大学物理-第3章-热学1-气体动理论

THERMOTICS,热 学,研究对象：气体分子的热运动规律。它研究大量分 子的无序、永不停息的热运动；即使有 时研究个体分子，也是研究共同的特点， 保留普遍性，弃除特殊性。,研究方法：, 热学：研究物质与冷热有关的性质及变化规律。,第 3 章 气体动理论,宏观状态分为平衡态和非平衡态。,3.1 热力学系统 状态 理想气体状态方程,一、热力学系统：,由大量微观粒子组成的宏观物体或系统，称为热力学系统，简称系统。,外界：与系统可能有物质和能量交换,二、状态：分为宏观状态和微观状态,三、温度： 温度是处于热平衡时系统的宏观状态参量。不同系统之间处于热平衡时它们的温度相同。,摄氏温标：C理想气体温标：K热力学温标：K，K = 273 + C,四、热力学第零定律： 如果系统 A 和 B 分别与系统 C 处于热平衡，则系统 A 和 B 也必然处于热平衡。,平衡态：系统内部、系统与环境之间没有宏观上的物 质和能量的流动，是微观的动态平衡。,五、理想气体状态方程：,以 N 表示体积 V 中的气体分子数，用 = N / NA ，状态方程写为 ，即,其中 n = N / V 为单位体积内分子个数 (分子数密度)。,k = R / NA = 1.3810-23 J / K 称为玻耳兹曼常量。,3.2 理想气体的压强和温度,1. 气体由大量分子组成，分子之间有空隙。,阿伏伽德罗常量 NA = 6.0231023 /mol,证据：(1) 气体容易压缩； (2) 酒精与水互溶，体积缩小。,2. 气体分子之间存在分子力的作用。,r0,引力占优,斥力占优,本质是电磁力，同时存在吸引力和排斥力：,一、气体分子无规则热运动：,(1) 令斥力 = 引力，F = 0，r = r0 10-10 m，处于稳定的平衡位置。,(2) 令 r r0，则引力 斥力，F r0，则 F = 0，理想气体。,3. 分子永不停息地无规则运动。,(1) 依赖于温度的热运动。,(2) 由布朗运动证实。,(3) 存在分子力与热运动的竞争，即有序与无序的竞争,微观上，由于理想气体分子数的巨大， 必须采用一定的假设和统计方法来研究。后面陆续建立宏观量 (p, V, T, E 等) 与微观量 (m, v, 等) 的关系。,二、理想气体模型的微观假设：,1. 分子个体的力学性质假设：,(1) 分子间距 分子大小；,(2) 分子间、分子与器壁间的碰撞是完全弹性碰撞；,(3) 非碰撞时，分子间、分子与器壁间无分子力作用；,(4) 分子的运动遵从经典力学规律。,所以一箱理想气体就是一箱稀薄的弹性分子。,2. 分子集体的统计性质假设：,(1) 分子运动速度各不相同，碰撞后发生变化；,(2) 平衡态时，每个分子处于容器中任何一点的概率相 同，即分子数密度到处一样：,(3) 平衡态时，分子朝各方向运动的几率相同，没有什 么方向占优势 (无定向流动)。,(4) 分子数如此巨大，以至于能够取得 “宏观小，微观 大” 的微分体积。,三、理想气体压强公式：,压强：单位时间大量分子给单位面积器壁的冲量,x,y,z,在 V 体积内有 N 个质量均为 m 的分子。第 i 个分子的速度为,与 Sx 碰撞后，x 方向动量变化为,每次碰撞时间间隔,，一个分子给 Sx 的力为,N 个分子给 Sx 的力, 一个分子的平均平动动能，它反映了 N 个分子的集体特征，不同于, 单位体积理想气体分子的平均平动动能, 理想气体分子的总平动动能,n 越大，分子与器壁碰撞频率越高 越大，碰撞频率越大，每次碰撞给器壁的冲量越大,所以压强,由 得,分子平均平动动能只与温度有关，并与温度成正比。,四、温度的微观意义：,热力学温度是大量分子平均平动动能的量度。,热力学温度是大量分子热运动强度的量度。,说明,1. 温度是描述热力学系统平衡态的物理量，非平衡态 不能用温度描述。,2. 温度具有统计意义，描述大量分子的集体状态；对 单个分子，说其温度没有意义。,(转动振动),称为方均根速率 (root-mean-square)。它是理想气体分子热运动强度的一个特征速率。,由 得,对特定种类分子，温度越高，方均根速率越大；同样温度下，质量越大的分子，其方均根速率越小。,例1 1023 个质量为 510-26 kg 的分子贮于 1L 的容器中, 它的方均根速率为 400 m/s, 问气体的压强是多少?这些分子的总平动动能是多少？温度是多少？,解：,例2 有一容积为 10 cm3的电子管，当温度为 300 K 时,管内压强为 510-6 mmHg，问管内有多少气体分子？这些分子的总平动动能是多少？,解：,3.3 能量均分定理 理想气体内能,一、自由度：,确定物体在空间中的位置所需独立坐标的数目叫做该物体的自由度。,1. 质点：(x, y, z),(1) 自由质点：x, y, z 互相独立，有 3 个自由度；,(2) 限于平 (曲) 面内运动的质点：x, y, z 间有 1 个约 束方程 f (x, y, z) = 0，有 2 个独立坐标，故有 2 个自由度；,(3) 限于直 (曲) 线上运动的质点：x, y, z 间有 2 个约 束方程 f1 (x, y, z) = 0, f2 (x, y, z) = 0，有 1 个独立 坐标，故有 1 个自由度。,总结：自由度 = 坐标数目 约束方程数目,2. 刚体：,(ii) 质心 (x, y, z)，方向 (cos , cos , cos )， 1 个约束方程 cos2 + cos2 + cos2 =1， 自由度 = 6-1 = 5，其中 3 个平动自由度，2 个转动自由度。,(2) 其他刚体：(i) 3 点, 3 个定距离, 自由度 = 9-3 = 6,(ii) 质心 (x, y, z)，轴向, ，转角 ，6 个自由度，其中 3 个平动自由度，3 个转动自由度。,3. 刚性分子：低温和常温下的气体分子。,4. 非刚性分子：高温下的气体分子，还有振动自由度,例如：He, Ne; H2, O2, CO, HCl; CO2, C2H2, H2O, CH4,例如：H2, CO; CO2, C2H2, H2O, CH4,二、能量均分定理：,由一个分子的平均平动动能,和分子运动的无规则性,得,此式说明：分子的每一个平动自由度的平均动能都相等，都等于 kT / 2。,原因？, 大量分子的弹性碰撞。,把这一结论推广至转动自由度，得能量均分定理：在温度为 T 的平衡态下，气体分子的每个自由度的平均动能都相等, 都等于 kT / 2。,本课程不计振动自由度。,三、理想气体内能：,实际气体内能 = 所有分子动能 + 所有分子间势能,理想气体内能 = 理想气体所有分子动能,理想气体内能 E 只是温度 T 的函数，而且 E T。,实际气体的内能是 T, V 的函数。,把与 T, V 等状态参量 (描述平衡态的宏观量) 有关的函数叫做状态函数。,例1 1 mol 的水气分解成同温的氢气和氧气，内能增加百分之几？设分子都是刚性的。,解：,1 mol H2O：,自由度 i = 6，内能,1 mol H2：,自由度 i = 5，内能,0.5 mol O2：,自由度 i = 5，内能,内能增加,例2 以 v = 100m/s 的速度匀速运动的容积 1L 的绝热容器中贮存 100g 氢气， 当容器运动停止后氢气的温度和压强增加多少？设氢气分子为刚性。,解：每个氢气分子除了无规则热运动外，还有定向运动 (分子质心的运动), 后者的平动动能称为轨道动能。,容器运动停止后轨道动能转化为各自由度的热运动动能,求微分，得,3.4 麦克斯韦速率分布律,一、速率分布：,N1,每个速率间隔的分子百分数 与 vi 和 vi 有关。,(v, v+dv) 间隔内的分子百分数 与 v 和 dv 有关，,表示成,概率意义：一个分子, 其速率处于 (v, v+dv) 内的概率。,N2,N3,Ni,Ni+1,所有速率区间的分子数占总分子数比例的总和；一个分子，其速率处于区间 (0, ) 的概率。, 归一化条件：,二、麦克斯韦速率分布律：,v 是随机自变量，m 和 T 改变曲线的高矮胖瘦。,几何意义：,2. 曲线下面面积,v (m/s),f (v) (s/m),v,v+dv,1. 阴影面积,令 则,（理论结果）,三、3 个特征速率：,1. 最概然速率 (最可几速率)：使 f (v) 取极大值的速率,由 得,2. 平均速率：由 得,3. 方均根速率：由 得,v (m/s),f (v) (s/m),f (v) (s/m),v (m/s),T = 300K,H2,He,H2,T = 300K,T = 100K,说明,1.,3. 三者有不同用途：用 vr m s 计算分子平均平动动能， 用 计算分子运动距离，用 vp 讨论分子速率分布。,2. 对于同种气体，同样温度，,四、实验验证：密勒-库什法,通过狭缝的 最小速率,最大速率,调整 ， 即可对应不同的 v 和 v；探测强度对应 f (v)v，这样就验证了麦克斯韦速率分布。,解：(1),vF,(2) 由归一化条件,得 ，即,(3) vp = vF,例2 300K 时空气中速率在 (1) vp； (2) 10vp 附近单位速率区间的分子