反常积分习题课

MathematicalAnalysis 数学分析 反常积分习题课 第十一章 基本问题 反常积分的敛散性判别及其计算 无穷积分与暇积分的概念及其敛散性 绝对收敛性敛散性判别 Cauchy准则 比较判据 Cauchy Dirichlet判据 Able判据无穷积分与暇积分的计算 极限 统一思想 转化思想 极端原理 由熟悉 有界闭区间有界函数的性质 认识 极限性质 陌生 极端原理 抓主要矛盾 控制思想 同号函数 越小越好 变号函数 分解为二 一单调 二震荡 二者相辅相成 基本要求 理解思想 牢记法则 理解Cauchy收敛准则的科学依据 理解比较判别法 Dirichlet及Able判别法的科学依据 牢记两个特殊函数类的积分敛散性 牢记三种判别法 比较判别法 Dirichlet及Able判别法 zwj 主要知识点 一 反常积分及其敛散性概念 无穷积分 无界区间上 有界函数 的积分三种情况 a b 暇积分 有界区间上 无界函数的积分三种情况 a b a b a c c b 在任何有限区间 a u 上可积 且存在极限 1 无穷积分的收敛性 归结为变上限积分函数的极限问题计算无穷积分的依据 在任何内闭区间 u b a b 上可积且存在极限 2 暇积分的收敛性 归结为变下限积分函数的极限问题计算暇积分的依据 3 两类重要的反常积分 当且仅当p 1时收敛 当且仅当q 1时收敛 典型的控制函数 二 无穷积分的性质与收敛判别 任给 0 存在G a 只要u1 u2 G 便有 1 Cauchy收敛准则 无穷远片段无限小 起点无关性 2 基本性质 区间可加性 线性可加性 与 同敛散 绝对收敛性 若f在任何有限区间 a u 上可积 且有 绝对收敛者一定收敛 反之未必 收敛而不绝对收敛者称为条件收敛 3 非负函数比较法则 设定义在 a 上的两个函数 f和g都在任何 有限区间 a u 上可积 且存在M a使得 非负函数大的收敛 小的收敛小的发散 大的发散 比较判别法的极限形式 若f和g都在 a u 上可积 g x 0 且 则有 也发散 Cauchy判别法 设f定义于 a a 0 且在 任何有限区间 a u 上可积 则 i 当 ii 当 其中M是某正实数 Cauchy判别法极限形式 设f定义于 a 在任何 有限区间 a u 上可积 且 则有 Dirichlet判别法若 原理 Cauchy判别准则 积分第二中值定理 2 g x 在 a 当x 时单调趋于0 3 非负函数比较法则 f x 的原函数是有界函数 Abel判别法若 原理 Cauchy判别准则 积分第二中值定理 1 2 g x 在 a 上单调有界 收敛 重要例子 与 在p 0时收敛 收敛 绝对收敛 的无穷积分的被积函数 即使连续 未必趋于0 甚至可能是无界的 若无穷积分收敛且被积函数f x 收敛或一致连续或单调 则被积函数f x 趋于0 三 瑕积分的性质与收敛判别 1 Cauchy收敛准则 任给 0 存在 0 只要u1 u2 a a 总有 瑕积分 瑕点为a 收敛的充要条件是 线性可加性 2 基本性质 区间可加性 终点无关性 a为瑕点 与 同敛散 绝对收敛性 设f的瑕点为a f在 a b 的任一内闭区间 u b 上可 积 则当收敛时 也必收敛 并有 绝对收敛者一定收敛 反之未必 当收敛时 称绝对收敛 收敛而非绝对收敛者称条件收敛 比较法则 设定义在 a b 上的两个函数f和g 瑕点同为x a 在任何 u b a b 上都可积 且满足 3 非负函数比较判别法 比较判别法渐近性态 若g x 0 且 则有 Cauchy判别法 上可积 则 i 当 设f定义于 a b a为其瑕点 且在任何 u b a b ii 当 Cauchy判别法渐近性态 则有 上可积 如果 设f定义于 a b a为其瑕点 且在任何 u b a b Dirichlet判别法 2 g x 在 a b 当x a 时单调趋于0 原理 Cauchy判别准则 积分第二中值定理 若 4 变号函数判别法 f x 的原函数是有界函数 Abel判别法 若 2 g x 在 a b 上单调有界 zwj 习题释疑及例题选讲 习题解题思路 课本各节习题 略 zwj 课后作业 习题 看 1例3 6 2例1 4 3例1 2 各原布置习题 做 1习题1 1 5 2 3 5 7 2习题4 3 5 5 1 2 3 4 6 8 9 3习题3 2 4 6 8 4 2 总练习题1 4 6