分式运算的几种技巧

精品文档 1欢迎下载 分式运算的几种技巧分式运算的几种技巧 分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算 但对某些较复杂的题目 使用一般方法有 时计算量太大 导致出错 有时甚至算不出来 下面列举几例介绍分式运算的几点技巧 一 一 整体通分法整体通分法 例 1 计算 2 1 1 a a a 分析 本题是一个分式与整式的加减运算 如能把 a 1 看作一个整体 并提取 后在通分会使运 算更加简便 通常我们把整式看作分母是 1 的分式 解 2222 1 1 1 1 1 1 1 111111 aaaaaaaa aa aaaaaa 二 二 先约分后通分法先约分后通分法 例 2 计算 2 22 12 324 xxx xxx 分析 直接通分 极其繁琐 不过 各个分式并非最简分式 有化简的余地 显然 化简后再通分计算会方便 许多 解 原式 2 1 1 xx x 2 2 2 xx xx 2 1 x2 x x 2 1 x x 三 三 分组加减法分组加减法 例 3 计算 2 1 a1 2 a1 2 a2 1 a 分析 本题项数较多 分母不相同 因此 在进行加减时 可考虑分组 分组的原则是使各组运算后的结果能出 现分子为常数 相同或倍数关系 这样才能使运算简便 解 原式 2 1 a2 1 a1 2 a1 2 a 4 4 2 a1 4 2 a 1 4 12 22 aa 四 四 分离整数法分离整数法 例 4 计算 3x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x 方法 当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时 一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分 在 解某些分式方程中 也可使用分裂整数法 解 原式 1 1 2 1 4 1 3 1 1243 xxxx xxxx 1111 1 1 1 1 1243 xxxx 1111 1243 xxxx 精品文档 2欢迎下载 五 五 逐项通分法逐项通分法 例 5 计算 44 3 22 xa x4 xa x2 xa 1 xa 1 分析 若一次通分 计算量太大 注意到相邻分母之间 依次通分构成平方差公式 采用分段分步法 则可使 问题简单化 同类方法练习题 计算 1x 2 1x 1 1x 1 2 1x 8 1x 4 84 六 六 裂项相消法裂项相消法 例 6 计算 1111 1 1 2 2 3 9 10 a aaaaaaa 分析 本题的 10 个分式相加 无法通分 而式子的特点是 每个分式的分母都是两个连续整数的积每个分式的分母都是两个连续整数的积 若 a 是整数 联想到 这样可抵消一些项 111 1 1 a aaa 解 原式 11111111 11223910aaaaaaaa 1110 10 10 aaa a 七 七 整体代入法整体代入法 例 7 已知 1 x 1 y 5 求 252 2 xxyy xxyy 的值 解法 1 1 x 1 y 5 xy 0 所以 252 2 xxyy xxyy 22 5 11 2 yx yx 11 2 5 11 2 xy xy 2 55 52 5 7 解法 2 由 1 x 1 y 5 得 xy xy 5 x y 5xy 252 2 xxyy xxyy 2 5 2 xyxy xyxy 2 55 52 xyxy xyxy 5 7 xy xy 5 7 练习 若 5 求的值 11 xy 353 3 xxyy xxyy 八 八 公式变形法公式变形法 例 8 已知 a2 5a 1 0 计算 a4 4 1 a 精品文档 3欢迎下载 解 由已知条件可得 a 0 a 1 a 5 a4 4 1 a a2 2 1 a 2 2 a 1 a 2 2 2 2 52 2 2 2 527 练习 1 已知 x2 3x 1 0 求 x2 的值 2 1 x 九 九 设中间参数法设中间参数法 例 9 已知 bc a ac b ab c 计算 ab bc ca abc 解 设 bc a ac b ab c k 则 b c ak a c bk a b ck 把这 3 个等式相加得 2 a b c a b c k 若 a b c 0 a b c 则 k 1 若 a b c 0 则 k 2 ab bc ca abc ak bk ck abc k3 当 k 1 时 原式 1 当 k 2 时 原式 8 练习 1 已知实数 x y 满足 x y 1 2 则 yx yx3 2 已知 则 6 z 5 y 4 x z3 z4y3x2 十 先取倒数后拆项法 尤其分子单项 分母多项 十 先取倒数后拆项法 尤其分子单项 分母多项 例 10 已知 2 1 a aa 7 求 2 42 1 a aa 的值 解 由条件知 a 0 2 1aa a 1 7 即 a 1 a 8 7 42 2 1aa a a2 2 1 a 1 a 1 a 2 1 15 49 2 42 1 a aa 49 15 练习 已知 a 5 则 1 a 2 42 1 a aa 十一 十一 特殊值法特殊值法 选填题选填题 例 11 已知 abc 1 则 1 a aba 1 b bcb 1 c cac 分析 由已知条件无法求出 a b c 的值 可根据已知条件取字母的一组特殊值 然后代入求值 解 令 a 1 b 1 c 1 则 原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 说明 在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值 可准确 迅速地求出结果 精品文档 4欢迎下载 练习 1 已知 xyz 0 x y z 0 计算 yz x xz y xy z 2 已知 则 6 z 5 y 4 x z3 z4y3x2 十二 十二 主元法主元法 例 12 已知 xyz 0 且 3x 4y z 0 2x y 8z 0 求的值 222 2 xyz xyyzzx 解 将 z 看作已知数 把 3x 4y z 0 与 2x y 8z 0 联立 得 3x 4y z 0 2x y 8z 0 解得 x 3z y 2z 所以 原式 222 3 2 3 2 2 2 3 zzz zzzzzz 2 2 14 1 14 z z 练习 已知 3a 4b c 0 2a b 8c 0 计算 222 abc abbcac 混合运算练习题 1 2 3 x 1 222222 3223 xy yx yx yx yx yx 1 1 1 1 3 2 2 a a a a 2 1 x x 4 5 6 3 a a 2 6 3 a aa 3 axy y yx x yx xy 22 2 2 9 3 26 1 62 3 xxx 7 8 9 xy yx yxyx 22 11 a a a a a a4 22 2 2 32 224 xxx xxx 10 11 12 2 1x 3x 1 1x 1x2x 2 2 2 5 2 2 3 x x x x ab ba 22 ba ba 22 13 14 2 2 321 113 xxxx xxx xx x xx x xx x 4 16 44 1 2 2 2 2 22 15 计算 并求当时原式的值 x x xx x xx x 4 44 1 2 2 22 3 x 错题警示 精品文档 5欢迎下载 一 一 错用分式的基本性质错用分式的基本性质 例 1 化简 错解 原式 分析 分式的基本性质是 分式的分子与分母都乘以 或除以 同一个不等于零的整式 分式的值不变 而此题分子乘以 3 分母乘以 2 违反了分式的基本性质 正解 原式正解 原式 二 二 错在颠倒运算顺序错在颠倒运算顺序 例例 2 2 计算 错解 原式 分析 乘除是同一级运算 除在前应先做除 上述错解颠倒了运算顺序 致使结果出现错误 正解 原式 三 错在约分三 错在约分 例 1 当为何值时 分式有意义 错解 原式 由得 时 分式有意义 解析 上述解法错在约分这一步 由于约去了分子 分母的公因式 扩大了未知数的取值范围 而 导致错误 正解 由得且 当且 分式有意义 精品文档 6欢迎下载 四 错在以偏概全四 错在以偏概全 例 2 为何值时 分式有意义 错解 当 得 当 原分式有意义 解析 上述解法中只考虑的分母 没有注意整个分母 犯了以偏概全的错误 正解 得 由 得 当且时 原分式有意义 五 错在计算去分母五 错在计算去分母 例 3 计算 错解 原式 解析 上述解法把分式通分与解方程混淆了 分式计算是等值代换 不能去分母 正解 原式 六 错在只考虑分子没有顾及分母六 错在只考虑分子没有顾及分母 例 4 当为何值时 分式的值为零 错解 由 得 当或时 原分式的值为零 解析 当时 分式的分母 分式无意义 谈不上有值存在 出错的原因是忽视了分母 不能为零的条件 精品文档 7欢迎下载 正解 由 得 由 得且 当时 原分式的值为零 七 错在七 错在 且且 与与 或或 的用法的用法 例 7 为何值时 分式有意义 错解 要使分式有意义 须满足 即 由得 或由得 当或时原分式有意义 分析 上述解法由得或是错误的 因为与中的一个 式子成立并不能保证一定成立 只有与同时成立 才能保证 一定成立 故本题的正确答案是且 八 错在忽视特殊情况八 错在忽视特殊情况 例 8 解关于