2014-2015学年高二数学同步课件：第2章§11.1《椭圆及其标准方程》（北师大版选修1-1）

第二章圆锥曲线与方程 1椭圆1 1椭圆及其标准方程 一 椭圆的定义1 定义 平面内到两个定点F1 F2的距离之和等于 大于 F1F2 的点的集合 2 焦点 两个定点F1 F2 3 焦距 F1F2 4 符号语言 MF1 MF2 2a 常数 且2a F1F2 常数 思考 1 椭圆的定义中为什么要强调 平面内 这一条件呢 2 根据椭圆定义 椭圆上的点应满足什么条件 提示 1 若将 平面内 这一条件去掉 其余条件不变 则点的集合是空间图形 就不是平面图形 2 由定义易知 椭圆上的点应到两定点的距离之和是常数 且常数大于 F1F2 二 椭圆的标准方程 c 0 0 c a2 b2 c2 判断 正确的打 错误的打 1 椭圆标准方程中 标准 的条件是椭圆的焦点在坐标轴上 且两焦点关于原点对称 2 椭圆的特殊形式是圆 这时焦点重合 3 椭圆的两种标准方程中 虽然焦点位置不同 但都具备a2 b2 c2 提示 1 正确 标准 的含义是其焦点在坐标轴上 且关于原点对称 2 错误 椭圆与圆是不同的概念 没有特殊情况 3 正确 无论在哪种标准方程中 一定都有a2 b2 c2 答案 1 2 3 知识点拨 1 对椭圆定义的理解椭圆的定义揭示了椭圆的本质 定义是判断动点轨迹是否是椭圆的重要依据 设集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a c均为大于0的常数 当2a 2c时 集合P为椭圆 当2a 2c时 集合P为线段F1F2 当2a 2c时 集合P为空集 即动点M不存在 2 椭圆定义的双向运用 1 若 MF1 MF2 2a 2a F1F2 则动点M的集合是椭圆 2 若动点M在椭圆上 则 MF1 MF2 2a 3 椭圆的标准方程的特点 1 标准方程中的两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小 是椭圆的定形条件 2 椭圆的标准方程中 a b c三者之间a最大 b c大小不确定 且满足a2 b2 c2 3 两种形式的标准方程具有共同的特征 方程右边为1 左边是两个非负分式的和 并且分母为不相等的正值 当椭圆焦点在x轴上时 含x项的分母大 当椭圆焦点在y轴上时 含y项的分母大 已知椭圆的方程解题时 应特别注意a b 0这个条件 4 椭圆标准方程的一般形式及适用条件椭圆标准方程可用下面一般形式表示为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 在不知道焦点位置时 可利用该一般形式 根据其他条件确定系数 类型一椭圆的定义及其应用 典型例题 1 椭圆上一点P到一个焦点的距离为5 则P到另一个焦点的距离为 2 直线AB过椭圆的左焦点F1 交椭圆于A B两点 则 ABF2的周长是 3 如图所示 点P是椭圆上的一点 F1和F2是焦点 且 F1PF2 30 求 PF1F2的面积 解题探究 1 求椭圆上点到焦点距离的依据是什么 2 给定椭圆方程 如何求2a的值呢 3 什么是焦点三角形 求焦点三角形面积的一般思路是什么 探究提示 1 依据是椭圆定义中 MF1 MF2 2a 常数 已知M到一个焦点的距离 由上式即可确定M到另一焦点的距离 2 根据给定椭圆方程可知a2的值 题1 可知a2 25 x2的分母大于y2的分母 故2a 10 3 1 两焦点与椭圆上的点构成的三角形 如图所示 PF1F2称为椭圆的焦点三角形 2 求时 可利用 PF1 PF2 2a 变形为 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 2 2 PF1 PF2 再结合余弦定理 面积公式即可解决 解析 1 由椭圆方程知 a 5 设椭圆的两个焦点分别为F1 F2 令 PF1 5 由椭圆的定义知 PF1 PF2 10 所以 PF2 5 答案 5 2 如图所示 由已知a 3 AF1 AF2 BF1 BF2 2a 6 所以 ABF2的周长为 AF1 BF1 AF2 BF2 4a 12 答案 12 3 在椭圆中 b 2 又 点P在椭圆上 由余弦定理知 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos30 F1F2 2 2c 2 4 式 两边平方得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 20 式 得 拓展提升 1 给定椭圆标准方程确定a b的方法 1 看结构 在给定的椭圆标准方程 m n 中 观察m2与n2的大小 2 定结论 m2与n2中 大者即为a2 小者为b2 从而确定a b的值 2 求椭圆中焦点三角形面积的方法椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1 F2构成的 PF1F2 称为焦点三角形 已知 F1PF2 及2a的值 求的具体步骤如下 1 将 PF1 PF2 2a 两边平方得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 4a2 2 在 PF1F2中 由余弦定理知 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos F1F2 2 4c2 3 得 PF1 PF2 1 cos 2b2 变式训练 已知 ABC的顶点B C在椭圆上 顶点A是椭圆的一个焦点 且椭圆的另外一个焦点在BC边上 则 ABC的周长是 解析 设A为椭圆左焦点 而BC边过右焦点F 如图 可知 AB BF 2a CA CF 2a 两式相加得 AB BF CA CF AB CA BC 4a 而椭圆标准方程为 因此a 2 故4a 8 答案 8 类型二求椭圆的标准方程 典型例题 1 F1 1 0 F2 1 0 是椭圆的两焦点 过F1的直线l交椭圆于M N 若 MF2N的周长为8 则椭圆方程为 A B C D 2 求中心在原点 焦点在坐标轴上 且经过两点的椭圆的标准方程 解题探究 1 求椭圆标准方程的关键是什么 一般要注意什么问题 2 当焦点位置不明确时 如何求椭圆的标准方程 探究提示 1 求椭圆标准方程关键是根据题意求得a b的值 这时必须注意a2 b2 c2的应用 另外还要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上 想当然地认为焦点在x轴上 有时会出现错误结果 2 当焦点所在坐标轴并不明确时 这时往往分焦点在x轴和y轴上两种情况求解 但运算量较大且过程烦琐 因此可将方程设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 结合已知条件 可求标准方程 解析 1 选A 由题意 4a 8 a 2 F1 1 0 F2 1 0 是椭圆的两焦点 c 1 b2 3 椭圆方程为 2 方法一 两点在椭圆上 当椭圆的焦点在x轴上时 设它的标准方程为依题意有解得 因为a b 所以方程组无解 当椭圆的焦点在y轴上时 设它的标准方程为 依题意有故椭圆的方程为所求椭圆的标准方程为 解得 方法二 两点在椭圆上 设所求椭圆的方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n m 5 解得n 4 所求椭圆的方程为5x2 4y2 1 即 互动探究 将题2中的 两点 改为 0 2 3 0 求标准方程 解题指南 已知两点坐标 代入一般形式mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 求解 解析 设椭圆方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 把 0 2 3 0 代入方程得4n 1 9m 1 故所求方程为 拓展提升 1 确定椭圆标准方程的两个准则 2 求椭圆标准方程的两种方法 1 定义法 定义是研究椭圆问题的基础和根本 根据椭圆的定义得到相应的a b c 再写出椭圆的标准方程 2 待定系数法 具体步骤如下 变式训练 ABC中 已知B C坐标分别为 3 0 3 0 且 ABC的周长为16 则顶点A的轨迹方程为 解析 由题意可得 AB AC 10 BC 故顶点A的轨迹是以B C为焦点的椭圆 除去与x轴的交点 2a 10 c 3 b 4 所以顶点A的轨迹方程为答案 类型三求参数范围 典型例题 1 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆 则m的取值范围为 2 当3 k 9时 指出方程表示的曲线 解题探究 1 已知椭圆标准方程为其中隐含什么条件 2 给定含参方程 求参数范围的关键是什么 探究提示 1 首先要注意m 0 n 0且m n 其次如果焦点在x轴上 应有m n 如果焦点在y轴上 应有m n 2 求参数范围的关键有两点 1 定形式 将含参方程转化为的形式 2 定关系 结合焦点所在位置可得m n的不等关系 解不等式 组 即可求得参数的范围 解析 答案 1 1 由题意得 即 1 m 2 30 k 3 0 1 当9 k k 3 即3 k 6时 方程表示焦点在x轴上的椭圆 2 当9 k k 3 即k 6时 方程表示圆x2 y2 3 3 当9 k k 3 即6 k 9时 方程表示焦点在y轴上的椭圆 互动探究 若把题1中方程改为其余条件不变 求m的取值范围 m 1 0 2 m 0 2 m m 1 m 1 m 2 解析 由题意得 当m 0时 m 1 m 2 2 m m 1 当m 0时 m 1 m的取值范围是 拓展提升 判断方程Ax2 By2 1 A 0 B 0 为何种曲线的方法 1 当A 0或B 0时 若A2 B2 0 则方程无意义 若A2 B2 0 则方程表示直线 2 当A 0 B 0时 将方程化为 时 方程表示圆 时 方程表示椭圆 变式训练 方程x2sin y2cos 1 0 表示焦点在y轴上的椭圆 则 的取值范围为 解题指南 先将方程转化为标准形式 然后根据焦点在y轴上的方程的特点 得到关于 的关系式 求出 的范围 解析 方程x2sin y2cos 1表示椭圆 又 焦点在y轴上 即tan 1 又 0 答案 tan 1 易错误区 忽视椭圆标准方程的结构特征致误 典例 2 k 5 是 方程 表示的曲线是椭圆的 条件 解析 由方程表示的曲线是椭圆 k 2 0 5 k 0 k 2 5 k 又 2 k 5 且而2 k 52 k 5且 可得 解得2 k 5 且k 所以 2 k 5 是 方程 表示椭圆的必要不充分条件 答案 必要不充分 误区警示 防范措施 1 条件的应用必须明确形如方程表示椭圆 圆的条件 在本题中 方程表示椭圆 首先应满足A B 其次应有A 0 B 0 事实上 当A B时 方程表示的曲线为圆而非椭圆 本例中椭圆条件应为 2 充要条件的判断对于范围形式的充要关系的判断 要从集合的角度理解 小范围 是 大范围 的充分不必要条件 大范围 是 小范围 的必要不充分条件 切勿想当然地下结论 如本例中2 k 5 且是小范围 2 k 5是大范围 类题试解 9 m 25 是 方程表示焦点在y轴上的椭圆 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 25 m 0 m 9 0 m 9 25 m 又 8 m 25 9 m 25 而 9 m 258 m 25 所以 9 m 25 是 方程表示焦点在y轴上的椭圆 的必要不充分条件 解得8 m 25 解析 选B 依题意有 1 设P是椭圆上的点 若F1 F2是椭圆的两个焦点 则 PF1 PF2 等于 A 4B 5C 8D 10 解析 选D 由椭圆定义知 PF1 PF2 2a 又 知a2 25 2a 10 2 若椭圆的两焦点为 2 0 2 0 且该椭圆过点则该椭圆的标准方程为 A B C D 解析 选D 由题意知 椭圆焦点在x轴上且c 2 可设标准方程为且a2 b2 c2 4 又点在椭圆上 联立 得得a2 10 b2 6 故椭圆标准方程为 3 设F1 F2是椭圆的焦点 P为椭圆上一点 则 PF1F2的周长为 A 16B 18C 20D 不确定 解析 选B 根据椭圆的定义可知 PF1 PF2 2a 10 又 F1F2 2c 8 所以 PF1F2的周长为 PF1 PF2 F1F2 18 4 过点 2 3 且与椭圆9x2 4y2 36有相同的焦点的椭圆的标准方程是 解析 9