345998999 1234567898765432 1 8 999999999 13 第四讲第四讲 分数计算 二 分数计算 二 学习提示学习提示 在五年级的课本中 我们就学习过这样的题目 如果直 1111 1 22 33 44 5 接通分计算 是对的 但是显然很麻烦 我们可以把每一个分数拆分为两个单位分数的差 来计算 原式 通过拆分 使得一部 1111111114 1 1223344555 分分数相互抵消 从而简便计算 两千多年前 古埃及人总喜欢把分数转化为分子是 1 的 分数来计算 所以后人常把分子是 1 的分数叫做埃及分数 埃及分数在分数计算中有着重 要的规律 如 111 1 1 1 1111 2 1111 3 2 1111 4 3 aaaa a bab a babba a b cabc a b ca bb c a b c dabcd a b cda b cb cd 为两个连续自然数 且 为三个连续自然数 且 为四个连续自然数 且 这一讲 我们就来研究通过分数的拆分 计算较复杂的分数计算题 典型题解典型题解 例例 1 11111 1 22 33 498 9999 100 分析分析 每项分子都是 1 分母都是两个连续自然数的乘积 所以每项都可以拆成两个单位分 数的差 一部分分数相互抵消 从而使计算简便 解答 原式 1111111111 122334989999100 1 1 100 99 100 怎么样 够简单吧 例 2 111111 2 55 88 1111 1414 1717 20 分析 每项分子都是 1 分母排列很有规律 但不是连续的自然数 差均为 3 拆分时不要 忘了每一项都乘以 1 3 解答 原式 111111111111111 32535838113141731720 14 111 3220 3 20 例 3 20042004200420042004 545117221357 分析 哇 数太大了吧 别急 仔细看看 分子可都是 2004 不就可以看成 2004 乘分子都 是 1 的分数了吗 那分母呢 分母是两个差是 4 的自然数51 5 455 9 1179 13 22113 17 35717 21 的乘积形式 可以拆分分数了 不过 可别忘了 2004 乘 1 4 解答 原式 11111 2004 545117221357 111111 2004 1 55 99 1313 1717 214 11 2004 1 214 3340 7 题目的形式变了 可逃不脱同学们敏锐的观察力 总可以转化成我们学习过的形式 艺高 人胆大 胆大可还要心细哟 例 4 1111 1 2 32 3 43 4 518 19 20 分析 这道题的每一项的分子都是 1 分母均为 3 个连续自然数相乘的形式 可以用拆分分 数的方法 怎么拆 比如第一项 依此类推 噢对了 别忘 1111 1 2 31 22 32 了三个连续自然数都乘 1 2 解答 原式 111111111 1 22 322 33 4218 1919 202 15 1111111 1 22 32 33 418 1919 202 111 23802 1891 3802 189 760 例 5 1111 39924 111111111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2232342399 分析 没见过这么复杂的题 太难了 没关系 找不到思路的话可以一项一项的试算一下看 有没有什么规律 1 13122 2 1 22232 3 1 2 11 122 33 1134 343 4 1 1 2323 11 122 44 111345 454 5 1 1 1 234234 发现了 发现了 都可以转化为分子都是 2 而分母是两个连续自然数乘积的形式 那么 最后一项就是 就如同例 3 可以拆分分数了 2 99 100 解答 原式 1111 39924 3343453451 22323423499 2222 2 33 44 599 100 111111 2 233499100 11 2 2100 49 50 怎么样 还不算难把 灵活利用埃及分数的拆分规律 可以简便这一些看起来很复杂的分 16 数数列计算 但要特别注意以下几点 1 认真审题 找准规律 灵活应用简算方法 2 对于比较陌生的题目 可采用试算找规律的方法 转化为学习过的题目 3 掌握基本方法的同时 勇于创新 寻找新的解题方法 好了 开始我们的练习 在练习中巩固你学会的方法 并开始你新的探索 课后自测 1 1111 2 33 44 52003 2004 2 1111111 12203042567290 3 1111 12320 2612420 4 555555 1484204374594864 首届 六一 杯六年级决赛试题 5 2222 1 2 32 3 43 4 528 29 30 6 234100 11 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 99 1 2 100 7 1111 1 2123123412319 8 1111 1 2 3 42 3 4 53 4 5 611 12 13 14 9 1121231234112399 1 23344455556100100100100 10 222222222222 122334452002200320032004 1 22 33 44 52002 20032003 2004 17 第五讲第五讲 分数百分数应用题 一 分数百分数应用题 一 学习提示 学习提示 分数 百分数应用题是小学数学的重要内容 也是小学数学的重点和难点之一 学好 分数 百分数应用题对发展能力 提高解题技能 具有非常重要的作用 解答分数 百分 数应用题的关键是确定单位 1 能够准确找出量与率之间的对应关系 分数 百分数应 用题涉及的知识广泛 数量关系变化莫测 有时数量关系又比较隐蔽 我们必须仔细审题 能灵活的应用一些解题方法 基本训练 基本训练 1 男生人数占全班人数的 你想到了什么 11 5 分析 这句话就是我们平时所说的 带有分率的句子 它包含了丰富的数量关系 看到 这句话我们能想到 1 把全班人数看作单位 1 把全班人数平均分成 11 份 男生相当于其中的 5 份 女生相当于其中的 6 份 2 女生人数占全班人数的 11 6 3 男生人数占女生人数 6 5 4 女生人数是男生人数倍 5 6 2 读一本 120 页的书 读了这本书的 还剩多少页 3 2 分析 1 读了这本书的 以这本书的页数为单位 1 没读的占这本书的 单位 3 2 3 2 1 1 的量是已知的为 120 页 求的对应量 页 量 3 2 1 40 3 2 1120 与率的对应是解答分数 百分数的应用题的关键 2 我们还可以换一个角度来思考 读了这本书的 以这本书的页数为单位 1 3 2 把单位 1 平均分成 3 份 读了其中的 2 份 还有 3 2 份没读 页 这样就把一个分数应用题转化为整数应用题 这是解 40233120 18 答分数 百分数应用题的一个重要思路 3 读一本 120 页的书 第一天读了这本书的 第二天读了这本书的 还剩下多 3 1 0 0 25 少页没有读 分析 把百分数化成分数 分析的方法与上题相同 页 5025 3 1 1120 0 0 2 2 3 3 题的数量关系基本是相同的 单位 题的数量关系基本是相同的 单位 1 1 的量的量分率分率 分率的对应量 分率的对应量 4 读一本 120 页的书 第一天读了这本书的 第二天读了这本书的 还剩下 3 1 0 0 25 50 页没读 这本书一共多少页 分析 以这本书的总页数为单位 1 还与剩下的 50 页对应的分率是 求单 0 0 25 3 1 1 位 1 的量 用除法计算 页 12025 3 1 150 0 0 5 读一本书 第一天读了这本书的 第二天读了这本书的 第一天比第二天多 3 1 0 0 25 读了 10 页 这本书一共多少页 分析 第一天比第二天多占这本书的 与第一天比第二天多看的 10 页相对应 0 0 25 3 1 求单位 1 的量 用除法计算 页 12025 3 1 10 0 0 4 5 6 题的数量关系基本相同 分率的对应量分率 单位 1 的量 在认真读题 的基础上 首先确定谁为单位 1 再结合线段图确定量率对应关系 这是解决较为复杂 分数 百分数应用题的基础 典型题解典型题解 例 1 读一本书 第一天读了这本书的还多 10 页 第二天读了这本书的少 3 页 还剩 3 1 4 1 下 43 页没读 这本书一共多少页 分析 假设第一天多读的 10 页没有读 这好事这本书的 第二天正好读了这本书的 3 1 4 1 那么还剩的页数就是 43 10 3 转化为型如题 4 量率对应便清晰了 43 10 3 与 相对应 求这本书的总页数 用除法计算 4 1 3 1 1 解答 120 12 5 50 4 1 3 1 131043 19 答 这本书共有 120 页 例 2用两天读完一本 130 页的书 第一天读的页数比第二天的多 10 页 第一天读了 2 1 多少页 分析 由题意知道第二天读的页数是单位 1 画线段图如下 假设第一天读的页数正好是第二天的 则全书的页数为 130 10 页 从图中可以看出 2 1 两天共读的占第二天的 1 与 130 10 相对应 求单位 1 的量用除法计算 求 2 1 出第二天读的页数后 再求第一 天读的页数 解法解法 1 1 第二天 130 10 1 2 1 2 3 120 80 页 第一天130 80 50 页 答 第一天读了 50 页 解法解法 2 2 本题也可以用 份 的思想转化为整数应用题来解答 130 10 1 2 10 103120 50 页 答 第一天读了 50 页 例 3阳光水果店运来荔枝 香蕉 苹果共 1600 千克 当卖出荔枝总数的和 150 千克 7 5 香蕉后 又临时运来 200 千克苹果 这时剩下的三种水果数量恰好同样多 原来 运来这三种水果各多少千克 分析 由题意可知以荔枝的总数为单位 1 卖出荔枝总数的 还剩荔枝总数的 卖 7 5 7 2 出 150 千克香蕉后 又临时运来 200 千克苹果 这时剩下的三种水果数量恰好同样多 说 明香蕉的数量相当于荔枝总数的还多 150 千克 苹果的数量相当于荔枝总数的少 200 7 2 7 2 千克 假设运水果时少运 150 千克香蕉 多运 200 千克苹果 即 1600 150 200 1650 千 克 这 1650 千克正好对应荔枝总数的 所以有 7 2 7 2 1 20 解答 荔枝的数量 1600 150 200 7 2 7 2 1 7 11 1650 1050 千克 香蕉的数量 150300 150 7 2 1050 450 千克 苹果的数量 200 7 2 1050 300 200 100 千克 答 水果店原来运来荔枝 1050 千克 香蕉 450 千克 苹果 100 千克 提示 本题也可以用 份 的思想转化为整数应用题来解答 很好解的哦 就留给同学们 吧 例 4小华读一本故事书 第一天读了这本书的 第二天读了余下的 两天一共读 3 1 5 3 了 220 页 这本书一共多少页 分析 以这本书的总页数为单位 1 第二天读了余下的 也就是读了的 第 5 3 3 1 1 5 3 二天读了这本书的 两天共读的 220 页与两天共读的分率相对应 5 2 5 3 3 1 1 5 2 3 1 解答 5 3 3 1 1 3 1 220 5 2 3 1 220 15 11 220 300 页 答 这本书共有 300 页 例 5甲 乙两人分别有人民币若干元 甲比乙多 当甲给乙 9 元时 乙反而比甲多 3 1 问甲乙两人原来分别有人民币多少元 5 4 分析 注意到本题中甲乙两人持有的人民币的总和没变 因此把两个人的钱数总和看作单 位 1 由 甲比乙多 可以知道甲占两人总数的 后来 乙反而比甲多 甲占 3 1 7 4 5 4 21 总数的 由此可以确定与的差相对的量是 9 元 14 5 14 5 7 4 解答 元 421 5 4 111 3 1 1 3 1 19 甲原来有 元 乙原来有 元 24 7 4 42 182442 答 甲原来有 24 元 乙原来有 18 元 课后自测课后自测 1 小华看一本故事书 每天看 60 页 3 天后还剩下这本书的 这本故事书共有多 8 5 少页 2 小芳读一本故事书 第一天读了这本书还多 6 页 第二天读了这本书的少 8 6 1 8 1 页 最后还剩下 172 页没读 这本故事书一共多少页 3 参加六年级数学竞赛的学生共有 577 人 其中未获奖的女同学占女同学人数的 9 1 未获奖的男同学有 33 人 获奖的男女同学人数相等 问参赛的女同学共有多少人 4 有红黄两种颜色的球共 130 个 拿出红球的 再拿出 4 个黄球 剩下的红球和黄 5 1 球个数正好相等 原来红球和黄球各有多少个 5 某发电厂去年计划发电 140 万千瓦时 结果上半年完成全年计划的 下半年完 7 3 成全年计划的 去年超额发电多少千瓦时 5 3 6 菜农的西红柿大丰收 收下全部的时 装满了 4 筐还多 50 千克 收完其余部分 8 3 时 又刚还装满 8 筐 求共收西红柿多少千克 7 某校共有五 六年级学生 210 人 五年级有 21 人参加了七一文艺演出 六年级有 的学生参加了文艺演出 这是两年级剩下的人数相等 五 六年级各有学生 0 0 25 多少人 8 某种彩色电视机要让利销售 如果按销售价打九折出售 还可盈利 210 元 如果按 销售价打八折出售 就要亏损 120 元 那么这种电视机的进价是到少元 9 有红 黄两种颜色的球 红球的与黄球的合在一起是 130 颗 黄球的 0 0 50 3 1 与红球的合在一起是 120 颗 红球和黄球各有多少个 0 0 50 3 1 10 甲 乙两个仓库存有若干吨玉米 如果从甲舱运 24 吨到乙仓 则甲仓的玉米比乙 仓少 如果从乙舱运 24 吨到甲仓 则乙仓的玉米比甲仓少 甲乙两仓共存玉 7 3 8 5 米多少吨 22 第六讲第六讲 分数百分数应用题 二 分数百分数应用题 二 学习提示学习提示 在解答分数 百分数应用题时 确定单位 1 是关键 但题目中常常出现几个不同的 单位 1 这时需要将它们转化为统一的单位 1 以便于比较和发现数量关系 转化时 应注意认真审题 首先明辨题目中有哪几个单位 1 以其中一个量为单位 1 以这个 单位 1 为标准 看一看其他几个量相当于单位 1 的几分之几 或几倍 基本训练 基本训练 甲乙两数是不相等的两个自然数 甲数的与乙数的相等 甲乙两数哪个大 为什么 5 4 4 3 分析 方法 1 以分数的意义来理解 由于 可知 甲数较多的部分与乙数较少的部分相等 所以乙数大于甲数 4 3 5 4 方法 2 图解法 从图中很容易看出 黑色部分是相等的部分 而乙数大于甲数 如果把相等的部分 都平均分成 12 份 使每一份的大小都相等 则甲数平均分为 15 份 乙数平均分为 16 份 乙数大于甲数 还可以得出甲乙两数之间的关系 甲数占乙数的 乙数是甲数的倍 16 15 15 16 方法 3 用具体数字举例 假设甲数是 30 则乙数 乙数大于甲数 32 4 3 5 4 30 方法 4 代数法 根据已知条件可以得到下面这个等式 甲数 乙数 等式两边同时乘以 4 和 5 的最 5 4 4 3 小公倍数 20 可得 甲数 乙数 写成比例式 甲数 乙数 15 16 于是可得甲16 15 乙两数之间的关系 甲数占乙数的 乙数是甲数的倍 16 15 15 16 我们不难总结出一个规律而得到甲乙两数的关系 23 以甲为单位 1 乙数是甲数的 15 16 4 3 5 4 以乙为单位 1 甲数是乙数的 16 15 5 4 4 3 典型题解典型题解 例 1 哥哥和弟弟共有人民币 19 8 元 哥哥用去自己钱数的 75 弟弟用去自己钱数的 80 两人所剩的钱正好相等 哥哥原来有多少钱 分析 由题意可知 弟弟钱数的 1 75 与弟弟钱数的 1 80 相等 通过基本训练中 掌握的方法可以找到兄弟二人钱数之间的关系 哥哥的钱数是弟弟的 1 80 1 75 与 19 8 对应的分率是兄弟二人分率之和 因此 弟弟钱数为 5 4 5 4 1 元 哥哥的钱数是 元 11 5 4 1 8 19 8 811 8 19 解法一 元 11 751 801 1 8 19 元 8 811 8 19 解法二 元 想一想 单位 1 代表那种量 8 8 801 751 1 8 19 答 哥哥原来有 8 8 元 试一试 还有不同的解法吗 例 2 甲 乙两个班共有 120 人 甲班人数的比乙班人数的少 10 人 两个班各有多少 5 2 7 3 人 分析 已知条件中的两个分率对应的是不同的单位 1 由甲班人数的比乙班人数的 5 2 少 10 人已知 给甲的每个都添上人 即给甲的人数添上人 这 7 3 5 1 5210 2555 时总人数为 120 25 人 可使得甲班人数的与乙班人数的相等 乙班人数占甲班人数 5 2 7 3 的 两班人数的和占甲班人数的 这与 120 25 相对应 用除法计算可 15 14 7 3 5 2 15 14 1 得单位 1 甲班的人数 但不要忘记减去后添上的 25 人 解答 15 29 145 15 14 1 145 7 3 5 2 1 5210120 75 人 人 50521075 人 7050120 答 甲班原有 50 人 乙班原有 70 人 24 例 3 柳荫街小学的校园里 原来柳树的棵树是全校树木总棵树的 今年又种了 50 棵柳 5 2 树 这样 柳树的棵树就占全校树木总棵树的 柳荫街小学原来一共有多少棵树 11 5 分析 题目中两个分数的单位 1 是不同的 需要统一单位 1 由已知条件可知 其 它树木的数量是不变的 说明原来树木的 1 与现在树木的 1 相等 以原来树木的棵 5 2 11 5 树为单位 1 即现在树木的棵树占原来的 以现在树木的数量为 10 11 11 5 1 5 2 1 单位 1 即原来树木的棵树占现在的 11 10 5 2 1 11 5 1 解法 1 以原来树木的棵树为单位 1 1 11 5 1 5 2 1 50 1 10 11 50 10 1 50 棵 500 解法 2 以现在树木的数量为单位 1 5 2 1 11 5 1 1 50 11 10 1 50 11 1 50 棵 550 550 50 500 棵 解法 3 以不变量 其它树木的棵树为单位 1 35 2 511 5 50 6 1 50 棵 300 5 2 1 300 5 3 300 棵 500 答 柳荫树小学原有 500 棵树 例 4 水果店运进一批桔子 第一天卖出全部的 第二天卖了 24 千克 第三天卖的是前 6 1 两天总数的 150 这时还剩下全部的 水果店运进的这批桔子共有多少千克 4 1 25 分析 题目中有两个不同的单位 1 需要统一成以水果店运进的这批桔子的总数为单 位 1 第三天卖出全部的及 千克 6 1 150 15024 解答 4 1 150 6 1 6 1 1 1502424 4 1 4 1 6 1 1 3624 3 1 60 千克 180 答 水果店运进的这批桔子共有 180 千克 例 5 有一种商品 甲店进货价 成本 比乙店进货价便宜 10 甲店按 20 的利润率来定 价 乙店按 15 的利润来定价 结果甲店的定价比乙店的便宜 11 2 元 问甲店的进货价是 多少元 分析 设乙店的进货价为单位 1 则甲店的进货价就是 1 10 甲店的定价为 乙店的定价为 与 11 2 对应的分率就08 1 201 10 1 15 1 151 1 是 1 15 与 1 08 的差 解答 元 160 201 101 151 1 2 11 元 144 101 160 答 甲店的进货价为 144 元 说明 以上例题所给出的全部是算术解法 许多题目用方程来解也很方便 方程解法也是 一个十分重要的解题思路 由于在五年级教材中及后面的章节中都已讲到 在此没有给出 方程的解法 就留给同学们思考吧 一题多解可是提高解题能力的一条重要途径哟 例 6 某商店原来将一批苹果按 100 的利润价出售 由于定价过高 无人购买 不得不按 38 的利润重新定价 这样售出了 40 此时因害怕果腐烂变质 又再次降价 售出了剩下 的全部水果 结果 实际获得的总利润是原来利润的 30 2 那么第二次降价后的价格是 原来的百分之几 解答 设第二次降价是按 x 的利润定价的 有总利润的方程 38 40 1 40 30 2 x 25x 26 所以第二次降价后的价格是原定价的 1 25 2 62 5 答 第二次降价后的价格是原定价的 62 5 课后自测 1 修路队修一条公路 第一天修了全长的 第二天修的长度与第一天的比是 4 3 这 1 5 时还剩下 800 米没修 这条公路全长多少米 2 某服装厂有三个车间 其中二车间人数占全厂人数的 25 三车间比二车间少 一车 1 5 间人数比三车间多 一车间有 130 人 这个服装厂共有多少人 3 10 3 姐妹共养兔子 180 只 已知姐姐养的只数的与妹妹的相等 姐妹各养多少只兔子 1 4 1 5 4 在学校阅览室里 女生占全部人数的 后来又进来两名女生 这是女生占全部总人 4 9 数的 阅览室原来有多少人 9 19 5 某校有学生 465 人 其中女生的比男生的少 20 人 那么男生比女生少多少人 2 3 4 5 6 甲乙两人共做了 84 个零件 其中甲做的与乙做的共 58 个 甲乙两人各做了多少 5 8 3 4 个零件 7 兄弟四人合买一台电视机 老大出的钱数是另外三人总数的一半 老二出了另外三人总 数的 老三出了另外三人总数的 老四出了 910 元 这台电视机共多少元 1 3 1 4 8 有一桶汽油 第一次用了 12 升 第二次用了剩下的 第三次用了全桶油的一半 正 1 5 好用完 第二次用了多少升 9 把 100 人分成四队 一队人数是二队人数的倍 一队人数是三队人数的倍 那 1 13 1 1 4 么四队有多少人 10 某校四年级有两个班 现在要重新编为三个班 将原一班人数的与原二班人数的 1 3 27 组成新一班 将原一班的与原二班的组成新二班 余下的 30 人组成新三班 如果 1 4 1 4 1 3 新一班的人数比新二班的人数多 10 那么原一班有多少人 第七讲第七讲 生活中的经济问题生活中的经济问题 学习提示 学习提示 经济与数学有着千丝万缕的联系 在我们的日常生活中 数学已不再是单纯的用作计