“网格”助猜想-“勾股定理”的解读

彰显数学魅力！演绎网站传奇！“勾股定理”的解读课本在“勾股定理”一节，创设了在“网格”的背景下，以直角三角形的三边长向外构造正方形，利用计算3个正方形的面积来寻求其相互关系的视角，设置了“看一看”、 “试一试”、“做一做”三个环节，来探求直角三角形的三边之间的关系，让同学们经历、感受和实践了勾股定理的猜想、探究发现的过程，其中渗透了从特殊（等腰直角三角形）到一般（直角三角形）的归纳猜想（直角三角形的三边之间的关系）的科学思维与探究方法，然后又借助“拼图”即利用图形拼接，只要没有重叠，也无缝隙，面积不会改变的方法验证了上述发现：“勾股定理直角三角形两条直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方.即a2+b2=c2”是正确的.仔细体会上述对本节内容的解读，可以发现在探求勾股定理的过程中，蕴涵了丰富的数学思想把三角形有一个直角“形”的特点转化为三边之间的“数”的关系，这是数形结合思想；把探求边的关系转化为探求面积的关系，将边不在格线上的图形转化为可计算的格点图形，是转化思想的体现；先探求特殊的直角三角形的三边关系，再探求一般直角三角形的三边关系，这是特殊一般的思想.下面我们在通过几例中考命题的剖析，来感悟蕴涵的科学探究思维模式的应用.例1、如图所示，将两个等腰直角三角形的三角板叠放在一起，使得上面三角形的一个锐角顶点与下面三角形的直角顶点重合，并将上面的三角形绕着这个顶点逆时针旋转，在旋转过程中，它的两条边将下面三角形的斜边分成三条线段，我们来研究这三条线段之间的数量关系：试验与操作：如图，如果上面三角形的一条直角边旋转到CM的位置时，它的斜边恰好旋转到CN的位置，请在网格图中分别画出以AM，MN和NB为边的正方形，分别记作S1、S2、S3，观察S1、S2、S3之间有什么关系.猜想与探究：如图，RTABC中，AC=BC，ACB=90，M，N是AB边上的点，MCN=45，作DAAB于点A，截取DA=NB，并连接DC，DM，我们来证明线段CD与线段CN相等.CAB=CBA=45，且DAC=45DAC=CBA又DA=NB，AC=BCCADCBNCD=CN.请你继续解答：（1）线段MD与线段MN相等吗，为什么？（2）线段AM，MN与NB有怎样的数量关系？为什么？NMDCBA图丙CBA图甲MCBAN图乙分析：试验与操作，从画出以AM，MN和NB为边的正方形，观察网格的面积可以得出S1=9个平方单位，S2=25个平方单位，S3=16个平方单位，因而S1、S2、S3之间关系为. S1+S3=S2. 猜想与探究：（1）MD=MN证明：CADCBNACD=BCN，而BCN+ACM=ACB-MCN=9045=45ACD+ACM=45即DCM=45=NCM，又CD=CN，CM=CMDCMNCMMD=MN.（2）线段AM，MN与NB数量关系为：MN2= AM2+NB2.证明：在RtMAD中，由勾股定理得：MD2= AM2+AD2又MD=MN，DA=NB，MN2= AM2+NB2例2、请阅读下列材料：图图图问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个新的正方形要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x0)依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长于是，画出如图所示的分割线，拼出如图所示的新正方形参考小东同学的做法，解决如下问题：图图现有10个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个新的正方形要求：在图中画出分割线，并在图的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形分析：本题创设了以“阅读材料”解释怎样进行拼图的问题情景，基本要求是：将给出若干个边长为1按某种形式排列的正方形，适当分割再拼成正方形，但必须保持变化前后图形的面积不变.观察图的分割线及图拼成正方形，可以发现分割成的4个直角三角形的2条直角边的差正好等于中间的小正方形的边长且斜边正好等于大正方形的边长.由于问题是给出的是10个边长为1的正方形，因而拼成的正方形的边长应为，故可将给出图排列的形式在分割时，分割成的4个直角三角形2条直角边长为3和1（因为=）且中间小正方形的边长为3-1=2（即面积为4）.拼图如下：图图事实上，如若我们能够类比联想到赵爽的拼图思维方法，便可以很容易找到分割线的位置及分割线的条数，进而拼接成“弦图”.BCOA图3-2B1A3A2A1B3B2例3、如图3-1，在网格中有一个四边形图案（1）请你画出此图案绕点O顺时针方向旋转90、180、270的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不将阴影位置涂错.（2）若网格中每个小正方形的边长为1，旋转后点A的对应点依次为A1，A2，A3，求四边形AA1A2A3的面积.（3）这个美丽的图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论.BCOA图3-1分析：（1）画出图案如图3-2.画图时注意旋转中心为点O，找准旋转90、180、270后，点A、B、C所处的位置，标上相应的字母，另外还应注意是按顺时针进行旋转的.（2）观察画出的旋转后的图形，可以知道：四边形AA1A2A3的面积等于四边形BB1B2B3的面积减去4个ABC的面积，又由于四边形AA1A2A3、四边形BB1B2B3均为正方形，所以为（3+5）2435=34.（3）这个著名的定理就是勾股定理即直角三角形2条直角边的平方和等于斜边的平方.即AB2+BC2=AC2（B=90）这可由（AB+BC）2=AC2+4ABBC证得.例4、如图4-（1），分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3，表示，则不难证明；S1=S2+S3(1)如图4-（2），分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间的关系?(不必证明)(2)如图4-（3），分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论(4)类比(1)，(2)，(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 图4分析：本题是以勾股定理知识的应用为切入点，以图形的面积为载体，设置的一个开放性的探索性的问题，它几乎囊括了探索性问题的类型.（1）（2）问是探索结论性的问题，这类问题有明确的已知条件，需结合图形猜测出相应的结论，或变换命题中的部分条件探究对结论的影响.由勾股定理及正方形、三角形的面积公式，容易得出S1=S2+S3 ；（3）是条件探索性的问题.这类问题一般命题的结论明确（S1=S2+S3），需读者反溯结论成立的条件.可采取逆向思维，把结论视为题设的一部分，再结合已有的条件，并辅助于图形结构、隐含的条件进行分析探究，方可得到所需的条件.当然本题的探索兼有研究、发现、创新的思维功能，由（1）（2）可以发现都是以直角三角形的边长为边作的正多边形，而它们有一个共同性质所有的正方形都是相似的，所有的正三角形都是相似的，因而当所作的是一般的三角形时，只要满足3个三角形是相似的，且直角三角形的三边恰好是它们的对应边，那么便有S1=S2+S3成立.（4）是规律探索性问题，命题的形式常常是给出几个具体的数、式或图形，根据已有的知识经验探究其中的隐含变化规律，从而猜想出一般的结论.解决此类问题一般从特殊情况、或最简单情况入手，进行研究.由（1）（2）这2种特例不难发现向外作的是三角形、四边形，故可猜测所作的图形是多边形，由（3）知3个图形必须相似，总结归纳我们可以猜测更据有一般意义的规律为：若分别以RtABC的三边向外作3个以这三边为对应边的相似多边形，其面积分别用S1，S2，S3，表示，则有S1=S2+S3.解法1：设直角三角形ABC的三边BC，CA，AB，的长分别为a，b，c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3（2）S1=S2+S3，理由如下：因为以BC为边长的正三角形以AB为边长的正三角形以AC为边长的正三角形以AB为边长的正三角形，根据相似三角形的性质，面积的比等于相似比的平方.所以= ，=，所以+=+=1，所以S1=S2+S3 .(3)当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3 .证明如下：所作的三个三角形相似， =1. S1=S2+S3 .(4)分别以直角三角形ABC三边为边向外作相似图形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则S1=S2+S3解法2 （1）同上 （2）S1=S2+S3证明：由三角形的面积公式易求3个三角形的面积分别为：S1 =c2，S2=a2，S3 =b2，S2+S3 = (a2+b2)= c2= S1（3）设BC、AC、AB三边上的高分别m、n、t，由三角形面积公式得：S1=，S2=，S3=，所以= ，=，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”则有：，所以+=+=1，所以S1=S2+S3 .（4）同上评注：本题为学生设置了一个能够运用所学知识（勾股定理、面积、相似三角形的判定、性质）和数