大学物理-机械波

第八章 机械波,振动在空间的传播过程叫做波动,声波、水波、电磁波都是物理学中常见的波，它对应一种物质波。波即可以是运动状态的传递而非物质的自身运动，也可以是物质本身的运动结果，甚至把波直接看作一种粒子。,各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如，声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，至于光波有时可以直接把它看作粒子光子的运动。,机械振动在弹性介质中的传播称为机械波。下面以机械波为例介绍波的一些物理概念。,一、 机械波的产生和传播,弹性介质和波源（机械波产生的条件）,弹性介质_由弹性力组合的连续介质。,波源_波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。波动是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。,纵波和横波：,横波振动方向与传播方向垂直。,纵波振动方向与传播方向相同。,任一波例如，水波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。,结论：,(1) 质元并未“随波逐流” 波的传播不是媒 质质元的传播,(2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动,(3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于“下游”某处出现-波是振动状态的传播,(4) 同相点-质元的振动状态相同,波是相位的传播,沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。,图中b点比a点的相位落后,波形曲线(波形图),不同时刻对应有不同的波形曲线,波形曲线能反映横波、纵波的位移情况,波线、波面、波前,波线（或波射线)-波的传播方向称之为波射线或波线。,波面（或相面）-某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为波面。,波前(波阵面)-某时刻处在最前面的波面。,波场：波转播到的空间。,球面波平面波在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直.,球面波,平面波,波的周期性和波速,波速-单位时间某种一定的振动状态(或振动相位) 所传播的距离称为波速 ，也称之相速 。,频率-单位时间内质点振动的次数,波动的频率，等于介质中质点的振动频率。,-表示波在空间的周期性,-表示波在时间上的周期性,波的周期T：波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过波线上某一点所需要的时间叫做波的周期T。,通过波速 联系起来,物体的弹性和波速,机械波的传播速度完全取决于介质的弹性性质和惯性性质。即介质的弹性模量和介质的密度, 亦即决定于这种波在媒质中传播的机构。,可以证明：,T为绳索或弦线中张力;,为质量线密度,细长的棒状媒质中纵波波速为,Y为媒质的杨氏弹性模量;,为质量密度,各向同性均匀固体媒质横波波速,G为媒质的切变弹性模量;,为质量密度,在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。,对于柔软的绳索和弦线中横波波速为:,在液体和气体只能传播纵波，其波速为：,B为媒质的体变弹性模量;,为质量密度,理想气体纵波波速:,为压缩系数,M为气体的质量；,R为气体的摩尔常数。,T为热力学温度；,模量,显然波速与温度有关。,8-2、平面简谐波的波动方程,简谐波（harmonic waves):波源的振动是简谐振动，介质也不吸收波动的能量，那么介质中的质点也将作简谐振动。,平面简谐波（plane harmonic waves）：简谐波的波面是平面。(可当作一维简谐波研究）,一维波动方程的一般表示：,位移y是时间和空间的函数。,若波速v为恒量，则从整体上看，整个波以速度v向前推进，所以又称这种波为行波（traveling waves）。,波函数,以横波为例说明平面简谐波的波函数：,设O点振动表达式：,y表示各质点在Y方向上的位移，A是振幅， 是角频率或叫圆频率， 为O点在零时刻的相位。,O点运动传到 p点需用,P点比O点相位落后,p点的振动方程：,P点在t时刻的位移等于原点处质点在 时刻的位移,即p点的相位落后于O点相位： 。,这就是右行波的波动方程。,因此下述几式等价：,若这两处相位相同，则有：,可见波速就是相位传播的速度,左行波的波函数：,也即p点的相位超前于O点相位：,p点运动传到 O 点需用时间：,所以 p点的运动方程，也就是左行波的波方程：,二、波动方程的物理意义,3. t 与 x 都发生变化,设 t 时刻位于质点 P 点的位移为：,经过 时刻后，P点的振动传到 处的 Q 点，,8-3、波的能量和能流,1、波的能量和能流密度,波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。,有一平面简谐波：,质量为,在x处取一体积元,质元的速度,体积元内媒质质点动能为：,体积元内媒质质点的弹性势能为：,体积元内媒质质点的总能量为：,(1) 固定x,物理意义,dWk = dWp,(2) 固定t,wk,wp,(1/4) 2A2,1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。,说明：,2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。,能量密度：介质中单位体积内的波动能量。,平均能量密度：一个周期内能量密度的平均值。,能流（flow of energy):单位时间内通过介质中某一面积的能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。,2. 能流和能流密度,平均能流：在一个周期内能流的平均值。,能流密度（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。,声学中声强就是该定义之一例。,能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。,3、任意时刻，体元中动能与势能相等，即动能与势能同时达到最大或极小。即同相的随时间变化。这不同于孤 立振动系统。,1、能量密度随时间周期性变化，其周期为波动周期的一半。,讨论：,2、能量密度与振幅平方 、频率平方 和质量 密度 均成正比。,波动的能量与振动能量是有区别的。孤立振动系统的质元动能最大时，势能最小，总机械能守恒，不向外传播能量;,而对于波动来说，由于媒质中各部分由弹性力彼此相联，使得振动在其中传播。任一质元总机械能随时间周期性的变化，动能最大时，势能也最大，动能为零时，势能也为零；,例题1 分析：波是能量传播的一种形式。,极大,能量极小,极小,波形,对于某一体元，它的能量从零达到最大，这是能量的输入过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的过程，周而复始。平均讲来，该体元的能量密度保持不变。,即媒质中并不积累能量。因而它是一个能量传递的过程，或者说波是能量传播的一种形式；波动的能量沿波速方向传播。,例题2 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。,分析平面波和球面波的振幅,证明：,所以,平面波振幅相等：,对平面波：,由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：,对球面波：,1 、原理： 波动所到达的媒质中各点，都可以看作为发射子波的波源，而后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。,8-4 惠更斯原理,一、惠更斯原理,2. 应用 :,t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向,3. 不足,二. 波的衍射,1. 现象,波传播过程中当遇到障碍物时,能 绕过障碍物的边缘而传播的现象。,2. 作图 可用惠更斯原理作图, 如你家在大山后,听广播和看电视哪个更容易?,(若广播台、电视台都在山前侧),三.波的反射和折射(略),1、波的叠加原理（独立性原理）,8-5 波的干涉,若有几列波同时在介质中传播，则它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。这种波动传播过程中出现的各分振动独立地参与叠加的事实称为波的叠加原理。,能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。,2、 波的干涉现象,相干条件：,具有恒定的相位差,振动方向相同（或称为具有相同的偏振面),两波源具有相同的频率,满足相干条件的波源称为相干波源。,稳定的波的叠加图样是指在媒质中某些位置的点振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变，称这种稳定的叠加图样为干涉现象。,传播到 P 点引起的振动分别为：,在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。,设有两个相干波源 和,发出的简谐波在空间p点相遇。,合成振动为：,其中：,由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：,3、干涉加强或减弱的条件,当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：,相长干涉,相消干涉,对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。,称 为波程差,特殊的干涉现象：驻波,例题： 位于 两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相差为 ，其 相距3