空间向量的数量积运算

1 知识与技能掌握空间两个向量的夹角 两个向量互相垂直的概念及表示方法 掌握两个向量的数量积的概念 计算方法以及运算律 2 过程与方法能够初步运用空间向量的数量积 来研究空间线面的垂直关系 了解三垂线定理及其逆定理 重点 理解掌握两个向量的夹角 两个向量的数量积的概念 理解两个向量的数量积的计算方法 运算律及应用 难点 两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题 1 由于空间任意两个向量都可转化为共面向量 所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围 两个向量垂直的定义和表示及向量的模的概念和表示等 都与平面向量相同 2 要准确理解两向量夹角的概念 它和两直线夹角是不同的 它与向量的方向有关 其取值范围是 0 记 a b a b都是非零向量 a b时 0或 0时 a与b同向 时 a与b反向 为锐角时 a b 0 但a b 0时 可能为0 为钝角时 a b 0 但a b 0时 可能为 a b a b 特别地 当 0时 a b a b 当 时 a b a b 对于实数a b c 若ab ac a 0 则b c 对于向量a b c 若a b a c a 0 却推不出b c 只能得出a b c a b 0a 0或b 0 a 0时 一定有a b 0 三个不为零的三个实数a b c 有 ab c a bc 成立 但对于三个向量a b c a b c a b c 因为a b是一个实数 a b c是与c共线的向量 而a b c 是与a共线的向量 a与c却不一定共线 与平面上两个向量的数量积一样 空间两个向量的数量积也具有如下性质 1 a b a b 0 用于判断两向量是否垂直 2 a 2 a a用于求向量的模 3 a b a b 用于判断或证明不等式 1 已知两个非零向量a b 在空间任取一点O 作 则角叫做向量a与b的夹角 记作 a b 通常规定0 a b 180 且 a b b a 如果 a b 则称a与b互相垂直 记作a b AOB 90 2 空间两个非零向量a b a b 叫做向量a b的数量积 或内积 同平面向量一样 空间两个向量的数量积是一个实数 空间两个向量的数量积也具有如下性质 1 a b 2 a 2 空间两个向量的数量积同样满足如下运算律 1 a b 2 a b 交换律 3 a b c 分配律 a b cos a b a b 0 a a a b b a a c b c 3 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的垂直 那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和垂直 即与斜线垂直 与射影垂直 一条斜线的射影 这条斜线在平面内的射影 例1 如图所示 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1 点E F分别是AB AD的中点 计算 向量a b之间的夹角为30 且 a 3 b 4 则a b a2 b2 a 2b a b 点评 由于内积满足分配律 故可象多项式乘以多项式一样展开 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求异面直线A1B与AC所成的角 例3 已知空间四边形OABC中 AOB BOC AOC 且OA OB OC M N分别是OA BC的中点 G是MN的中点 求证 OG BC 已知空间四边形OABC中 M N P Q分别为BC AC OA OB的中点 若AB OC 求证 PM QN 分析 可直接运用 a 2 a a 说明 公式 a b c a b c a b c 2 a 2 b2 c2 2a c 2a b 2b c 应牢记并能熟练的应用 已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中 以顶点A为端点的三条棱长都是1 且两两夹角为60 则AC1的长是多少 例5 如图 在平行四边形ABCD中 AB AC 1 ACD 90 将它沿对角线AC折起 使AB与CD成60 角 求B D间的距离 解析 把两点间距离表示出来 由a2 a 2求距离 但应注意向量的夹角 三角形内角的区别 一 选择题1 已知 a 13 b 19 a b 24 则 a b 等于 A 22B 48C D 32 答案 A 解析 a b 2 a2 b2 2a b a b 2 a2 b2 2a b a b 2 2 a2 b2 a b 2 2 132 192 242 484 a b 22 故选A 2 下列式子中正确的是 A a a a2B a b 2 a2 b2C a b c a b c D a b a b 答案 D 解析 a a是与a共线的向量 a2是实数 故A不对 a b 2 a 2 b 2 cos2 a b a2 b2 故B错 a b c与c共线 a b c 与a共线 故C错 a b a b cos a b a b 答案 B 解析 由向量夹角定义知选B