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9 4连续时间系统状态方程的求解 一 用拉普拉斯变换法求解状态方程二 用时域法求解状态方程 返回 可以利用时域方法或变换域方法求解状态方程 一 用拉普拉斯变换法求解状态方程 若给定方程 起始条件 方程两边取拉氏变换 整理得 将 sI A 1记为F s 称为特征矩阵或预解矩阵 则 可见 在计算过程中最关键的一步是求F s 因而时域表示式为 若系统为零状态的 则 则系统的转移函数矩阵为 Hij s 是第i个输出分量对第j个输入分量的转移函数 设F s 的拉氏反变换为j t H s 的拉氏反变换为h t 则 返回 例9 4 1 例9 4 2 1 矩阵指数eAt的定义 二 用时域法求解状态方程 一 矩阵指数 2 主要性质 式中A为方阵 也是一个方阵 二 用时域方法求解状态方程 1 求状态方程和输出方程 若已知 并给定起始状态矢量 对式 1 两边左乘e At 移项有 化简 得 两边取积分 并考虑起始条件 有 对上式两边左乘eAt 并考虑到eAte At I 可得 为方程的一般解 求输出方程r t 依此原理 将eAt无穷项之和的表示式中高于k次的各项全部化为Ak 1幂次的各项之和 经整理后即可将eAt化为有限项之和 对于方阵A有如下特性 凯莱 哈密顿定理 Cayley Hamitontheorem 也即 对于j k 可利用Ak 1以下幂次的各项之和表示Aj 式中b为各项系数 2 如何求eAt Aj b0I b1A b2A2 bk 1Ak 1 j k 2 eAt c0I c1A c2A2 ck 1Ak 1 3 式中各系数c都是时间t的函数 为书写简便省略了变量t 按照凯莱 哈密顿定理 将矩阵A的特征值代入式 2 后 方程仍满足平衡 利用这一关系可求得式 3 中的系数c 最后解出eAt 具体计算步骤 第一种情况 A的特征值各不相同 分别为a1 a2 ak代入式 3 有 例9 4 3 第二种情况 若A的特征根a1 具有m阶重根 则重根部分方程为 其他非重根部分与式 4 相同处理 两者联立解得要求的系数 例9 4 4 返回 5 例9 4 1 已知系统的状态方程和起始条件为 试求系统的状态变量 1 求特征矩阵F s 其行列式和伴随矩阵分别为 所以预解矩阵为F s 因为E s 0 则状态变量矩阵为 返回 所以 例9 4 2 已建立状态方程和输出方程为 起始状态为 输入矩阵为 用拉氏变换法求响应r t 和转移函数矩阵H s 所以预解矩阵F s 为 1 求特征矩阵 其行列式和伴随矩阵分别为 2 求转移函数矩阵H s 3 求输出矩阵r t 返回 所以 例9 4 3 已知 求 列出A的特征方程 其特征根为 代入式 4 有
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