平面问题的极坐标解答2

4 4应力分量的坐标变换式 在一定的应力状态下 如果已知极坐标中的应力分量 就可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量 反之 如果已知直角坐标中的应力分量 也可以利用简单的关系式求得极坐标中的应力分量 设已知极坐标中的应力分量 试求直角坐标中的应力分量 与书中讲解内容相反 如图4 4 在弹性体中取微小三角板A 各边上的应力如图所示 三角板的厚度取为一个单位 令bc边的长度为ds 则ab边及ac边的长度分别为及 图4 4 x 根据三角板A的平衡条件 可得平衡方程 用代替 得 bc边的长度为ds 则ab边及ac边的长度分别为及 同理 由平衡条件 可得 另取微小三角板B 如图4 4 根据平衡条件 得到 综合以上结果 得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为 利用简单的三角公式 上式可改写为 4 5轴对称应力和相应的位移 如果物体的形状或某物理量是绕一轴对称的 凡通过对称轴的任何面都是对称面 称为轴对称问题 如果应力绕Z轴对称 应力分量仅是径向坐标的函数 与环向坐标无关 切应力为零 例如受内 外压的圆筒 应力数值轴对称 仅为的函数 即 轴对称应力问题 相容方程简化为 4阶变系数齐次微分方程 采用逆解法 假定应力函数仅是径向坐标 的函数 方程两边同乘以 Euler齐次微分方程 其特征方程 方程的特征根为 于是 方程的解为 1 应力分量 将方程 4 11 代入应力分量表达式 将代回 2 位移分量 对于平面应力问题 有物理方程 a1 a2 a3 积分式 a1 式 有 是任意的待定函数 b 将式 b 代入式 a 中第二式 得 将上式积分 得 c 是 任意函数 或写成 要使该式成立 等式两边须为同一常数 将式 b c 代入式 a 中第三式 d e 式中F为常数 对其积分有 f 其中H为常数 对式 e 两边求导 其解为 g h 将式 f h 代入式 b c 得 b c 4 13 具体说明 2 在轴对称应力条件下 形变也是轴对称的 但位移不是轴对称的 3 实现轴对称应力的条件是 物体形状 体力和面力为轴对称 1 在轴对称应力条件下 上面几个表达式为应力函数 应力和位移的通解 适用于任何轴对称应力问题 4 轴对称应力及对应的位移的通解已满足相容方程 它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值条件 并由此求出其系数A B及C 5 对于平面应变问题 只须将换为 4 6圆环或圆筒受均布压力 如图4 5 圆环的内半径为a 外半径为b 受内压力qa 外压力qb 为轴对称应力问题 根据上节有解为 图4 5 图4 5 边界条件为 在这里只有两个方程 而有三个待定常数 需要从多连体的位移单值条件补充一个方程 由边界条件得到 图4 5 在上节环向位移表达式 图4 5 中 第一项是多值的 即在同一 处 和实际是同一点 环向位移成为多值 这是不可能的 因此 考虑位移单值条件 必须有B 0 这样从上面两个方程中可解出A和C 代入应力分量表达式 得到拉梅解答 于是 图4 5 1 只作用均匀内压时 例如液压缸 上面解答化为 应力分布大致如图4 6所示 图4 6 当时 得到具有圆孔的无限大薄板 或具有圆形孔道的无限大弹性体 这时上面的解答成为 2 只有外压时 例如液压柱塞 上面解答化为 应力分布大致如图4 7所示 图4 7 例题1 如图1所示 由内外筒组成的组合筒 长度有限 两端自由 装配前内筒的外半径比外筒的内半径大 求接触压力p 并导出环向预应力的表达式 解 1 设装配后接合处的公共半径为 接触压力使内筒的外半径减小了 而使外筒的内半径增大了 按位移协调条件有 1 2 2 将代入只受内压力作用圆环内侧位移公式和应力边界条件 得到 3