复变函数-工科复变3-1

1,第三章 复积分,2,至此，关于解析函数，我们获得了定义，充分必要条件及几个具体的解析函数为了深入研究解析函数，我们选择怎样的研究途径呢？经讨论，我们从研究数学分析的途径中选择了从积分这个角度来研究解析函数实践证明，这种选择是成功的,3,要点,1.理解复积分的概念、性质及其计算公式；2.掌握解析函数的Cauchy积分定理、 Cauchy积分公式和高阶导数公式；3.熟练掌握利用积分基本定理、积分基本公式和高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分；4.理解解析函数和调和函数的关系。,4,3-1 复积分的概念及性质,1 积分的概念,2 积分存在条件及性质,3 积分实例,5,1. 积分的概念,设 C 为平面上给定的一条连续曲线, 如果选定 C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把 C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线。,如果 A 到 B 作为曲线 C 的正向,那么 B 到 A 就是曲线 C 的负向,6,简单闭曲线 C 的正向是指当曲线上的点 P 沿此方向前进时, 邻近 P 点的曲线的内部始终位于 P 点的左方.,与之相反的方向就是曲线的负方向.,关于曲线方向的说明:,以后把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点,除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向.,7,设C为一条起点在a，终点在b的有向光滑曲线（或逐段光滑曲线），其方程为,同数学分析一样，我们也采用“分割”、“作和”、“取极限”的步骤来定义积分,函数 在C上处处有定义。,图3-1,8,1.C上依次取分点a=z0,z1,zn=b 记该分法为T；取,如图，作积分和式：,图3-1,9,2.设上述n段小弧的最大长度为(T)，且令,定义 若对曲线 的任意分法T和任意,当 时，上述和式的极限存在且唯一，则称函数 沿曲线 可积，其积分值为I，记为,其中， 称为积分路径， 为被积函数， 为积分变量。,(1.1),10,例 设 是一条起点在A终点在B的逐段光滑曲线，试计算,解：依定义，将,代入(1.1) ，有,故,=B-A,此例揭示了函数,的一个深刻性质：,复变函数 的积分只依赖于积分路径C的起点A与终点B，而与积分路径的形状无关.,11,为了寻求复变函数积分存在的条件，现在我们唯一可利用的只有定义于是问题就归结为考察极限 的存在条件为此，我们不妨将 变形后再加以考察,有了积分定义后，我们最先关心的问题是：积分存在的条件，积分的性质与积分的计算,2. 积分存在的条件及积分性质,12,公式,（1.2）,13,从形式上可以看成是,定理,14,上述讨论：给出了复变函数积分存在的一个充分条件；研究复变函数的积分问题，可以转化为研究实变量的二元实值函数沿曲线C的线积分问题。,15,复变函数的积分与实函数的积分有类似的性质.,估值不等式,16,例 1,解,因此,17,3. 积分的计算,18,到现在为止，计算复变函数积分只有两种方法，一是定义，二是（1.2）式，均比较麻烦有无其它方法？,由于积分路径常取光滑曲线(或逐段光滑曲线)C，所以f(z)沿曲线C 的积分可归结为f z(t)关于曲线C 的参数的积分。事实上，若 为一条光滑曲线(或逐段光滑曲线)，则 是C上的起点， 是C上的终点，再设f(z)在C上连续。,19,于是,这样一来，将f(z)沿曲线C 的积分归结为关于参数t 的一个定积分,(3-1-3),20,由以上讨论可知，用上式计算积分 包含三个步骤：1.写出曲线C 的方程 2.将z=z(t)与dz=z(t)dt 代入所求积分 3.计算(3-1-3)式右端的关于参数t 的积分,21,例1 求 其中 为整数解: C 的参数方程为： ，于是有,22,例 2,解,积分路径的参数方程为,23,例3,解,积分路径的参数方程为,24,重要结论：积分值与路径圆周的中心、半径无关.,25,此例可作为积分公式，在后面的积分计算中将经常用到。,26,解,例 4,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,27,(2) 积分路径的参数方程为,28,(3) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,29,注意1,注意2,这和高等数学中的曲线积分与路径无关的关系 ？,30,3-2 积分与其路径的无关性,31,观察前面几个例子我们可以发现： 有的函数(如f(z)=z)，其积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关；而有的函数(如f(z)=Rez)，其积分不仅与积分路径的起点与终点有关，而且与积分路径的形状还有关 进一步观察可以发现，前一类函数是解析函数，以前我们研究过复变函数 f(z)=1，其积分也只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关，而它本身也是解析函数，由此，我们可提出猜想： 解析函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关,32,命题1 设 和 在单连域D内连续，积分路径C在D内，且记 ，则该积分与在D内的积分路径无关的充要条件为对D内的任何闭路C其积分值I=0。,命题2 设 和 在单连域D内具有连续的一阶导数 和 ，且满足条件则对D内的任何简单闭路C有,33,这是函数 f(z) 在单连通域 D 解析的必要条件 (C-R方程)。,问题 f(z) 在上述单连通域 D 内解析是否能保证它沿D内的任意简单闭路的积分为零？,34,一、复积分与其积分路径无关的条件,定理1 Cauchy积分定理,若函数 在简单闭曲线C上及其内部解析，则一定有,Cauchy-Goursat基本定理,若 在单连域D内解析，则对D内的任何闭路C有,35,柯西积分定理,说明：该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立；它是复变函数理论的基础。,若函数 在简单闭曲线C上及其内部解析，则一定有,36,注意 定理不能反过来用.,37,解,例1,根据Cauchy积分定理, 有,38,例2,解,根据Cauchy积分定理得,39,40,例3 计算积分,解 因为 均在复平面上解析， 所以，它们的和在一包含积分路径 的单连通区域G内解析，而积分路径 是围线，所以，由柯西定理得,显然，该例所用方法是最简单的,41,定理2 复积分与其积分路径的无关性,若函数f(z)在单连域D内解析，则它在D内从定点z0到动点z 的积分值与在D内所取路径无关，而只与动点z 有关。,42,由此结论可知:,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, 即：,43,44,1. 原函数的概念,原函数之间的关系:,二、解析函数的原函数和在积分计算中的应用,如果 f (z) 在区域D内存在原函数 ，则函数 在区域D内必是解析函数。,45,那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:,证,46,定理,47,2. Newton-Leibniz 公式,说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算.,48,证,根据 Cauchy 积分定理,49,例1,解,50,例2,解,利用分部积分法可得,51,三、复闭路定理和闭路变形原理,问题：如果G是复连通区域，那么，定理是否仍然有效？,D,52,所谓复闭路是指一种特殊的有界多连区域的边界曲线 ， 它由几条简单闭曲线组成，可简单记为 ，其中简单闭曲线 取正向，而简单闭曲线 取负向，它们均在 的内部且互不相交，互不包含，如图：上述 的方向称为区域 的边界曲线正向。,53,复闭路定理,54,证明,55,由于 和 在上述割线段上重合且反向， 和 的其余部分组成了D的边界 且与 同向，因此上式可化简为,56,当 n 为其它值时，可同样证明。,57,特殊情况：闭路变形原理,由复合闭路原理,这就是闭路变形原理,58,解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点.,说明：,59,意义,1.揭示了解析函数的一个性质在一定条件下，解析函数沿复连通区域边界的积分等于零；2.提供了一种计算函数沿围线积分的方法,60,3.典型例题,61,例1,解,圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合原理,62,例2,解,依题意知,63,根据复合闭路原理,64,例3,解,65,故,这一结果很重要。,66,3-3 Cauchy积分公式和高阶导数公式,67,1.问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,求这个值.,68,69,2.Cauchy积分公式,70,证明：以 为心作一完全包含于 内的圆盘 ，并且记其边界为圆 。在 上，挖去圆盘 ，余下的点集是一个闭区域 。在 上 函数解析，由柯西定理有：在这里沿 的积分是按照 区域的正向取的，沿 的积分是按正向取的，即逆时针方向。以下我们证明：,71,记 由柯西定理知：I是个不依赖于 的常数，从而我们证明由于和 f(z) 在z0是连续的，所以对于任意的0 ，可以找到,72,使得当 ， 时，有从而当 时，,73,例1,解,由Cauchy积分公式,74,例2,解,由Cauchy积分公式,75,例3计算积分,被积函数在积分路径内部含有两个奇点,与,作,，有,计算上式右端两个积分,76,故,77,关于Cauchy积分公式的说明:,把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示.,（这是解析函数的一个重要特征）,(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个 积分表达式.,(这是研究解析函数的有力工具),78,观察下列等式,问题： 解析函数的导函数一定为解析函数？ 若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？,79,3、解析函数的高阶导数定理,设 为有界多连域（单连域），其边界正向曲线为复闭路 （简单闭路 ） 在 内及边界 上解析，则函数 在 内有任意阶导数，对于给定的 和自然数 有,80,高阶导数公式的作用:,不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,81,证明： f(z)在D内任意一点z有导数，现证明当n=1 时，式（3-3-3）成立。 设z+hD,h0，由导数定义我们仅需要证明：当h0时，,82,现在来估计上式右边的积分。设以z 为心，以2d为半径的圆盘完全包含在D内，并且在这圆盘内取z+h使得0|h|d，那么当C 时，设|f(z)| 在C 上的一个上界是M，并且设C的长度为L，于是我们有因此，当h0，（3-3-4）成立 。,83,现在用数学归纳法来完成定理的证明。 假设(3-3-3)当n=k时成立。取z与z+h同上，那么,84,由此可以证明：当h0，(3-3-5)的右边趋于零。于是(3-3-3)当n=k+1时成立时。证毕。推论： 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z0解析，则存在点z0的一个邻域|z-z0|，使得在该邻域内f(z)有任意阶导数，其各阶导数也解析；并且在该邻域内函数u=u(x,y) 和v=v(x,y)的各阶偏导数不仅存在而且都连续。 证明： 由函数f(z)在点z0解析知：可作一圆盘 |z-z0|0是调和函数，求在该半平面解析的函数 f(z)=u+vi使得 u=x/(x2+y2) 且 f(1+i)=(1-i)/2.,解：求偏导数得,113,解法1 由CR条件得：由 积分得,114,两边对 求导，并且与上面所得的 比较有于是得 即 从而,115,于是进一步由条件 可得 最后结果有,116,解法2 在该右半平面内取点由式（3.1）得,117,3. 计算实例,解,例 1,118,得解析函数,这个函数可以化为,119,注：此处用到解析函数的唯一性定理。,另一方法,120,例 2,解,121,解,例 4,两边同时求导数,上两式分别相加减可得,122,由于所以,123,3-4* 平面调和场及其复势,124,本章主要内容,有向曲线,复积分,积分存在的条件及计算,积分的性质,Cauchy积分定理,原函数的概念,复合闭路定理,Cauchy积分公式,高阶导数公式,积分公式及计算,125,注意,1. 复积分的基本定理；,2. 柯西积分公式与高阶导数公式;,3. 复合闭路定理与复积分的计算.,126,练习 1,127,解,当 时,解答,128,练习 2,129,因此由柯西积分公式得,解答,130,131,练习 3,132,1793.7.14生于诺丁汉，1841.5.31卒于剑 桥,G. Green (格林) 简介,童年在父亲的磨坊干活；同时自修数学、物理；32岁，出版了小册子数学分析在电磁学中的应用，其中有著名的Green公式。,父亲去世后，1833年以自费生的身份进入剑桥大学科尼斯学院学习，1837年获学士学位，1839年聘为剑桥大学教授。在数学物理方面有出色成就。,他是第一个沿欧洲大陆的研究方法前进英国数学家，其工作开创了庞大的剑桥物理学派。Stokes, Thomson, Maxwell等,133,1642.12.25生于伍尔索普，,I. Newton 简介,1661年进入剑桥大学三一学院，自己研究Descartes, Copernicus, Kepler, Galileo, Barrow 等的著作。,1665年剑桥闹鼠疫回乡两年，微积分、万有引力、光谱分析等发明都萌芽于此。1667年获硕士学位，1669年接替Barrow担任教授。,1671年发布“流数术”小册子，1687年出版自然哲学的数学原理等著作，1703年皇家学会会长，17 05 年授予爵士称号；晚年研究神学，1727.3.20去世。,134,1646.7.1生于莱比锡；,G. W. Leibniz 简介,1661年入莱比锡大学学法律；1663年论个体原则方面的形而上学争论获学士学位；1664年论法学之艰难获哲学