较好较难的几个立体几何

B F A F D A E C M 49 矩形 ABCD 与矩形 ABEF 的公共边为 AB 且平面 ABCD 平面 ABEF 如图所 示 FD2 AD 1 EF 3 证明 AE 平面 FCB 求异面直线 BD 与 AE 所成角的余弦值 若 M 是棱 AB 的中点 在线段 FD 上是 否存在一点 N 使得 MN 平面 FCB 证明你的结论 解 1 平面 ABCD 平面 ABEF 且四边形 ABCD 与 ABEF 是矩形 AD 平面 ABEF AD AE BC AD BC AE 又 FD 2 AD 1 所以 AF EF 3 所以四边形 ABEF 为正方形 AE FB 又 BF BBC BF 平面 BCF BC 平面 BCF 所以 AE 平面 BCF 4 分 2 设 BF AE O 取 FD 的中点为 H 连接 OH 在中FDB OH BD HOF 即为异面直线 BD 与 AE 所成的角 或补角 在HFO 中 OH 1 FH 1 FO 2 6 cos HOF 4 6 异面直线 BD 与 AE 所成的角的余弦值为 4 6 8 分 3 当 N 为 FD 的中点时 MN 平面 FCB 证明 取 CD 的中点 G 连结 NG MG MN 则 NG FC MG BC 又 NG 平面 NGM MG 平面 NGM 且 NG MG G 所以平面 NGM 平面 FBC MN 平面 NGM MN 平面 FBC 12 分 50 河北省正定中学 2008 年高三第五次月考 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 90 1 0 AAABACBAC E 是 BC 的中点 1 求异面直线 AE 与 A1C 所成的角 2 若 G 为 C1C 上一点 且 EG A1C 试确定点 G 的位置 3 在 2 的条件下 求二面角 A1 AG E 的大小 文科求其正切值 解 1 取 B1C1的中点 E1 连 A1E1 E1C 则 AE A1E1 E1A1C 是异面直线 AE 与 A1C 所成的角 设aAAABAC2 1 则 22 2 111 aCAaEA 2 2 1 1111 aCBCE 6 2 1 2 111 aCCCECE F FE E D D C CB B A A G F D E C B A CEA 11 在 中 2 1 2222 682 cos 222 11 aa aaa CAE 所以异面直线 AE 与 A1C 所成的角为 3 4 分 2 由 1 知 A1E1 B1C1 又因为三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱 11E A BCC1B1 又 EG A1C CE1 EG 11CC E GEC 11CC E GEC CC EC CE CG 1 11 即 a a a CG 2 2 2 得aCG 所以 G 是 CC1的中点 8 分 3 连结 AG 设 P 是 AC 的中点 过点 P 作 PQ AG 于 Q 连 EP EQ 则 EP AC 又 平面 ABC 平面 ACC1A1 EP 平面 ACC1A1 而 PQ AG EQ AG PQE 是二面角 C AG E 的平面角 由 EP a AP a PQ 5 a 得5tan PQ PE PQE 所以二面角 C AG E 的平面角是 arctan 而所求二面角 1 AAGE 是二面角 C AG E 5 的补角 故二面角 1 AAGE 的平面角是 arctan 12 分 5 文 二面角 1 AAGE 的平面角的正切值为 12 分 5 45 广东省五校 2008 年高三上期末联考 已知梯形 ABCD 中 AD BC ABC BAD 2 AB BC 2AD 4 E F 分别是 AB CD 上的点 EF BC AE x G 是 BC 的中点 沿 EF 将梯形 ABCD 翻折 使平面 AEFD 平面 EBCF 如图 1 当 x 2 时 求证 BD EG 2 若以 F B C D 为顶点的三棱锥的体积记为 f x 求 f x 的最大值 3 当 f x 取得最大值时 求二面角 D BF C 的余弦值 解 1 法一 平面AEFD 平面EBCF AE EF AE 面平面 EBCF AE EF AE BE 又 BE EF 故可如图建立空间坐标系 E xyz 1 分 则 A 0 0 2 B 2 0 0 G 2 2 0 D 0 2 2 E 0 0 0 2 分 F FE E D D C CB B A A x G F D E C B A y z BD 2 2 2 EG 2 2 0 3 分 BD EG 2 2 2 A 2 2 0 0 BDEG 4 分 法二 作 DH EF 于 H 连 BH GH 1 分 由平面AEFD 平面EBCF知 DH 平面 EBCF 而 EG 平面 EBCF 故 EG DH 又四边形 BGHE 为正方形 EG BH BH DH H 故 EG 平面 DBH 3 分 而 BD 平面 DBH EG BD 4 分 或者直接利用三垂线定理得出结果 2 AD 面 BFC 所以 f x VA BFC 1 3 BFC sAE A A A A4A 4 x Ax 1 3 1 2 2 288 2 333 x 7 分 即2x 时 f x有最大值为 8 3 8 分 3 法一 设平面 DBF 的法向量为 1 nx y z AE 2 B 2 0 0 D 0 2 2 F 0 3 0 2 3 0 BF BD 2 2 2 9 分 则 1 1 0 0 n BD n BF A A 即 2 2 2 0 2 3 0 0 x y z x y z A A 2220 230 xyz xy 取 x 3 则 y 2 z 1 1 3 2 1 n 面 BCF 的一个法向量为 2 0 0 1 n 12 分 则 cos 12 12 14 14 n n nn A 13 分 由于所求二面角 D BF C 的平面角为钝角 所以此二面角的余弦值为 14 14 14 分 法二 作 DH EF 于 H 作 HM BF 连 DM 由三垂线定理知 BF DM DMH 是二面角 D BF C 的平面角的补角 G F D E C B A H H E M F D B A C G 9 分 由 HMF EBF 知 H MH F BEBF 而 HF 1 BE 2 22 BF BE EF 13 HM 2 13 又 DH 2 在 Rt HMD 中 tan DMH D H 13 H M 因 DMH 为锐角 cos DMH 14 14 13 分 而 DMH 是二面角 D BF C 的平面角的补角 故二面角 D BF C 的余弦值为 14 14 14 分 46 贵州省贵阳六中 遵义四中 2008 年高三联考 如图 在RtAOB 中 6 OAB 斜边4AB RtAOC 可以通过RtAOB 以直线AO为轴旋转得到 且二面角 BAOC 是直二面角 动点D在斜边AB上 I 求证 平面COD 平面AOB II 当D为AB的中点时 求异面直线AO与CD所 成角的大小 III 理 理 求CD与平面AOB所成角的最大值 文 文 当D为AB的中点时 求CD与平面AOB所成的角 解 解 I 由题意 COAO BOAO BOC 是二面角BAOC 是直二面角 又 二面角BAOC 是直二面角 COBO 又AOBOO CO 平面AOB 又CO 平面COD 平面COD 平面AOB 4 分 II 解法一 解法一 作DEOB 垂足为E 连结CE 如图 则DEAO CDE 是异面直线AO与CD所成的角 在RtCOE 中 2COBO 1 1 2 OEBO 22 5CECOOE 又 1 3 2 DEAO 在RtCDE 中 515 tan 33 CE CDE DE 异面直线AO与CD所成角的大小为 15 arctan 3 8 分 解法二 解法二 建立空间直角坐标系Oxyz 如图 则 0 0 0 O 0 0 2 3 A 2 0 0 C 013 D 0 0 2 3 OA 213 CD cos OA CD OACD OA CD A A 66 42 3 2 2 A 异面直线AO与CD所成角的大小为 6 arccos 4 8 分 III 理 由 I 知 CO 平面AOB CDO 是CD与平面AOB所成的角 且 2 tan OC CDO ODOD 当OD最小时 CDO 最大 这时 ODAB 垂足为D 3 OA OB OD AB A 2 3 tan 3 CDO CD 与平面AOB所成角的最大值为 2 3 arctan 3 12 分 文 由 I 知 CO 平面AOB CDO 是CD与平面AOB所成的角 且 CDO 45o 12 分 47 安徽省合肥市 2008 年高三年级第一次质检 如图 在几何体PABCD 中 面 ABCD为矩形 PA 面ABCD 2ABPA 1 求证 当2AD 时 平面 PBD 平面 PAC 2 当25AD 时 求二面角BPDC 的取值范围 以 A 为坐标原点 射线 AP AB AD 分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正半轴建立如图所示的坐标 系 设ADa 由已知得 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 APBCa Da 1 当2AD 时 0 2 2 0 0 2 CD 0 2 2 2 0 0 0 2 2 BDPACA 4 分 0 0BD PABD CA BDPA BDCA 又PACAA 平面 PBD 平面 PAC 6 分 解法二 当2AD 时 矩形ABCD为正方形 BDAC PA 面ABCD BDPA 2 分 又PACAA BD 平面 PAC BD 平面 PBD 平面 PBD 平面 PAC 2 由 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 PBCa Da 得 2 0 2 2 0 0 2 0 PDa PBDC 设 11111 nx y zn 平面 PDC 1111 111 1 0 2 0 0 0 2 0 0 0 n PDx y za x y z n DC 1 111 1 1 2 20 0 0 x xazz a y y 不妨设 1 xa 则 1 0 2 na 设 22222 nxyzn 平面 PDB 2222 222 2 0 2 0 0 2 2 0 0 0 nPDxyza xyz nPB 2 222 22 22 2 20 220 x xazz a xy yx 不妨设 2 xa 则 2 2 na a 10 分 2 12 12 2 222 12 0 2 2 412 cos 1 22 42424 n naa aa n n ann aaa 当25AD 变化时 即25a 2 25a 12 2 123 143 cos 1 22142 n n a 又 12 0 n n 12 3 14 arccos 614 n n 40 广东省汕头市潮阳一中 2008 年高三模拟 如图 棱柱 ABCD A1B1C1D1的所有 棱长都等于 2 ABC 60 平面 AA1C1C 平面 ABCD A1AC 60 证明 BD AA1 求二面角 D A1A C 的平面角的余弦值 在直线 CC1上是否存在点 P 使 BP 平面 DA1C1 若存在 求出点 P 的位置 若 不存在 说明理由 解 连接 BD 交 AC 于 O 则 BD AC 连接 A1O 在 AA1O 中 AA1 2 AO 1 A1AO 60 A1O2 AA12 AO2 2AA1 Aocos60 3 AO2 A1O2 A12 A1O AO 由于平面 AA1C1C 平面 ABCD 所以 A1O 底面 ABCD 以 OB OC OA1所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示空间直角坐标系 则 A 0 1 0 B 3 0 0 C 0 1 0 D 3 0 0 A1 0 0 3 2 分 由于 0 0 32 BD 3 1 0 1 AA 则00301 32 0 1 BDAA BD AA1 4 分 由于 OB 平面 AA1C1C 平面 AA1C1C 的法向量 0 0 1 1 n 设 2 n 平面 AA1D 则 2 2 12 zyxn ADn AAn 设 得到 1 3 1 03 03 2 n yx zy 取 6 分 5 5 cos 21 21 21 nn nn nn 所以二面角 D A1A C 的平面角的余弦值是 5 5 8 分 假设在直线 CC1上存在点 P 使 BP 平面 DA1C1 设 1 zyxPCCCP 则 3 1 0 1 zyx 得 3 1 3 3 1 0 BPP 9 分 设 113 CDAn平面 则 13 113 DAn CAn 设 3333 zyxn 得到 1 0 1 033 02 3 33 3 n zx y 不妨取 10 分 又因为 BP平面 DA1C1 则 3 n 10330 得即BP 即点 P 在 C1C 的延长线上且使 C1C CP 12 分 法二 在 A1作 A1O AC 于点 O 由于平面 AA1C1C 平面 ABCD 由面面垂直的性质定理知 A1O 平面 ABCD 又底面为菱形 所以 AC BD BDAA OAAAA OAABD ACOA OABD ACBD 1 11 1 1 1 0 平面 平面 由于 4 分 在 AA1O 中 A1A 2 A1AO 60 AO AA1 cos60 1 所以 O 是 AC 的中点 由于底面 ABCD 为菱形 所以 O 也是 BD 中点 由 可知 DO 平面 AA1C 过 O 作 OE AA1于 E 点 连接 OE 则 AA1 DE 则 DEO 为二面角 D AA1 C 的平面角 6 分 在菱形 ABCD 中 AB 2 ABC 60 AC AB BC 2 AO 1 DO 3 22 AOAB 在 Rt AEO 中 OE OA sin EAO 2 3 DE 2 15 3 4 3 22 ODOE cos DEO 5 5 DE OE 二面角 D A1A C 的平面角的余弦值是 5 5 8 分 存在这样的点 P 连接 B1C 因为 A1B1 AB DC 四边形 A1B1CD 为平行四边形 A1D B1C 在 C1C 的延长线上取点 P 使 C1C CP 连接 BP 10 分 因 B1B CC1 12 分 BB1 CP 四边形 BB1CP 为平行四边形 则 BP B1C BP A1D BP 平面 DA1C1 12 安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测 如图 P O分别是正四棱柱 1111 ABCDABC D 上 下底面的中心 E是AB的中点 1 ABkAA 求证 1 AE 平面PBC 当2k 时 求直线PA与平面PBC所成角的大小 当k取何值时 O在平面PBC内的射影恰好为PBC 的重心 解法一 过 P 作 MN B1C1 分别交 A1B1 D1C1于 M N 则 M N 分别为 A1B1 D1C1的中点 连 MB NC 则四边形 BCNM 是平行四边形 2 分 E M 分别为 AB A1B1中点 A1E MB D A1 D1 C1 B1 E1B A C P O D A1 D1 C1 B1 E1B A C P O M N F 又 MB 平面 PBC A1E 平面 PBC 4 分 过 A 作 AF MB 垂足为 F 连 PF BC 平面 ABB1A1 AF 平面 ABB1A1 AF BC BC MB B AF 平面 PBC APF 就是直线 AP 与平面 PBC 所成的角 7 分 设 AA1 a 则 AB 2a AF 2 3 3 a AP 2a sin APF 6 3 AF AP 所以 直线 AP 与平面 PBC 所成的角是 6 arcsin 3 9 分 连 OP OB OC 则 OP BC 由三垂线定理易得 OB PC OC PB 所以 O 在平面 PBC 中的射影是 PBC 的垂心 又 O 在平面 PBC 中的射影是 PBC 的重心 则 PBC 为正三角形 即 PB PC BC 所以2k 反之 当 k 2时 PA AB PB PC BC 所以三棱锥OPBC 为正三棱锥 O 在平面 PBC 内的射影为PBC 的重心 13 分 解法二 以点O为原点 直线OAOBOP 所在直线分别为xyz 轴 建立如图所示 的空间直角坐标系 不妨设2 2AB 则得 1 2 2 2 0 A k 1 1 0 E 2 2 0 0 P k 0 2 0 B 2 0 0 C 2 分 由上得 1 2 2 1 1 AE k 2 2 0 BC 2 2 0 2 PB k 设 1 AEx BCy PB 得 2 22 2 1 1 2 2 0 0 2 xy kk 解得 1 1 2 xy 1 1 2 AEBCPB BCPBB 1 AEPBC 平面 1 AE 平面PBC 4 分 当2k 时 由 0 0 2 P 2 0 0 A得 2 0 2 PA 2 2 0 BC 0 2 2 PB z x y D A1 D1 C1 B1 E1B A C P O 设平面PBC的法向量为 1 n 则由 0 0 n BC n PB 得 10 0 1 1 1 n 7 分 6 cos 3 PA n PA n PAn 直线PA与平面PBC所成角的大小为 6 arcsin 3 9 分 由 知PBC 的重心G为 2 2 2 2 3 33k 则 2 2 2 2 3 33 OG k 若O在平面PBC内的射影恰好为PBC 的重心 则有 0 0 OG BC OG PB 解得2k 当2k 时 O在平面PBC内的射影恰好为PBC 的重心 13 北京市朝阳区 2008 年高三数学一模 直三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 120 AC CB A1A 1 D1是 A1B1上一动点 可 以与 A1或 B1重合 过 D1和 C1C 的平面与 AB 交于 D 证明 BC 平面 AB1C1 若 D1为 A1B1的中点 求三棱 锥 B1 C1AD1的体积 111 BC AD V 求二面角 D1 AC1 C 的取值范围 方法方法 1 证明 依条件有 CB C1B1 又 C1B1 平面 A B1C1 CB 平面 A B1C1 所以 CB 平面 A B1C1 3 分 解 因为 D 为 AB 的中点 依条件可知 C1D A1B1 所以 111 BC AD V 111 CD AB V 1 3 C1D1 1 2 A1A D1B1 1 3 1 2 1 2 1 3 2 3 24 7 分 AB C D A1 B1 C1 D1 AB C D A1 B1 C1 D1 解 因为 D1是 A1B1上一动点 所以当 D1与 A1重合时 二面角 D1 AC1 C 的大小为 9 分 当 D1与 B1重合时 如图 分别延长 A1C1和 AC1 过 B1作 B1E A1C1延长于 E 依条件可知平面 A1B1C1 平面 ACC1A1 所以 B1E 平面 ACC1A1 过点 E 作 EF A1C1 垂直为 F 连结 FB1 所以 FB1 A1C1 所以 B1FE 是所求二面角的平面角 11 分 容易求出 B1E 3 2 FE 2 4 所以 tan B1FE 1 B E FE 6 所以 B1FE arctan6 或 arccos 7 7 所以二面角 D1 AC1 C 的取值范围是 arctan6 或 arccos 7 7 13 分 方法方法 2 略 解 如图建立空间直角坐标系 则有 A 1 0 0 B1 1 2 3 2 1 C1