高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.2平面向量基本定理课件2

2 3 2平面向量基本定理 知识提炼 平面向量基本定理与基底 1 平面向量基本定理 2 基底 成为基底的条件 向量e1 e2 不共线 任一 1e1 2e2 不共线 即时小测 1 思考下列问题 1 0能与另外一个向量a构成基底吗 提示 不能 基向量是不共线的 而0与任意向量是共线的 2 平面向量的基底是唯一的吗 提示 不是 平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底 当基底一旦确定后 平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示 2 在 ABC中 则等于 解析 选A 如图 3 在平面向量基本定理中 若a 0 则 1 2 解析 当a 0 即 1e1 2e2 0时 因为0 e1 0 e2 0 所以根据实数 1 2相对于基底e1 e2唯一性知 1 2 0 答案 0 4 在平面向量基本定理中 若a e1 则 2 0 若a e2 则 1 解析 当a e1时 a e1 1e1 2e2 所以根据实数 1 2相对于基底e1 e2唯一性知 1 2 0 同理可知当a e2时 1 0 答案 0 知识探究 知识点平面向量基本定理观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 平面向量基本定理的内容是什么 问题2 如何用已知向量表示指定向量 总结提升 1 对平面向量基本定理的四点说明 1 实质 平面向量基本定理的实质是向量的分解 即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式 2 唯一性 平面向量基本定理中 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底 一旦选定一组基底 则给定向量沿着基底的分解是唯一的 只要是同一平面内两个不共线的向量都可以作为一组基底 故基底的选取不唯一 3 特殊性 零向量与任意向量都共线 因此零向量不能作为基底 4 体现的数学思想 这个定理体现了转化与化归的数学思想 用向量解决几何问题时 可以选择恰当的基底 将问题中涉及的向量用基底化归 使问题得以解决 2 平面向量基本定理与向量共线定理的联系由平面向量共线定理可知 任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示 而且这种表示是唯一的 故平面向量基本定理是向量共线定理从一维到二维的推广 题型探究 类型一对基底的正确理解 典例 1 设e1 e1是不共线的两个向量 给出下列四组向量 e1与e1 e2 e1 2e2与e2 2e1 e1 2e2与4e2 2e1 e1 e2与e1 e2 其中 不能作为平面内所有向量的一组基底的是 写出满足条件的序号 2 如图所示 OM AB 点P在由射线OM 线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内 不含边界 运动 且则x的取值范围是 当x 时 y的取值范围是 解题探究 1 典例1中判断两个向量是否为一组基底的依据是什么 提示 不共线即两个向量不是零向量并且方向不相同也不相反 2 典例2中满足什么条件时 点P A B三点共线 提示 当x y 1时三点共线 解析 1 中 设e1 e2 e1 则无解 所以e1 e2与e1不共线 故e1与e1 e2可作为一组基底 同理 可得 中的两个向量不共线 可作为一组基底 中的两个向量共线 不可作为一组基底 答案 2 由题意得 由 a 0 得x 0 又由则有0 x y 1 当答案 0 方法技巧 对基底的正确理解 1 两个向量能否构成基底 主要看两向量是否为非零向量且不共线 2 一个平面的基底一旦确定 那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示 拓展延伸 正确应用基底的几个关注点 1 若a 0 则有且只有 1 2 0 使a 1e1 2e2 2 若a与e1 e2 共线 则 2 0 1 0 使a 1e1 2e2 3 若e1 e2不共线 1e1 2e2 1e1 2e2 则 1 1且 2 2 4 若e1 e2不共线 1e1 2e2 0 则恒有 1 2 0 变式训练 设O是平行四边形ABCD两对角线的交点 下列向量组 其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是 A B C D 解析 选B 共线 则共线 不共线 共线 由平面向量基底的概念知 向量组可以作为平面的基底 类型二用基底表示向量 典例 已知e1 e2是平面内两个不共线的向量 a 3e1 2e2 b 2e1 e2 c 7e1 4e2 试用向量a和b表示c 解题探究 向量a和b能表示c的实质是什么 提示 其实质是向量a和b不共线 能够作为一组基底 解析 因为a b不共线 所以可设c xa yb 则xa yb x 3e1 2e2 y 2e1 e2 3x 2y e1 2x y e2 7e1 4e2 又因为e1 e2不共线 所以c a 2b 延伸探究 1 改变问法 本例的条件不变 是否存在实数 使得d a b与c共线 说明理由 解析 因为a 3e1 2e2 b 2e1 e2 d a b 3e1 2e2 2e1 e2 3 2 e1 2 e2 所以如果d c共线 则c kd k R 即所以 2 故存在实数 当 2 时 d c共线 2 变换条件 本例的条件 a 3e1 2e2 b 2e1 e2 c 7e1 4e2 变为 3e1 2e2 e1 e2 7e1 4e2 若A B D三点共线 试求实数 的值 解析 因为 7e1 4e2 e1 e2 7 e1 5e2 且A B D三点共线 所以共线 即存在实数 使得所以3e1 2e2 7 e1 5e2 7 e1 5 e2 因为e1 e2是平面内两个不共线的向量 方法技巧 应用平面向量基本定理时的关注点 1 充分利用向量的加法 减法的法则 在平行四边形 三角形中确定向量的关系 2 应用数乘向量时特别注意线段的比例关系 如中点 三等分点等 3 一个重要结论 设a b是同一平面内的两个不共线的向量 若x1a y1b x2a y2b 则有 补偿训练 如图 已知在 OAB中 延长BA到C 使AB AC D是将分成2 1的一个分点 DC和OA交于点E 设试用a b表示向量 解析 因为点A为BC的中点 所以 延伸探究 1 变换条件 本题条件不变 若求实数 的值 解析 如图 因为 a 2a b 2 a b 因为共线 所以存在实数m 使得即即 2m 2 a b 0 因为a b不共线 所以 2 改变问法 本题条件不变 试用a b表示向量 解析 设因为共线 所以存在实数m 使得即 2 a b 即 2m 2 a b 0 因为a b不共线 所以所以所以 规范解答平面向量基本定理的应用 典例 已知设t R 如果3a c 2b d e t a b 那么t为何值时 C D E三点在一条直线上 审题指导 1 要使C D E三点在一条直线上 则存在实数k 使得可以想到用向量a b c d e表示 2 由3a c 2b d e t a b 可以用向量a b表示进而联想到平面向量基本定理 需要考虑向量a b是否共线 3 分向量a b共线 不共线两种情况讨论 规范解答 题后悟道 1 合理的选择基底用基底表示向量是解决向量问题的基础 应根据已知条件灵活选择 通常以