[考研数学]北京航天航空大学线性代数 5-(1,2)b

主要内容点播 一 矩阵的相似标准形二 特征值与特征向量 一 矩阵的相似标准形 引言 对n阶方阵A及可逆矩阵P 由于矩阵乘法不满足交换律 一般情形下P 1AP不一定等于A 但对P 1AP与A而言 在许多地方性质相同 行列式相等 P 1AP P 1 A P A 因此P 1AP与A或者都可逆 或都不可逆 称P 1AP与A相似 当然会有很多矩阵与A相似 最简单的是什么矩阵 相似标准形问题 定义设A B为两个n阶矩阵 如果存在一个满秩阵P 使得 则称A与B相似 记为A B 相似变换 对A作运算P 1AP P满秩 相似关系的等价性 矩阵之间的相似关系是一种等价关系 1 自反性A A E 1AE A 2 对称性A B B A P 1AP B A PBP 1 3 传递性A B且B C A C P 1AP B且Q 1BQ C PQ 1A PQ C 问题 与矩阵A相似的矩阵中最简单的矩阵是什么 对单位矩阵E与任何可逆矩阵P 都有 P 1EP E P 1kEP kE 1 单位矩阵只能同单位矩阵相似 2 数量矩阵也只相似于数量矩阵 比这两类矩阵简单的矩阵是对角矩阵 A能否相似于一个对角矩阵呢 若上式成立 i满足什么条件呢 若记P P1 P2 Pn 列向量 代入得 即若能用相似变换将A化为对角矩阵 则满秩矩阵P的每个列向量必满足 且p1 p2 pn线性无关 二 特征值与特征向量 定义 设A是n阶方阵 若有数 和n维非零列向量x 使Ax x成立 则称 为矩阵A的特征值 非零列向量x称为A的属于 或对应于 特征值 的特征向量 问题 对任何方阵A 是否有特征值呢 A有特征值时 如何求出它的全部特征值和全部特征向量呢 重点 重点 重点 重点 重点 难点 1 矩阵A aij n n的特征值和特征向量 若Ax x 则 x Ax E A x 0 1 由x是非零向量 说明齐次线性方程组 E A x 0 有非零解 1 有非零解 即特征值满足 E A 0 定义设A为n阶矩阵 E A称为A的特征矩阵 E A 称为A的特征多项式 E A 0称为A的特征方程 E A 0的根即为A的特征值 特征根 特征多项式的特征 没有写出的各项的最高次数为 n 2 若某项含有 aij 则不会含有 aii 与 ajj 因此可得 当 0时 定义tr A a11 a22 ann称为A的迹 计算n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤 1 解特征方程 E A 0 求出n个特征值 r重根算r个 2 对每一 i 求 iE A x 0的非零解xi是属于 i的特征向量 重点 例1求三阶方阵 的特征值和特征向量 解 特征方程 所以A的特征值为 1 2 2 3 1 对 1 2 解齐次方程组 2E A x 0 即 一般解为 取基础解系 得A的属于 1 2的全部特征向量为 k 0 0 1 k 0 对 2 3 1 解齐次线性方程组 E A x 0 即 由 得一般解为 取基础解系 因此A的属于 2 3 1的全部特征向量是 k 1 2 1 k 0 例2 求矩阵 的特征值和特征向量 解 特征方程 B的特征值为 1 2 1 3 5 对二重特征值 1 解方程组 E B x 0 即 即 一般解为 基础解系为 因此属于 1的全部特征向量为 k1 k2不同时为零 对 3 5 解方程组 5E B x 0 即 由 得一般解 取基础解系为 因此B的属于 5的全部特征向量为 k 0为常数 上面两个例子中 特征方程的单根的线性无关的特征向量为1个 二重根可以是一个也可以是两个 都不超过特征根的重数 例3 若A2 A 称A为幂等矩阵 证明幂等矩阵的特征值只可能是0和1 证明 设 0是A的特征值 x是A的属于 0的特征向量 则 由于 即 而x 0 得 注意 0和1不一定同时是幂等矩阵的特征值 比如E是幂等矩阵 但其特征值只有1 2 有关特征值的几个定理 定理2 1相似的矩阵具有相同的特征多项式 也有相同的特征值 证明 设A B 则存在可逆矩阵P 使得 B P 1AP 因此 注意 其逆命题不一定成立 有相同特征多项式的矩阵不一定相似 例如 任一矩阵与其转置矩阵有相同的特征多项式 因此也有相同的特征值 E A E A E A E A E A 定理2 2若A是分块矩阵 即 其中Ai i 1 2 s 是方阵 则A的特征多项式是A1 A2 As的特征多项式的乘积 因此A1 A2 As的所有特征值就是A的全部特征值 重点 会背 定理2 3设n阶矩阵A的特征值为 1 2 n k重根算k个 则 证明 令 0 得 而 从定理可以看出 若A的特征值有一个为零 则 A 0 反之亦成立 推论矩阵A可逆 A的特征值全不为零 定理2 4若n阶可逆方阵A的特征值为 1 2 n 则A 1的特征值为 证明 由定理2 3 有意义 设xi是A的属于 i的特征向量 则 左乘A 1 有 即 由定义说明 是A 1的特征值 而 有n个 k重算k个 这样 是A 1的全部特征值 例4证明若 是正交矩阵Q的特征值 则1 也是Q的特征值 证明 由