向量及其线性运算完整版本

第一节向量及其线性运算 一 向量概念 二 向量的线性运算 三 空间直角坐标系 四 利用坐标作向量的线性运算 五 向量的模 方向角 投影 向量 既有大小又有方向的量 向量表示 向量的方向 箭头的方向 一 向量的概念 或 向量的模 向量的大小 或 向量的大小 向量长度的值 模长为1的向量 零向量 模长为0的向量 其方向任意 单位向量 或 自由向量 不考虑起点位置的向量 相等向量 大小相等且方向相同的向量 负向量 大小相等但方向相反的向量 向径 向量平行 k 2 个有公共起点的向量的k个终点和起点在一个平面上 两个非零向量的方向相同或者相反 k个向量共面 二 向量的线性运算 1 加法 平行四边形法则 特殊地 若 分为同向和反向 平行四边形法则有时也称为三角形法则 1 向量的加减法 向量的加法符合下列运算规律 1 交换律 2 结合律 3 2 减法 2 向量与数的乘法 数与向量的乘积符合下列运算规律 1 结合律 2 分配律 两个向量的平行关系 证 充分性显然 必要性 两式相减 得 按照向量与数的乘积的规定 上式表明 一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量 点P x xi 实数x 向量 此定理是建立数轴的理论依据 数轴 点 方向 单位长度 另外 例1化简 解 例2试用向量方法证明 对角线互相平分的四边形必是平行四边形 证 结论得证 例3 用向量的方法证明梯形两腰中点的连线平行于底边且等于两底边之和的一半 证 例4 证 由题设 存在 使 若不然 则 与题设矛盾 故 三 空间直角坐标系 坐标轴 取空间一个定点O 作三条互相垂直的数轴 它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位 这三条轴分别叫作x轴 横轴 y轴 纵轴 z轴 竖轴 点O叫作坐标原点 或原点 通常取x轴 y轴水平放置 z轴竖直放置 它们的正向符合右手法则 Oxyz坐标系可记作 O 坐标系 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 坐标面 空直角间坐标系中任两轴确定的平面 xOy面 yOz面 xOz面 卦限 坐标面将空间分为八个卦限 用字母 表示 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 空间的点 有序数组 特殊点的表示 坐标轴上的点 坐标面上的点 这六个平面与x y z轴分别相交于 向量在坐标轴上的分向量 称有向线段 为向量 有向线段 为向量 有向线段 为向量 依次记作 即 由图上可以看出 而 称为基本单位向量 向量在三个坐标轴上的分向量 向量的分解式 向量在三个坐标轴上的投影 称为向量的坐标 向量可用它的坐标表示为 向量的坐标表示式 特殊地 称为向径 四 利用坐标作向量的线性运算 设 为实数 推论 则 例5求解以向量为未知元的线性方程组 其中 解如同解以实数为未知元的线性方程组一样 可解得 以的坐标表示式代入 即得 解 这就是点M的坐标 五 向量的模 方向角 投影 1 两点的距离公式与向量的模 特殊地 若两点分别为 解 原结论成立 解 设P点坐标为 所求点为 解因为 所以 于是 例9在z轴上求与两点A 4 1 7 和B 3 5 2 等距离的点 解因为所求的点M在z轴上 所以设M 0 0 z 依题义有 即 两边去根号 解得z 所求的点M 0 0 2 方向角与方向余弦 两向量的夹角的概念 特殊地 当两个向量中有一个零向量时 规定它们的夹角可在0与之间任意取值 设 类似地 可定义向量与一轴或空间两轴的夹角 非零向量的方向角 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角 由图分析可知 方向余弦向量的 方向余弦通常用来表示向量的方向 向量模长的坐标表示式 当时 向量方向余弦的坐标表示式 方向余弦的特征 特殊地 单位向量的方向余弦为 解 解 所求向量有两个 一个与同向 一个反向 或 解依题意有 由关系式 得 因点A在第卦限 知 故 于是 这就是点A的坐标 解 3 向量在轴上的投影 空间一点在轴上的投影 或记作 过点作轴的垂直平面 交点即为点在轴上的投影 其中为向量与轴的夹角 性质2 即 解记 有 解 六 小结 1 向量的概念 注意与标量的区别 2 向量的加减法 平行四边形法则 3 向量与数的乘法 注意数乘后的方向 6 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 注意分向量与向量的坐标的区别 7 向量的模与方向余弦的坐标表示式 4 空间直角坐标系 5 空间两点间距离公式 注意它与平面直角坐标系的区别 轴 面 卦限 思考题1 已知平行四边