数学分布及应用

问题 假设对1000名报考某高中的学生进行分班考试 若要按能力将这些学生分为A B C D E五个组 或等级 且每组能力组距相等 根据正态分布的理论 每一等级应分布多少学生 某套测验中有10道正误判断题 若要了解学生对所测内容在什么情况下是真正领会了 或什么情况下属猜测的成分多 应如何分析 第 数学分布及应用 七 章 正态分布及应用二项分布及应用抽样分布 第一节正态分布及应用 正态分布的理论正态曲线表的使用正态分布在心理教育研究中的应用 一 正态分布的理论 服从正态分布的随机变量 在取值区间中部取值概率最高 从中间到两侧 取值概率逐渐下降 接近取值区间上 下限时 取值概率越来越小 且两侧取值概率是对称的 即高斯分布 一 定义与方程 1 定义 2 公式 一簇分布 中央点最高 双侧对称 面积 p 1 形状 3 特点 位置 二 标准正态分布及特征 1 方程 2 特点 1 0 一条分布Y 0 3989 二 标准正态分布曲线的使用 一 正态曲线表 正态曲线表 以 为测量面积的单位 用积分法则算出Z所对应的各个部分的面积 P 及y值 制成的曲线表 正态曲线表的三个数值 面积值 p 高度值 y 刻度值 Z 二 三个值的求解1 Z P 求均数与某个Z值间的P值 查表法 例7 3 Z 0 Z 1Z 0 Z 1 1 2 3 3 2 1 P 0 34134 P 0 34134 结果 求某个Z值以上或以下的面积 例7 5 Z 2 4 以上P Z 1 2 以下P 求任何两个Z值间的P值例7 4 1 2 2 4 0 6 1 5 2 P Z 查表法 近似结果例7 5 P 0 30 Z 内插法 精确结果例7 5 P 0 30 Z 公式 3 P Y 查表法 近似结果例7 5 P 0 30 Y 内插法 精确结果 公式 三 几个常用值 1 1 2 2 3 3 4 1 96 5 2 58 四 PR与Z的关系 例7 6 在一正态分布中 若某人的标准分数为1 则他在该团体中的百分等级应当为a 34b 68c 84d 75 3 2 1 1 2 3 34 50 三 正态理论的应用 例7 7 假设500名学生的数学成绩分布符合正态分布 且已知平均分70 标准差5分 试问60分以下 60 80分 80分以上 这三个分数段中 学生的人数分布各为多少 一 求分布中特定分数间个体数量 已知 N 500 M 70 SD 5 P Z M SD X X Z Z P 求各段的P 60以下 分析步骤 60 80 80以上 求各区间的人数 60以下 60 80 80以上 例7 8 假设对100名报考大学的学生进行分班考试 要按能力将这些学生分为A B C D E五个小组 或等级 每组能力组距相等 若考试成绩所测得的分数是正态的 问A B C D E各组应当分布几名学生 二 确定能力分组或等级评定人数 确定Z值的范围 分析步骤 A 0 49865 0 46407 0 03458B 0 464017 0 22575 0 23832C 0 22575 2 0 4515D B 0 23832E A 0 03458 或0 03593 Z P 求各组人数 三 分析试题的相对难度 例7 9 在一次共有四个试题的考试中 学生答对每题的人数百分比分别为 70 50 30 10 试问各题的难度如何 各题间的难度差一样吗 为什么 分析步骤 P Z 表7 1试题难度分析表 线性转换 求难度差 表7 2试题相对难度比较结果 四 品质评定数量化 例7 10 三位教师对100名学生的学习能力进行了等级评价如表 表7 2教师对学生的评定 试比较其中三位学生学习能力的高低是否一样 表7 33名学生的所获得的评定等级 是否等值 能否转化 1 问题分析 表7 3甲教师评定结果 2 分析过程 n p 确定位置 求各等级比率的中间值 确定中间值 确定查表值 3 2 1 1 2 3 05 25 4 25 05 C A B E D A P 05 2 45 475 B P 25 2 2 325 C P 4 2 2 0 PF 05 2 95 975 PF 25 2 7 825 C PF 4 2 5 5 表7 4甲教师评定的相对结果 P Z 确定查表值 表7 5乙教师评定的相对结果 表7 6丙教师评定的相对结果 比较学生的能力高低 表7 7三名学生的等级比较结果 某区要在2500名初三学生中选50名学生参加全市初中物理竞赛 已知该区初三上学期物理考试成绩近似正态分布 且平均数57分 标准差16分 若以这次考试为准来选拔参加竞赛的学生 分数线应定为多少 分析结果 求入选率 P Z 确定P Z X 一 二项分布的理论 一 定义 定义 离散型随机变量的概率分布 数学模型 第三节二项分布 二 特点 项数 方次 系数 各项系数是成 败总人数的组合数 项数为奇数时 中间系数最大 项数为偶数时 中间两项系数相等且最大 二 二项式概率分布 组合数 一 二项式概率分布函数 二 二项分布曲线 形成以成功次数为X 组合数为Y绘制的多边图 特点当p q 1 2时 不论n有多大 二项分布曲线都总是对称的 当p q时 且n相当小 图形呈偏态 当n相当大 30 时 图形逐渐接近正态分布 三 二项分布的应用 二项分布的均数与标准差 应用前提应用举例 一 均数与标准差 平均数 标准差 三 二项分布的应用 二 应用前提 三 应用 猜测性 例7 1 某测验中有10道正误选择题 试分析学生的掌握情况或猜测的可能性 条件分析 求均数和标准差 确定一定可信度时的掌握程度 结果解释 1 某测验有30个正误题 试问学生要做对多少题 才属掌握了所学的内容 2 设有10个正误判断题和10个选择题 每题4个备选答案中只有一个正确 试比较两套试题的优劣 假设学生答对了8题 1 条件分析 2 正误题的概率 4 解释 3 选择题的概率 3 有20道四择一题呢 一 概率分布 离散分布 二项分布 多项分布 普阿松分布 超几何分布连续分布 正态分布 t分布 负指数分布 威布尔分布等 定义 描述随机变量所有可能取值及相应概率变化规律的函数 类型 连续性 第三节抽样分布 经验分布理论分布 数学模型 按数学模型算出的总体分布 分布函数来源 数据特征 基本随机变量分布 理论分布 总体分布 正态分布 二项分布等 抽样分布 样本统计量的理论分布 总体 N n1 n2 nk 定义 用极限的方法求随机变量分布的一系列定理 二 中心极限定理 内容 若总体正态 则从中抽取容量为n的一切可能样本的均数分布也呈正态 无论总体是否正态 只要n足够大 样本均数的分布接近正态分布 从总体抽取容量为n的一切可能样本时 从总体抽取容量为n的一切可能样本时 阐明了样本均数的分布 意义 给出样本均数分布的两个重要参数的计算方法 1 随机样本 抽样原则 随机性 要求 机会均等 彼此独立 n足够大 随机样本 按概率规律抽取的样本 三 统计术语 定义 由抽样的随机性引起的样本统计量与总体参数之间的差异 2 抽样误差 总体 80 M1 78 M2 83 D1 2 D1 3 3 标准误 定义 统计量在抽样分布上的标准差 符号 SE StandardError 解释 SE越小 样本统计量与总体参数越接近 样本对总体的代表性越好 用样本统计量推断总体也越可靠 课堂练习 请问下列标准误的内容是什么 思考题 试比较标准误与标准差的异同 同 都是离中趋势的指标 异 S 一般变量值离中趋势的指标 SE 样本统计量离中趋势的指标 定义 统计推断中 变量值独立自由变动数值的数目 4 自由度 符号 df degreeoffreedom 注意 统计方法不同 自由度算法不同 样本均数的自由度 样本方差 或标准差 的自由度 假设有5个测量值如下表 试问5个数中可任意变动几个 为什么 10 4 22 二 常用抽样分布 正态分布及渐近正态分布 t分布 F分布 2分布q分布 一 正态及渐近正态分布 总体正态 2已知 样本均数分布为正态 样本均数 样本标准差 检验值 总体非正态 2已知 n足够大 样本均数分布为渐近正态 样本均数 样本标准差 检验值 二 t分布 定义 由小样本统计量形成的概率分布 对称分布 曲线易变 不是一条而是一族 n 时 以标准正态曲线为极限 1 定义与特点 特点 2 t分布的使用 总体正态 2未知 n 30时 样本平均数分布为t分布 标准误 检验值 总体非正态 2未知 n 30 样本均数的分布为t分布或渐近正态分布 标准误 检验值 分别用和计算下列各组数据的标准差 结果说明什么问题