多维信号处理(第三章)

多维数字信号处理 主讲 陈绵书 2020 4 5 图像与视频处理实验室 2 第三章二维有限区域冲激响应 FIR 滤波器的设计和实现 问题一维情况下 滤波器的设计和实现是两个无关问题 首先设计滤波器 然后按照实现某一特定网络结构 确定实现系数 二维情况下 滤波器的设计和实现相互关联 某一实现方法 只适用于特定形式的滤波器传递函数 限制的滤波器的设计 2020 4 5 图像与视频处理实验室 3 3 1有限区域冲激响应 FIR 滤波器 有限区域冲激响应 FIR 滤波器非递归 冲激响应有限 绝对可和 稳定 可以设计成具有纯实的频率响应 是零相位滤波器 频域表示空域表示优点 不会引起线条和边沿失真 简化设计与实现 无限区域冲激响应 IIR 滤波器递归 冲激响应无限 由有限阶差分方程描述 不能保证稳定性 易实现 2020 4 5 图像与视频处理实验室 4 3 2FIR滤波器的实现 3 2 1直接卷积法线性移不变滤波器的输出为若滤波器的支撑区为则输出为算法复杂度乘法 加法 2020 4 5 图像与视频处理实验室 5 3 2FIR滤波器的实现 续1 零相位滤波器 支撑区是矩形 中心在原点 2020 4 5 图像与视频处理实验室 6 3 2FIR滤波器的实现 续2 3 2 2FIR滤波器的离散傅里叶变换实现法令是有限区域序列和滤波器冲激响应的卷积则有若DFT支撑区包含的支撑区 则可以用DFT来实现卷积在的矩形抽样网格上对进行抽样令则 2020 4 5 图像与视频处理实验室 7 3 2FIR滤波器的实现 续3 优点 可以使用DFT的快速算法缺点 需要大存储量算法复杂度若采用行列分解法 考虑和是实数 当和是2的幂时 总的乘法次数是如果的支撑区是的矩形 则每个输出抽样所需的乘法次数是 2020 4 5 图像与视频处理实验室 8 3 2FIR滤波器的实现 续4 实现方法对比直接卷积法复杂性与滤波器的阶次成正比 存储需求相对较小 DFT变换法复杂性和滤波器的阶次无关 存储需求较大 折中方法将数据分块再用DFT变换法完成 能限制所需的存储量 同时保持运算效率 2020 4 5 图像与视频处理实验室 9 3 2FIR滤波器的实现 续5 3 2 3块卷积法把二维阵列分成许多点的块 每一块用下标来标记 2020 4 5 图像与视频处理实验室 10 3 2FIR滤波器的实现 续6 其中块输出是与的块的卷积该种方法称为重叠相加法 2020 4 5 图像与视频处理实验室 11 3 2FIR滤波器的实现 续7 重叠保留法当块的尺寸比滤波器的支撑区大得多时 则在每一块中心上的抽样与相邻各块的抽样是不重叠的 当一个序列与另一个支撑区小得多的序列相循环卷积时 循环卷积结果中只有抽样的一个子集表示空间混叠效应 如果的点的一块与点的冲激响应相卷积 当采用点DFT时所得到的循环卷积在包含个抽样的一块中将与线性卷积相同 2020 4 5 图像与视频处理实验室 12 3 2FIR滤波器的实现 续8 2020 4 5 图像与视频处理实验室 13 3 3利用窗口法设计FIR滤波器 3 3 1窗口法的描述是空域方法 逼近理想的冲激响应 令和表示理想滤波器的冲激响应和频率响应 令和表示算法所设计出的滤波器的冲激响应和频率响应 的支撑区被限制在某个有限区域内 采用窗口法 则其中为窗函数或窗阵列 的支撑区限制在内 则的支撑区也限制在之内 2020 4 5 图像与视频处理实验室 14 3 3利用窗口法 滤波器 续1 频域窗口其中是窗阵列的傅里叶变换 频率响应是理想频率响应的平滑后的模本 而平滑函数是窗阵列的傅里叶变换 2020 4 5 图像与视频处理实验室 15 3 3利用窗口法 滤波器 续2 3 3 2窗函数的选择选择条件支撑区必须是应逼近一个二维冲激函数窗函数满足零相位关系选择方法用两个一维窗口的外积形成一个方形或矩形支撑区的二维窗 2020 4 5 图像与视频处理实验室 16 3 3利用窗口法 滤波器 续3 把一维连续窗函数圆周旋转再加以抽样而形成二维窗 其有近似于圆的支撑区 如果 和是一个好的一维窗 则和也将是好的二维窗 满足选择条件 2020 4 5 图像与视频处理实验室 17 3 3利用窗口法 滤波器 续4 矩形窗Hanning窗Kaiser窗其中是修正的第一类零阶贝塞尔函数 2020 4 5 图像与视频处理实验室 18 3 3利用窗口法 滤波器 续5 表示低频主瓣宽度 表示最高旁瓣高度 这个量越小 窗越好 设计滤波器和理想滤波器更加逼近 2020 4 5 图像与视频处理实验室 19 3 3利用窗口法 滤波器 续6 3 3 3设计举例例 设计一个点的FIR滤波器以逼近以下频响解 由于理想频响是纯实的 所以设计出的应该是零相位滤波器 表明原点应该是区域的对称中心 2020 4 5 图像与视频处理实验室 20 3 3利用窗口法 滤波器 续7 根据Kaiser窗进行设计 计算的傅里叶反变换 得理想冲激响应其中是第一类一阶贝塞尔函数 2020 4 5 图像与视频处理实验室 21 3 3利用窗口法 滤波器 续8 2020 4 5 图像与视频处理实验室 22 3 3利用窗口法 滤波器 续9 2020 4 5 图像与视频处理实验室 23 3 3利用窗口法 滤波器 续10 设计的滤波器分别为滤波器性能 最大通带误差0 2914 最大阻带误差0 1341最大通带误差0 1468 最大阻带误差0 1105 2020 4 5 图像与视频处理实验室 24 3 3利用窗口法 滤波器 续11 设计滤波器与理想滤波器比较1 通带和阻带的频率响应不平坦 原因 窗的傅里叶变换的旁瓣所造成 2 滤波器的截止特性不尖锐 原因 傅里叶变换的主瓣有一定的宽度造成的 解决办法改变Kaiser窗的窗参量 使截止特性的锐度与通带和阻带频率响应的平坦度之间得到折中 2020 4 5 图像与视频处理实验室 25 3 3利用窗口法 滤波器 续12 设计滤波器性能评价评价指标1 表示通带最大偏差 2 表示阻带最大偏差 3 表示通带的截止频率 4 表示阻带的截止频率 要求 越小越好 2020 4 5 图像与视频处理实验室 26 3 3利用窗口法 滤波器 续13 滤波器复杂性度量可以用滤波阶次N来度量滤波器阶次N的计算方法外积窗旋转窗 2020 4 5 图像与视频处理实验室 27 3 3利用窗口法 滤波器 续14 窗参量的确定根据滤波器的衰减来确定衰减ATT定义为外积窗旋转窗旋转窗优点 有更少的非零抽样 节省计算量 2020 4 5 图像与视频处理实验室 28 3 3利用窗口法 滤波器 续15 3 3 4图像处理的例子以McClellan提出的图像增强方法为例 目的 利用窗口法来减少数据处理过程中产生的假象 方法 方根法的一种变形 方根法是对图像傅里叶变换的幅度取次幂而可保持其相位不变的方法 原理 使傅里叶变换幅度的动态范围减小 使得低能量区相对于高能量区有所增强 增强图像的细节 问题 出现假象 使图像质量下降 2020 4 5 图像与视频处理实验室 29 3 3利用窗口法 滤波器 续16 2020 4 5 图像与视频处理实验室 30 3 3利用窗口法 滤波器 续17 方根法可以看作是对原信号用一个滤波器滤波滤波结果为 2020 4 5 图像与视频处理实验室 31 3 3利用窗口法 滤波器 续18 问题 由于在频域中采用抽样傅里叶变换实现 因而卷积是循环卷积 从而造成干扰 解决 采用一个窗保证具有有限的支撑区 步骤 1 对采用DFT求滤波器频率响应 2 求反变换以产生序列3 乘以一个窗函数以产生有限区域序列4 和卷积滤波 2020 4 5 图像与视频处理实验室 32 3 3利用窗口法 滤波器 续19 2020 4 5 图像与视频处理实验室 33 3 5特殊实现法FIR滤波器设计 3 5 1级联FIR滤波器对于长度为的一维因果FIR滤波器 其频率响应为其是的次多项式 可以进行因式分解 不失一般性 其可以表示为其中和是的次数小于的多项式 上式表示为两个FIR滤波器的级联 如果长度为 则长度为 2020 4 5 图像与视频处理实验室 34 3 5特殊实现法FIR滤波器 续1 算法复杂度比较 1 直接实现每个输出抽样总共需要次乘法 2 级联实现每个输出抽样需要次乘法 2020 4 5 图像与视频处理实验室 35 3 5特殊实现法FIR滤波器 续2 二维FIR频率响应如果是一个点阵 则是一个点阵算法复杂度1 直接实现每个输出抽样需要次乘法 2 级联实现每个输出抽样需要次乘法 2020 4 5 图像与视频处理实验室 36 3 5特殊实现法FIR滤波器 续3 局限性级联滤波器频率响应只有个自由度 任一个的频率响应由个自由度 因而任意的频率响应是不能因式分解的 可因式分解的多维多项式实际上表示一种退化的特殊情况 可级联滤波器设计滤波器频率响应必须具有因式分解形式其中是因式分解级联滤波器的标号 是对应第个级联滤波器的系数 2020 4 5 图像与视频处理实验室 37 3 5特殊实现法FIR滤波器 续4 滤波器系数的求取选择滤波器系数以使某一误差泛函为最小 如其中是设计滤波器的频响求解方法 迭代法 2020 4 5 图像与视频处理实验室 38 3 5特殊实现法FIR滤波器 续5 3 5 2并联FIR滤波器形式任一冲激响应都可以分解为这样的并联 意义可以对和加以限制 使其成为可分滤波器 可能节省计算量 用容易实现的滤波器逼近不可分的传递函数 2020 4 5 图像与视频处理实验室 39 3 5特殊实现法FIR滤波器 续6 可分滤波器其冲激响应可作因式分解 频率响应是两个一维频率响应的外积 其实现方法是 把输入的每一行与相卷积 然后把所得到的阵列的每一列与相卷积 算法复杂度 可分滤波器需要次运算 不可分时需要次运算 2020 4 5 图像与视频处理实验室 40 3 5特殊实现法FIR滤波器 续7 可分滤波器的并联 2020 4 5 图像与视频处理实验室 41 3 5特殊实现法FIR滤波器 续8 其频率响应为其中表示可分滤波器的数目 算法复杂度 可分滤波器的并联需要次运算 不可分时需要次运算 如果 则节约计算量 2020 4 5 图像与视频处理实验室 42 3 5特殊实现法FIR滤波器 续9 级联滤波器的求取设 且的各列是线性独立的 则其中是以下矩阵的特征值 正实数 是与对应的归一化行特征矢量 2020 4 5 图像与视频处理实验室 43 3 5特殊实现法FIR滤波器 续10 是与对应的归一化列特征矢量阵列为点 它有个特征值 阵列为点 它有个特征值 其中只有个不为零 非零特征值等于的特征值 2020 4 5 图像与视频处理实验室 44 3 5特殊实现法FIR滤波器 续11 将特征值按大小递减的次序列为则最大 且如果是各元素的平方和表示误差阵列各元素的平方和则用级逼近响应的归一化误差为应用 主元素分析PCA 2020 4 5 图像与视频处理实验室 45 3 5特殊实现法FIR滤波器 续12 例 研究下式给出的理想二维冲激响应 解 冲激响应写成矩阵形式为相应的矩阵和矩阵为 2020 4 5 图像与视频处理实验室 46 3 5特殊实现法FIR滤波器 续13 求取方程的特征值 或求得 行特征矢量和列特征矢量满足以下关系 求得特征矢量 并归一化得 2020 4 5 图像与视频处理实验室 47 3 5特殊实现法FIR滤波器 续14 则用逼近 可得它的归一化误差为如果加上 则可以精确实现理想响应 2020 4 5 图像与视频处理实验室 48 3 5特殊实现法FIR滤波器 续15 3 5 3变换法FIR滤波器设计通过变量代换 可以把一个一维零相位FIR滤波器变换成多维的 利用一维最佳滤波器有可能设计出最佳多维滤波器 其具有有效的实现方法 一维零相位滤波器其冲激响应满足Hermitian对称其支撑区中心点必须在原点 必须包含奇数个抽样点 其支撑区可以定义为 假定抽样是实的 傅里叶变换为 2020 4 5 图像与视频处理实验室 49 3 5特殊实现法FIR滤波器 续16 其傅里叶变换可以写为其中可以展成变量的次多项式 最后得到的多项式是次切贝雪夫多项式 2020 4 5 图像与视频处理实验室 50 3 5特殊实现法FIR滤波器 续17 2020 4 5 图像与视频处理实验室 51 3 5特殊实现法FIR滤波器 续18 则傅里叶变换可以写为进行变量替换 令则二维频率响应为称函数为变换函数如果用一个维变换函数代替 则可得一个维的频率响应 2020 4 5 图像与视频处理实验室 52 3 5特殊实现法FIR滤波器 续19 变换函数的选择原则 本身必须是二维FIR滤波器的频率响应 以保证实际上是二维FIR滤波器的频率响应 的特性能从和预测出来 应有一种能按频率响应的一组特定值来选择相应的和的方法 将变换函数简单地选为零相位滤波器的频率响应 2020 4 5 图像与视频处理实验室 53 3 5特殊实现法FIR滤波器 续20 由于是的次多项式 因而是的次多项式 频率响应为的滤波器可以用频率响应为子网路的级联和并联的组合来实现 滤波器响应为 2020 4 5 图像与视频处理实验室 54 3 5特殊实现法FIR滤波器 续21 讨论 频域中与的乘积 对应空域中与的卷积 如果的支撑区包含个抽样 且中心在原点 则个本身的卷积的支撑区具有个抽样 的支撑区相同 如果是一个FIR滤波器的冲击响应 则就相当于一个FIR滤波器 如果是零相位的 则是实的 也是实的 则也是零相位的 2020 4 5 图像与视频处理实验室 55 3 5特殊实现法FIR滤波器 续22 等位线在平面中使的那些点的轨迹 围线图把几个等位线叠合起来的显示图 因为是的线性组合 的任一条等位线也是的等位线 在某一特定的等位线上的值既取决于的值 又取决于原型滤波器的参量 2020 4 5 图像与视频处理实验室 56 3 5特殊实现法FIR滤波器 续23 例研究 的一阶变换 变换函数为令 得到则 2020 4 5 图像与视频处理实验室 57 3 5特殊实现法FIR滤波器 续24 2020 4 5 图像与视频处理实验室 58 3 5特殊实现法FIR滤波器 续25 例考虑设计一个扇形滤波器 它的频率响应在第I和第III象限应逼近于1 在第II和第IV象限逼近于零 为了用变换法逼近这一特性 应以两根轴作为等位围线 具有此特性的一种变换函数为对应 变换在I III象限为正 在II IV象限为负 2020 4 5 图像与视频处理实验室 59 3 5特殊实现法FIR滤波器 续26 对于替换 有由于当时 为正 当时 为负 的原型响应值将映射到I III象限 的原型响应值将映射到II IV象限 因而原型响应必须是低通滤波器 其截至频率为弧度 2020 4 5 图像与视频处理实验室 60 3 5特殊实现法FIR滤波器 续27 2020 4 5 图像与视频处理实验室 61 3 5特殊实现法FIR滤波器 续28 变换函数选择要求 如果任意设计变换函数则变换函数可以取为其中 2020 4 5 图像与视频处理实验室 62 3 5特殊实现法FIR滤波器 续29 3 5 4变换法滤波器的实现实现方法卷积和方法 DFT方法 切贝雪夫递推网络法 切贝雪夫递推网络法 2020 4 5 图像与视频处理实验室 63 3 5特殊实现法FIR滤波器 续30 如果用代替 则递推式变成其网络结构为可以构成有个输出的一个梯形网络 使得由输入到第个输出之间的频率响应为 2020 4 5 图像与视频处理实验室 64 3 5特殊实现法FIR滤波器 续31 2020 4 5