复变函数-工科复变4-2

为了证明有关定理，首先介绍下面两个引理一 有关逐项积分的两个引理引理1（函数项级数的逐项积分）设函数 和 沿曲线 可积，且在 上处处有如果存在收敛的正项级数 使得在 上有那么, 2 泰勒（Taylor）级数,证明： 由于 收敛，因此当 时，必有于是设曲线 的长度为 ，当 时，有 这就证明了该引理。,引理2 若 在正向圆周 上连续，则（1）对该圆内任一点 z 有 (2）对该圆外任一点 z 有,证明： （1）令 ，由于 ， 因此由等比级数的求和公式得：对任意满足 的点成立。,由引理1，只须对最后所得的函数项级数找出满足引理条件的正项级数 ，然后逐项积分就可得到所证结果。事实上，由函数 的连续性，可设 在圆周 上 的上界为正数 ，则对于固定的点 ，在该圆周上处处有,在该圆周上处处有而 是收敛的，故所证等式成立。,（2）当 在圆周外时，显然 对圆周 上的点 成立。这时有同样由引理1可得所证等式。,二.解析函数的Taylor展开定理定理1 设函数f(z)在圆盘 内解析，那么在U内有 证明：设 。以 为中心在 内作一圆 ，使得 属于其内部，此时由柯西积分公式有又因 在 上解析，也一定连续，所以由引理2的结论（1） 得,由于 是 内的任意一点，证毕。,定理2 函数 在 解析的充分必要条件是它在 的某个邻域有幂级数展开式。 在定理1中，幂级数称为函数f(z)在 点的Taylor展开式。系1 幂级数就是它的和函数 在收敛圆盘中的Taylor展开式，即系2 （幂级数展开式的唯一性）在定理1中，幂级数的和函数f(z)在收敛圆盘U内不可能有另一幂级数展开式。,三.初等函数的泰勒展开式,1 直接展开法：先求出 ，然后应用泰勒定理写出泰勒级数及其收敛半径。 指数函数在 处的泰勒（Taylor）展开式 下列函数在 处的泰勒展开式,为实常数当 时，上式只有有限项，并且是在整个复平面上成立。,间接展开法：它是根据函数在一点的泰勒级数展开式的唯一性给出的。在这里指从上面6个初等函数的泰勒级数展开式出发，利用幂级数的变量替换，逐项微分，逐项积分和四则运算等求出其出泰勒级数及其收敛半径。如：应用 ，令 ，得,例题,例1 求下列函数在点 处的泰勒级数展开式及其收敛半径。（1） （2）（3） （4）解 (1) 在 处为唯一的奇点，并且当 时，函数 ，所以函数在 处的泰勒级数展开式的收敛半径为 ，从而在 时有令 应用展开式（6）可得：,（2）同理可得其在 处的泰勒级数展开式的收敛半径为 1。 由于 , 应用展开式（3）得所以当 时,（3）由于 在整个复平面上解析，故其收敛半径为 ，从而应用展开式（2)(4)得用直接法也简单，注意到,（4） ，其Taylor级数收敛半径为1，从而 在 处的泰勒级数展开式两端同乘以 即可得到 在 处的泰勒级数展开式：注意：显然不必要将 写成 的多项式再来求 在 处的泰勒级数展开式。,解 因为 是,可在 内展成泰勒级数，有,例2 试将 在点 展成泰勒级数。,的唯一有限奇点，所以,回顾,泰勒(Taylor)级数的形式？ 幂级数为其中z是复变数，系数 是复常数。 泰勒级数在收敛半径为R的收敛圆内表示了一个解析函数； 如果函数在半径为R的圆内解析，则它可在该圆内展成泰勒级数。,S3 罗朗(Laurent)级数,本节主要讨论函数在环域 内的级数展开问题，并且讨论它在积分计算中的应用，这里 可以为0，而 可以为 ，并且称环域 为点 的邻域。,1 问题的引入,上节研究了如下的幂级数：,对于一般的函数项级数,从数学研究的角度，应该可以取具有负幂的 ：,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,我们开始研究这一问题,同时收敛,Laurent级数,收敛,收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分,R,结论:,常见的特殊圆环域:,一 解析函数的罗朗展开定理 先考虑级数其中 是复常数。 级数 可以看作是变量 的幂级数,设该幂级数的收敛半径为 R ， (1）如果 ，那么当 时，级数 绝对收敛；当 时，级数 发散；（2）如果 ，那么级数 在 绝对收敛；（3）如果 ，那么级数 在复平面上每点均发散。,更一般地考虑级数其中 是复常数。 当级数 都收敛时，我们称级数（3.2）收敛,并且它的和函数为(3.3）中两个级数的和函数相加。,设（3.3）中第一个级数在 内绝对收敛，第二个级数在 内绝对收敛。 若 ，那么（3.2）在圆环 内绝对收敛，且它的和函数是解析的。 级数（3.2）称为罗朗级数.,定理1 设函数 在圆环 内解析，那么在D内有其中 是圆 ， 是一个满足 的任何数。,证明：,在圆环D内任意取定一点 ，然后在D内作圆环,使得 ,这里 ，用 C1 及 C2 分别来表示圆 及 。,由于f(z)在闭圆环 上解析，由Cauchy积分公式得,由Taylor定理证明中的引理2（1） 若 在正向圆周 上连续，则对该圆内一点 z 有,由Taylor定理证明中的引理2（2） 若 在正向圆周 上连续，则对该圆外一点 z 有,由于 在圆环 内解析,由复连通区域的Cauchy积分定理,可知： 中的积分路径 和 可以改为圆 ，于是得到 证毕。,级数(3.4)中， 称为该级数的解析部分，而 称为该级数的主要部分。级数(3.4)称为 在圆环D内的罗朗展开式。,注意：由于在圆所围区域可能有奇点，因此， 不能用Cauchy公式把系数记为：,二、罗朗级数的性质定理2 若函数 在圆环D: 内解析，则该函数的罗朗级数展开式 在D内处处绝对收敛、可以逐项微分和积分，其积分路径为D内的任何简单闭路，并且其展开式的系数是唯一的，即它的各项系数 一定可以表示为式 的形式。证明：（书112页 ）,三、函数的Laurent展开式,理论上应该有两种方法: 直接法与间接法,(1) 直接展开法,利用定理公式计算系数,然后写出,这种方法只有在找不到更好方法时才用。,根据解析函数 Laurent 级数展开式的唯一性, 从已知的初等函数的泰勒级数出发，利用变量替换，泰勒级数和罗朗级数的逐项微分或者积分运算等来求得所给函数在环域 的罗朗展开式.,(2) 间接展开法,这一方法成为Laurent 级数展开的常用方法。,例 及 在 内的罗朗展开式 解：,例 在 内的罗朗展开式,此时用 的Taylor展式,例,都不解析,也可以展开成级数：,函数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展,开式,回答：不矛盾 .,Laurent展开式是唯一的.,问题：这与laurent展开式的唯一性是否相矛盾?,注意唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的,(包括Taylor展开式作为其特例).,四、典型例题,例1,解,由已知函数 的展开式,可以直接得到,例2,内解析,把 在这些区域内展成Laurent级数.,解,由,且仍有,此时,仍有,这一例子说明：同一函数在不同的圆环内的罗朗展开式可是不同的！,例3 分别将下列函数在指定点 的去心邻域内展开成Laurent级数,（1）,利用三角公式,和,的Taylor级数展开式可得当,化简得,该展开式不含有负幂项.,(2),令,利用,的Taylor级数展开式可得,该展开式中含有无穷个负幂项.,（3）,利用三角公式,令,由函数,的Taylor级数展开式可得,该展开式中也含有无穷个负幂项.,三 用Laurent 级数的展开式计算积分 根据定理1，得 因此，我们可以根据定理2求出系数 的值来计算积分。例1 计算积分解：先分析函数 的解析性。显然它的奇点值满足 ，其奇点构成了实轴上的区间 ，因此它在环域 内解析。于是令 ，利用,得它在环域 内的Laurent 级数的展开式于是取 ，得其积分值,例2 计算积分解：被积函数为偶函数并且在环域 内解析，该函数在其内的罗朗级数展开式的奇次幂系数为零，所以,例3.试说明用什么方法将函数 在圆环 内展开成Laurent级数比较简便?并计算它沿正向圆周 的积分。,解: 先将函数 在点 进行泰勒级数展开（直接展开法），然后等式两端同除以显然其负一次幂系数 ，从而