2014年秋高一数学名师配套课件：第三章3.2.2《直线的两点式方程》（人教A版必修2）

3 2 2直线的两点式方程 一 直线的两点式方程和截距式方程 判断 正确的打 错误的打 1 直线的斜率不存在时 没有两点式方程 2 与坐标轴平行的直线没有截距式方程 3 都是直线的截距式方程 提示 1 正确 直线的两点式方程应用的前提条件是x1 x2 y1 y2 即斜率存在且不等于0 2 正确 因为截距式方程的应用前提是a 0 b 0 3 错误 不符合截距式方程的标准形式 即左边 连接 右边为1 答案 1 2 3 二 线段的中点坐标公式1 条件 点P x y 是线段P1P2的中点且P1 x1 y1 P2 x2 y2 2 结论 x y 知识点拨 1 解读直线的两点式方程 1 方程也可写成两者形式有异但实质相同 即两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 的选取与这两点的顺序无关 2 当直线斜率不存在 x1 x2 或斜率为零 y1 y2 时 不能用两点式表示 3 如果将直线两点式转化为 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 此时只要直线上两点不重合 都可以用该等式表示出来 即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线 2 解读直线的截距式方程 1 截距式方程 1应用的前提是a 0 b 0 即直线过原点或与坐标轴垂直时不能用截距式方程 2 截距式方程的结构特点 直线方程的截距式为 1 x项对应的分母是直线在x轴上的截距 y项对应的分母是直线在y轴上的截距 中间以加号相连 等式的另一端是1 由方程可以直接读出直线在两坐标轴上的截距 3 截距式方程是两点式的一种特殊情况 两个点是直线与坐标轴的交点 在求直线方程时合理地选择形式 会提高解题速度 类型一直线的两点式方程 典型例题 1 过点 2 5 2 6 两点的直线方程是 A x 2B y 2C x y 5D x y 62 已知A 3 2 B 5 4 C 0 2 在 ABC中 1 求BC边的方程 2 求BC边上的中线所在直线的方程 解题探究 1 过两点的直线均可以用两点式表示吗 2 求三角形边的方程和边所在直线的方程相同吗 探究提示 1 不一定 必须先判断题目条件是否符合x1 x2 y1 y2的要求 2 要注意问题叙述的异同 三角形边是线段 边所在直线是直线 解析 1 选A 过这两点的直线与x轴垂直 所以直线方程是x 2 2 1 BC边过两点B 5 4 C 0 2 由两点式得 即2x 5y 10 0 故BC边的方程是2x 5y 10 0 0 x 5 2 设BC的中点M a b 则所以M 3 又BC边的中线过A 3 2 所以BC边上的中线所在直线的方程为即10 x 11y 8 0 拓展提升 求直线的两点式方程的策略以及注意点 1 当已知两点坐标 求过这两点的直线方程时 首先要判断是否满足两点式方程的适用条件 两点的连线不垂直于坐标轴 若满足 则考虑用两点式求方程 2 由于减法的顺序性 一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误 在记忆和使用两点式方程时 必须注意坐标的对应关系 变式训练 已知两点A 3 2 B 8 12 1 求过线段AB的中点且与AB垂直的直线方程 2 若点C 2 a 在直线AB上 求实数a的值 解题指南 1 由A B两点坐标求出直线AB的斜率和线段AB的中点 可知AB的中垂线的斜率 利用点斜式写出方程 2 利用两点式写出直线AB的方程 再将C点坐标代入即可求得实数a的值 解析 1 设AB的中点为M x0 y0 则x0 y0 7 所以中点M 7 又因为kAB 所以过线段AB的中点且与线段AB垂直的直线的斜率为 则所求直线l的方程为 y 7 x 即2x 4y 39 0 2 据题意直线AB的方程为即y 2 2 x 3 又点C 2 a 在直线AB上 所以a 2 2 2 3 所以a 8 类型二直线方程的截距式 典型例题 1 直线ax y a 0 a 0 在两坐标轴上截距之和是 A a 1B 1 aC a 1D 02 求经过点 5 3 且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程 解题探究 1 截距式方程的形式有何特点 如何求截距 2 截距的绝对值相等 有几种情况 探究提示 1 截距式方程的特点有两个 一是中间必须用 连接 二是等号右边为 1 令x 0 求出y值 令y 0 求出x的值 2 截距的绝对值相等分为截距相等和互为相反数两种情况 其中两截距均为零是不可忽视的 解析 1 选A 令x 0 得y a 令y 0 得x 1 故直线在两坐标轴上截距之和为a 1 2 设直线在x轴与y轴上的截距分别为a b 1 当a 0 b 0时 设直线方程为因为直线经过点 5 3 所以因为 a b 所以所以直线方程为x y 2 0或x y 8 0 2 当a b 0时 则直线经过原点及 5 3 所以直线方程为3x 5y 0 综上 所求直线方程为x y 2 0或x y 8 0或3x 5y 0 互动探究 通过题2的解决 你能说出当截距不为0时 直线的斜率为多少时 两截距相等 两截距互为相反数 解析 当直线斜率为 1时 两截距相等 当直线斜率为1时 两截距互为相反数 拓展提升 截距式方程应用的注意事项 1 如果问题中涉及直线与坐标轴相交 则可考虑选用截距式直线方程 用待定系数法确定其系数即可 2 选用截距式直线方程时 必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直 3 要注意截距式直线方程的逆向应用 变式训练 根据条件 求下列各题中直线的截距式方程 1 在x轴上的截距为 3 在y轴上的截距为2 2 在x轴上的截距为1 在y轴上的截距为 4 解析 1 直线的截距式方程为 2 直线的截距式方程为 类型三直线方程的综合应用 典型例题 1 已知正方形边长为4 其中心在原点 对角线在坐标轴上 则正方形各边所在的直线的方程为 2 已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3 若直线过定点A 3 4 求直线l的方程 解题探究 1 正方形的边长与对角线长之间存在怎样的数量关系 2 求三角形的面积时一般需要求什么 探究提示 1 正方形的对角线的长度是边长的倍 2 一般需要求出三角形的底与相应底上的高 解析 1 由题意 各边所在直线在x轴 y轴上的截距分别为利用截距式可得 答案 2 由题意知 直线l的斜率存在 设直线l的方程是y k x 3 4 它在x轴 y轴上的截距分别是 3 3k 4 则 3k 4 3 3 显然k 0时不成立 解得k1 k2 所以直线l的方程为2x 3y 6 0或8x 3y 12 0 拓展提升 求直线方程时方程形式的选择技巧 1 已知一点的坐标 求过该点的直线方程时 通常选用点斜式方程 2 已知直线的斜率 通常选用点斜式或斜截式 再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距 3 已知直线在两坐标轴上的截距时 通常选用截距式方程 4 已知直线上两点时 通常选用两点式方程 变式训练 在 ABC中 已知BC边上的高所在直线的方程为x 2y 1 0 BAC平分线所在直线的方程为y 0 若点B的坐标为 1 2 1 求直线BC的方程 2 求直线AB的方程 解析 1 因为BC与BC边上的高互相垂直 且BC边上的高的斜率为所以 直线BC的斜率为 2 因此由点斜式可得直线BC的方程为y 2 2 x 1 化简得2x y 4 0 2 由x 2y 1 0与x轴的交点恰为A 所以令y 0 求得A 1 0 由直线方程的两点式得AB的方程为即x y 1 0 关于光线的反射问题 典型例题 一条光线从点A 3 2 发出 经x轴反射 通过点B 1 6 求入射光线和反射光线所在直线的方程 解析 点A关于x轴的对称点为A1 3 2 点B关于x轴的对称点为B1 1 6 因为A1在反射光线的延长线上 B1在入射光线的延长线上 由两点式可得直线A1B的方程为化简得2x y 4 0 直线AB1的方程为化简得2x y 4 0 所以入射光线所在直线方程为2x y 4 0 反射光线所在直线方程为2x y 4 0 拓展提升 巧解光线的反射问题光线的反射问题是直线部分常考的题型之一 此类问题可借助于光学性质 入射角等于反射角 或使用对称思想 一般找对称点 解决 易错误区 对截距考虑不全致误 典例 求过点A 3 4 且在坐标轴上截距互为相反数的直线是 解析 1 当直线l在坐标轴上截距互为相反数且不为0时 可设直线l的方程为 1 又l过点A 3 4 所以 1 解得a 1 所以直线l的方程为 1 即x y 1 0 2 当直线l经过原点时截距为0 也为相反数 直线的方程为y x 即4x 3y 0 答案 x y 1 0或4x 3y 0 误区警示 防范措施 1 准确把握概念的含义弄准已知条件 分析清楚 理解好概念的实质 如本例中直线在坐标轴上的截距互为相反数 仅认为截距不为零时的情况 截距可正 可负 也可为零 当直线过原点 此时截距为零 也为相反数 2 分类讨论思想的运用对于特殊情况的处理 考虑问题要全面 这对于完整的解题是必需的 如本例中的截距互为相反数这一条件的处理 就必须分等于零和不等于零两种情况来分类讨论 使问题的解决做到不重不漏 类题试解 求过点A 4 3 且在坐标轴上截距相等的直线l的方程是 解析 1 当直线l在坐标轴上截距相等且不等于0时 设l的方程为 1 又l过点A 4 3 所以 1 解得a 7 所以直线l的方程为 1 即x y 7 0 2 当直线l经过原点时截距为0 直线的方程为y x 即3x 4y 0 答案 x y 7 0或3x 4y 0 1 下列语句中正确的是 A 经过定点P x0 y0 的直线都可以用方程y y0 k x x0 表示B 经过任意两个不同点P x1 y1 Q x2 y2 的直线都可以用方程 y y1 x2 x1 x x1 y2 y1 表示C 不经过原点的直线都可以用方程 1表示D 经过定点的直线都可以用y kx b表示 解析 选B 经过定点的直线只有斜率存在时才可以表示为y y0 k x x0 或y kx b 故A D不对 C中垂直于坐标轴的直线也无法用方程 1表示 故不正确 只有B正确 2 如图 直线l的截距式方程为 1 则有 A a 0 b 0B a 0 b0 解析 选B 显然 直线过点M a 0 N 0 b 由图象知a 0 b 0 3 经过点 2 1 在x轴上的截距是 2的直线方程是 解析 在x轴上的截距是 2 即过点 2 0 所以其方程为所以y 1 x 2 即x 4y 2 0 答案 x 4y 2