chapter1 绪论及复变函数lixh

数学物理方法 李晓红西南科技大学理学院2020 4 5 绪论 什么是数学物理方法 Methodsofmathematicalphysics 物理问题 数学问题 解 解的物理意义 数学物理主要分支 数学物理 偏微分方程1750s 1930s 力学热力学电磁学 泛函分析 原子物理量子力学 群论拓扑 相对论量子场论 遍历论概率论 统计物理 本课程主要内容 数学物理方法 复变函数 数学物理方程 复变函数微积分复变函数级数Laplace Fourier变换 三大方程建立及求解波动 双曲输运 抛物Laplace 椭圆 二阶线性偏微分方程 预备知识 参考书目 数学物理方法 胡嗣柱 倪光炯 复旦大学 数学物理方法 梁昆淼 南京大学 数学物理方法 吴崇试 北京大学 Bibliography MethodsofModernMathematicalPhysics MichaelReedandBarrySimonI FunctionalAnalysis Volume1II FourierAnalysis Self Adjointness Volume2 学习方法 课程特点 难度大 内容繁杂学习建议 多总结 多练习 多应用 课程考核 平时出勤10 作业20 期末考试70 第一章复数与复变函数 第一节复数及运算第二节区域与边界第三节初等复变函数第四节复变函数的多值性 第一节复数及运算 复数的概念 复数相等 复数 形如z x iy的数被称为复数 其中x y R x Rez y Imz分别为z的实部和虚部 i为虚数单位 其意义为i2 1 z1 z2当且仅当Rez1 Rez2且Imz1 Imz1 复数相等 复平面 复数与平面向量一一对应 模 幅角 复数不能比较大小 P 复数的三种表示 代数表示 z x iy 三角表示 z r cos isin 指数表示 z rexp i 注意 在三角表示和指数表示下 两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2k 零点与无穷远点 1 复数零的幅角无意义 模为0 2 无穷远点的模为 幅角没有意义 无穷远点的定义需要借助测地投影法 无穷远点 复球面 关于无穷远点 我们规定其实部 虚部 辐角无意义 模等于 它和有限复数的基本运算为 这些运算无意义 无穷远点运算 复数的运算 设z1 x1 iy1和z2 x2 iy2是两个复数 复数加减法满足平行四边形法则 或三角形法则 乘法及乘方运算 两个复数相乘等于它们的模相乘 幅角相加 除法运算 两个复数相除等于它们的模相除 幅角相减 根式运算 对 共轭运算 复数z x iy的共轭复数为z x iy 共轭复数为z 是复数z关于实轴的对称点 课堂练习 答案 答案 答案 小结 复数的基本概念复数的表示无穷远点复数的基本运算 第二节区域与边界 区域的概念 邻域 平面上以z0为中心 为半径的圆的内部的点所组成的集合 称为z0的 邻域 z z0 0 z z0 开集 设G为一平面点集 z0为G中任意一点 如果存在z0的一个邻域 使该邻域的所有点都属于G 那么称z0为G的内点 如果G内的每一个点都是它的内点 那么称G为开集 区域 平面点集D称为一个区域 如果它满足下列两个条件 1 D是开集 2 D是连通的 边界 设D为复平面上的一个区域 如果点p不属于D 但是在p的任何邻域内都包含有D中的点 这样的点p称为D的边界点 D的边界点之全体称为D的边界 一般用 D来表示 边界有正负方向之分 闭区域 区域D连同它的边界 D一起构成闭区域 记为 1 单连通域与多连通域 设B为复平面上的一个区域 如果在其中作一条简单的闭曲线 自身不相交的闭合曲线 而曲线内部总属于B 则称B为单连通区域 否则称为多连通区域 单连通域 多连通域 举例 用复数表示的平面点集 小结 领域 开集 区域 边界 闭区域单连通域与多连通域 第三节初等复变函数 复变函数之定义 设G是一个复数z x iy的集合 如果有一个确定的法则存在 按照这一法则 对于集合G中的每一个复数z 有一个或多个复数 u iv与之对应 那么称复变数 是复变数z的函数 或复变函数 记为 f z 说明1 如果z的一个值对应着 的唯一一个值 那么我们称f z 是单值的 如果z的一个值对应着多个 的值 那么我们称f z 是多值函数 复变函数 f z 可以写成 u x y iv x y 其中是z x iy z平面 平面 iz zexp i 2 复变函数举例 基本初等函数 指数函数 性质 举例 求z平面上带形区域 Rez 0 Imz 经 ez变换后在 平面上的图形 注意 复数指数函数与实数指数函数的比较 如何由指数函数定义对数函数 对数函数 性质1 性质2 恒等式 下列式子不成立 举例 计算Ln2 Ln 1 Ln i Ln 1 i 三角函数 性质 周期性 恒等式 非有界函数 注意当我们讨论的范围是复变函数范畴内时 sinz 和 cosz 完全可以大于1 原因是 举例 求解sinz 0的全部根 注意周期性 2 求解sinz 2的全部根 只需加号 反三角函数 只需加号 幂函数 思考 如何取值可使幂函数成为单值 有限多值及无穷多值函数 根式函数 对 双曲函数 性质 1 以2 i为周期 2 与正弦函数 余弦函数的关系 3 恒等式 反双曲函数 课堂练习 计算 答案 答案 或 答案 小结 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 幂函数 根式函数 第四节复变函数的多值性 举例1 多值性 来源于复数复角的不确定性 支点 对于某一多值函数w而言 若自变量z在复平面上沿包围点a的任意闭合曲线环绕一周回到原处时 对应的函数值w发生了改变 则a称为多值函数的支点 阶数 当z绕支点n周回到原处 多值函数恢复原值 则说支点是n 1阶 阶数有限的支点叫代数支点 阶数无穷的支点叫超越支点 性质 多值函数的支点必是奇点 单值分支 单叶区域 扩大定义域 Riemann面 举例2 设 规定 2 1 讨论z沿C1或C2连续变化到原点时 函数 0 的值 当z沿