高三数学极限与探索性问题的解题技巧

专题九 极限与探索性问题的解题技巧极限与探索性问题的解题技巧 命题趋向命题趋向 综观历届全国各套高考数学试题 我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点 1 数学归纳法 客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解 掌握数学归纳法的证题步骤 特别 要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用 解答题大多以考查数学归纳法内容为主 并涉及到函数 方程 数列 不等式等综合性 的知识 在解题过程中通常用到等价转化 分类讨论等数学思想方法 是属于中高档难度 的题目 数学归纳法是高考考查的重点内容之一 类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出 的思想 抽象与概括 从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法 在由 n k 时 命题成立 证明 n k 1 命题也成立时 要注意设法化去增加的项 通常要用到拆项 组合 添项 减项 分解 化简等技巧 这一点要高度注意 2 数列的极限 客观性试题主要考查极限的四则运算法则 无穷递缩等比数列所有项和等内容 对基本 的计算技能要求比较高 直接运用四则运算法则求极限 解答题大多结合数列的计算求极限等 涉及到函数 方程 不等式知识的综合性试题 在解题过程中通常用到等价转化 分类讨论等数学思想方法 是属于中高档难度的题目 数列与几何 由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形 通常相关几何量构成等 比数列 这是一类新题型 3 函数的极限 此部分为新增内容 本章内容在高考中以填空题和解答题为主 应着重在概念的理解 通过考查函数在自变量的某一变化过程中 函数值的变化趋势 说出函数的极限 利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算 利用两个重要极限求函数的极限 函数的连续性是新教材新增加的内容之一 它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起 在高考中 必将这一块内容溶入到函数内容中去 因而一定成为高考的又一个热点 4 在一套高考试题中 极限一般分别有 1 个客观题或 1 个解答题 分值在 5 分 12 分之 间 5 在高考试题中 极限题多以低档或中档题目为主 一般不会出现较难题 更不会出现难 题 因而极限题是高考中的得分点 6 注意掌握以下思想方法 极限思想 在变化中求不变 在运动中求静止的思想 数形结合思想 如用导数的几何意义及用导数求单调性 极值等 此类题大多以解答题的形式出现 这类题主要考查学生的综合应用能力 分析问题和学生 解决问题的能力 对运算能力要求较高 考点透视考点透视 1 理解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 2 了解数列极限和函数极限的概念 3 掌握极限的四则运算法则 会求某些数列与函数的极限 4 了解函数连续的意义 了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 例题解析例题解析 考点 1 数列的极限 1 数列极限的定义 一般地 如果当项数 n 无限增大时 无穷数列 an 的项 an无限地趋近 于某个常数 a 即 an a 无限地接近于 0 那么就说数列 an 以 a 为极限 注意 a 不一定是 an 中的项 2 几个常用的极限 C C C 为常数 0 qn 0 q 1 n lim n lim n 1 n lim 3 数列极限的四则运算法则 设数列 an bn 当an a bn b 时 an bn a b n lim n lim n lim 例 1 2006 年湖南卷 数列 满足 且对于任意的正整数 m n 都有 则 n a 1 1 3 a m nmn aaa 12 lim n n aaa A B C D 2 1 2 2 3 3 2 考查目的考查目的 本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式 的应用 lim0 1 n n qq 解答过程解答过程 由和得 1 1 3 a m nmn aaa 23 111 9273 n n aaa 12 11 1 1 33 lim lim 1 2 1 3 n n xx aaa 故选 A 例 2 2006 年安徽卷 设常数 展开式中的系数为 则0a 4 2 1 ax x 3 x 3 2 2 lim n n aaa 考查目的考查目的 本题考查利用二项式定理求出关键数二项式定理求出关键数 再求极限的能力再求极限的能力 解答过程解答过程 由 所以 1 48 2 2 14 r rrr r TC axx 1 8 23 2 2 r r xxxr 得 4 4 31 22 rr C a 由知a 所以为 1 2 1 2 lim 1 1 1 2 n n aaa 例 3 2007 年年福建卷理 理 把展开成关于的多项式 其各项 2 1 1 1 1 nxxx x 系数和为 则等于 n a 21 lim 1 n n n a a A B C D 2 1 4 1 2 1 考查目的考查目的 本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式 的应用 lim0 1 n n qq 解答过程解答过程 22 12 1 1 1 1 1 122221 12 n nnn n xaxxx 当时 1 212 211211 limlimlimlim 22 121122 nn n nnn nnnn n a a 故选 D 例 4 2007 年天津卷理 设等差数列的公差是 2 前项的和为 则 n a dn n S 22 lim n n n an S 思路启迪思路启迪 由等差数列的公差是 2 先求出前项的和为和通项 n a dn n S n a 解答过程解答过程 2 21 222 2 nn n n aana Snanan n 1 1 22 2222 2 2 21 22 limlimlim3 1 n nnn n a annan nn a Snan n 1 1 故填 3 小结 1 运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点 1 各数列的极限必须存在 2 四则运算只限于有限个数列极限的运算 2 熟练掌握如下几个常用极限 1 C C C 为常数 n lim 2 p 0 p 0 n lim n 1 3 k N a b c d R 且 c 0 n lim dcn ban k k c a 4 qn 0 q 1 n lim 例 5 2007 年重庆卷理 设正数 a b 满足则 4 2 2 lim baxx x nn nn n ba aba 2 1 11 lim A 0 B C D 1 4 1 2 1 解 2 2 1 lim 4 24 2 x a xaxbab b 4 11 11 1 11 1 11 1 2 limlimlim 1 224 22 2 nn nn nn xxx nn a aa aaba b a abb bb b 则 故选 B 小结 重视在日常学习过程中运用化归思想 考点 2 函数的极限 1 函数极限的概念 1 如果f x a 且f x a 那么就说当 x 趋向于无穷大时 函数 f x 的极 xlim xlim 限是 a 记作f x a 也可记作当 x 时 f x a x lim 2 一般地 当自变量 x 无限趋近于常数 x0 但 x 不等于 x0 时 如果函数 f x 无限 趋近于一个常数 a 就说当 x 趋近于 x0时 函数 f x 的极限是 a 记作f x a 也可 0 lim xx 记作当 x x0时 f x a 3 一般地 如果当 x 从点 x x0左侧 即 x x0 无限趋近于 x0时 函数 f x 无限趋 近于常数 a 就说 a 是函数 f x 在点 x0处的左极限 记作f x a 如果从点 x x0 0 lim xx 右侧 即 x x0 无限趋近于 x0时 函数 f x 无限趋近于常数 a 就说 a 是函数 f x 在点 x0处的右极限 记作f x a 0 lim xx 2 极限的四则运算法则 如果f x a g x b 那么 0 lim xx 0 lim xx f x g x a b f x g x a b b 0 0 lim xx 0 lim xx 0 lim xx xg xf b a 例 6 2007 年江西卷理 1 lim 23 1 x xx x A 等于 0 B 等于 l C 等于 3 D 不 存在 考查目的考查目的 本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力函数极限的能力 解答过程解答过程 故选 B 322 2 111 1 limlimlim1 11 xxx xxxx x xx 例 7 2007 年四川卷理 12 1 lim 2 2 1 xx x n A 0 B 1 C D 2 1 3 2 考查目的考查目的 本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力函数极限的能力 解答过程解答过程 2 2 111 11112 limlimlim 211113 nnn xxxx xxxxx 2 2 故选 D 例 8 若 f x 在点 x 0 处连续 则 f 0 11 11 3 x x 思路启迪思路启迪 利用逆向思维球解 解答过程 解答过程 f x 在点 x 0 处连续 f 0 f x 0 lim x f x 0 lim x0 lim x 11 11 3 x x 0 lim x 11 11 1 332 x xx 2 3 答案 2 3 例 9 设函数 f x ax2 bx c 是一个偶函数 且f x 0 f x 3 求这一函 1 lim x2 lim x 数最大值 思路启迪思路启迪 由函数 f x ax2 bx c 是一个偶函数 利用 f x f x 构造方程 求出 b 的值 解答过程 解答过程 f x ax2 bx c 是一偶函数 f x f x 即 ax2 bx c ax2 bx c b 0 f x ax2 c 又f x ax2 c a c 0 f x ax2 c 4a c 3 1 lim x1 lim x2 lim x2 lim x a 1 c 1 f x x2 1 f x max f 0 1 f x 的最大值为 1 例 10 设 f x 是 x 的三次多项式 已知 1 ax2 lim ax xf 2 ax4 lim ax xf 4 求的值 a 为非零常数 ax3 lim ax xf 3 解答过程 解答过程 由于 1 可知 f 2a 0 ax2 lim ax xf 2 同理 f 4a 0 由 可知 f x 必含有 x 2a 与 x 4a 的因式 由于 f x 是 x 的三次多项式 故可设 f x A x 2a x 4a x C 这里 A C 均为待定的常数 由 1 即 ax2 lim ax xf 2 A x 4a x C 1 ax2 lim ax CxaxaxA 2 4 2 ax2 lim 得 A 2a 4a 2a C 1 即 4a2A 2aCA 1 同理 由于 1 ax4 lim ax xf 4 得 A 4a 2a 4a C 1 即 8a2A 2aCA 1 由 得 C 3a A 2 2 1 a 因而 f x x 2a x 4a x 3a 2 2 1 a x 2a x 4a ax3 lim ax xf 3 ax3 lim 2 2 1 a a a 2 2 1 a 2 1 例 11 a 为常数 若 ax 0 则 a 的值是 xlim 1 2 x 思路启迪思路启迪 先对括号内的的式子变形 解答过程 解答过程 ax 0 xlim 1 2 x xlim axx xax 1 1 2 222 xlim axx xa 1 1 1 2 22 1 a2 0 a 1 但 a 1 时 分母 0 a 1 考点 3 函数的连续性及极限的应用 1 函数的连续性 一般地 函数 f x 在点 x x0处连续必须满足下面三个条件 1 函数 f x 在点 x x0处有定义 2 f x 存在 3 f x f x0 0 lim xx 0 lim xx 如果函数 y f x 在点 x x0处及其附近有定义 而且f x f x0 就说函数 f x 0 lim xx 在点 x0处连续 2 如果 f x 是闭区间 a b 上的连续函数 那么 f x 在闭区间 a b 上有最大值和 最小值 3 若 f x g x 都在点 x0处连续 则 f x g x f x g x g x xg xf 0 也在点 x0处连续 若 u x 在点 x0处连续 且 f u 在 u0 u x0 处连续 则复合函数 f u x 在点 x0处也连续 例 12 f x 在 x x0处连续是 f x 在 x x0处有定义的 条件 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分又不必要 思路启迪思路启迪 说明问题即可 解答过程 解答过程 f x 在 x x0处有定义不一定连续 答案 A 例 13 f x 的不连续点为 x x cos cos A x 0 B x k 0 1 2 12 2 k C x 0 和 x 2k k 0 1 2 D x 0 和 x k 0 1 2 12 2 k 思路启迪思路启迪 由条件出发列方程解之 解答过程 解答过程 由 cos 0 得 k k Z x x x 2 12 2 Z k k 又 x 0 也不是连续点 故选 D 答案 D 例 14 设 f x 当 a 为 时 函数 f x 是连续的 0 0 e xxa x x 解答过程 解答过程 f x a x a f x ex 1 而 f 0 a 故当 a 1 时 0 lim x 0 lim x 0 lim x 0 lim x f x f 0 0 lim x 即说明函数 f x 在 x 0 处连续 而在 x 0 时 f x 显然连续 于是我们可判断当 a 1 时 f x 在 内是连续的 小结 分段函数讨论连续性 一定要讨论在 分界点 的左 右极限 进而断定连续性 例 15 已知函数 f x 函数 f x 在哪点连续 1 为无理数 为有理数 xx xx A 处处连续 B x 1 C x 0 D x 2 1 思路启迪思路启迪 考虑结果的启发性 解答过程 解答过程 f x f x f 2 1 lim x 2 1 lim x 2 1 答案 D 例 16 抛物线 y b 2 x 轴及直线 AB x a 围成了如图 1 的阴影部分 AB 与 x 轴交 a x 于点 A 把线段 OA 分成 n 等份 作以为底的内接矩形如图 2 阴影部分的面积为 S 等于 n a 这些内接矩形面积之和当 n 时的极限值 求 S 的值 xx yy O OAA B 1 2 思路启迪思路启迪 先列出式子 解答过程 解答过程 S b 2 b 2 b 2 b 2 2 n lim n 1 n 2 n 3 n n1 n a ab n lim 3 222 1 21 n n ab ab n lim 3 6 12 1 n nnn 3 1 例 17 如图 在边长为 l 的等边 ABC 中 圆 O1为 ABC 的内切圆 圆 O2与圆 O1外切 且与 AB BC 相切 圆 On 1与圆 On外切 且与 AB BC 相切 如此无限继续下去 记圆 On的面积为 an n N 1 证明 an 是等比数列 2 求 a1 a2 an 的值 n lim 解答过程 解答过程 1 证明 记 rn为圆 On的半径 则 r1 tan30 l 2 l 6 3 sin30 rn rn 1 n 2 nn nn rr rr 1 1 2 1 3 1 于是 a1 r12 2 1 2 12 n n a al 1 n n a a 1 n n r r 9 1 an 成等比数列 2 解 因为 an n 1 a1 n N 9 1 所以 a1 a2 an n lim 9 1 1 1 a 32 3 2 l 例 18 一弹性小球自 h0 5 m 高处自由下落 当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前 的 不计每次碰撞时间 则小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间分别是多少 9 7 解答过程 解答过程 设小球第一次落地时速度为 v0 则有 v0 10 m s 那么第二 第三 第 0 2gh n 1 次落地速度分别为 v1 v0 v2 2v0 vn nv0 小球开始下落到第一次与地 9 7 9 7 9 7 相碰经过的路程为 h0 5 m 小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是 L1 2 10 g v 2 2 1 2 9 7 小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为 L2 则 L2 2 10 4 g v 2 2 2 9 7 由数学归纳法可知 小球第 n 次到第 n 1 次与地面碰撞经过路程为 Ln 10 2n 9 7 故从第一次到第 n 1 次所经过的路程为 Sn 1 h0 L1 L2 Ln 则整个过程总路程为 S Sn 1 5 10 5 10 20 3 m 小球从开始下落到第一次 n lim n lim 2 22 9 7 1 9 7 1 9 7 n 2 2 9 7 1 9 7 与地面相碰经过时间 t0 1 s 0 0 2 g h 小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间 t1 2 2 同理可得 g v1 9 7 tn 2 n tn 1 t0 t1 t2 tn 则 t tn 1 1 2 8 s 9 7 n lim n lim 9 7 1 9 7 1 9 7 n 考点 4 新考题 例 19 2007 年辽宁卷理 本小题满分 12 分 已知数列 与函数 满足条件 n a n b xf xgR x 11 N nbgbfabb nnn I 若 且存在 求 的取值范围 2 2 0 1 bgbfxxgtttxxf n n a limt 并求 用 表示 n n a limt II 若函数在上是增函数 证明对任意的 xfy R1 1 1 1 fbxfxg N n nn aa 1 考查目的考查目的 本小题主要考查数列的定义 数列的递推公式 等比数列 函数 不等式等基 础知识 考查运用数学归纳法解决问题的能力 解答过程解答过程 解法一 由题设知 可得 2 1 2 1 2 1 1 1 11 taa ba tba nn nn nn 又已知得 2 2 2 1 2 2 1 t a t a nn 由是等比数列 其首 2 2 0 2 0 22 2 0 2 1 t a t t t tb t attbgbf n 所以可知 项为 于是 2 2 t t t tb公比为 2 2 2 2 2 2 2 2 11 t t t t tba t t t tb t a n n n n 即 又 0 22 1 2 0 lim tt t an且所以可得存在 2 2 lim t an n 解法二 由题设知 可得 2 21 1 tbtb nn 且 2 1 2 1 2 1 1 t b t b nn 由 公比为的等比 2 1 2 1 0 2 0 2 1 0 2 t b t b t t bttbgbf n 是首项为所以可知 2 t 数列 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 11 t t t bb t t b t b n n n n 即 由 1 2 0 lim lim 2 1 t baba n n n n nn 于是可得存在则存在若可知 所以 0 22 tt且 2 2 lim2lim t ba n n n n 解法三 由题设知 即 1 21 nn btb 2 1 2 1 nn b t b 于是有 2 1 2 12 nn b t b 得 得 nnnnnnn bbcbb t bb 1112 2 令 2 1nn c t c 由 0 2 0 2 1 2 0 2 121 tbt bbcttbgbf可知 所以的等比数列 于是 2 2 t bbcn公比为是首项为 2 2 2 1 4 2 2 1 2 1 121 121211 bbb t t ba bbb t t bcccb n nn n nn 又 0 22 1 2 0 lim tt t an n 且所以可得存在 2 2 2 2 4 lim 12 t bbb t an n 说明 数列 an 通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一 其他过程和结果参照以 上评分标准 证明 因为 11 1 1nnnnn afbbfbgaxfxg 即所以 下面用数学归纳法证明 1 N naa nn 1 当 得 1 1 1 fxfn且为增函数由时 1 1 1 1 1 122 12 11 afbfa fafb fbfa 即 结论成立 12 aa 2 假设 n k 时结论成立 即为增函数 得 1 xfaa kk 由 121 kkkk bbafaf即 进而得 1212 kkkk aabfbf即 这就是说当 n k 1 时 结论也成立 根据 1 和 2 可知 对任意的 1 nn aan N 例 20 2006 年广东卷 已知公比为的无穷等比数列各项的和为 9 无穷等 10 qq n a 比数列各项的和为 2n a 5 81 求数列的首项和公比 n a 1 aq 对给定的 设是首项为 公差为的等差数列 求数列的 3 2 1 nkk k T k a 12 k a k T 前 10 项之和 设为数列的第 项 求 并求正整数 使得 i b i Ti nn bbbS 21n S 1 mm 存在且不等于零 m Sn n lim 注 无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前 n 项和的极限 n 考查目的考查目的 本题考查运用等比数列的前 n 项和公式 从已知的条件入手列方程组求出等比 数列的公比和首项 解答过程解答过程 依题意可知 1 1 2 1 2 9 3 1 2 81 3 15 a a q qa q 由 知 所以数列的的首项为 公差 1 3 2 3 n n a 2 T2 21 at312 2 ad 即数列的前 10 项之和为 155 1553910 2 1 210 10 S 2 T i b 121 ii aia 112 iai i 1 3 2 123 1 ii i 2 1 3 2 271845 nn nS n nm n n n S lim n lim 1451827 2 32 n mmm n nn nnn 当 m 2 时 当 m 2 时 0 所以 m 2 m n n n S lim 2 1 m n n n S lim 专题训练与高考预测专题训练与高考预测 一一 选择题选择题 1 下列极限正确的个数是 0 0 qn 0 1 C C C 为常数 n lim n 1 n lim n lim nn nn 32 32 n lim A 2B 3 会 C 4 D 都不正确 2 下列四个命题中正确的是 A 若an2 A2 则an A B 若 an 0 an A 则 A 0 n lim n lim n lim C 若an A 则an2 A2 D 若 an b 0 则an bn n lim n lim n lim n lim n lim 3 f x f x a 是 f x 在 x0处存在极限的 0 lim xx 0 lim xx A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 f x 下列结论正确的是 10 12 x xx A f x B 2 不存在 lim 1 xf x 1 lim x lim 1 xf x lim 1 xf x C f x 0 不存在 D f x f x 1 lim x lim 1 xf x 1 lim x 1 lim x 5 下列图象表示的函数在 x x0处连续的是 x y O x0 x y O x0 x y Ox0 x y O x0 A B C D 6 若 f x 在定义域 a b 上有定义 则在该区间上 A 一定连续 B 一定不连续 C 可能连续也可能不连续 D 以上均不正确 7 已知 如果 bc 0 那么 3 1 acn cbn Lim 5 cbn cnan Lim n 2 2 n bancn cbnan Lim 2 2 n A 15 B C D 15 1 5 3 3 5 8 若 r 为实常数 则集合 Rr r 1 r Limx x n n n A 恰有一个元素 B 恰有两个元素 C 恰有三个元素 D 无数多个元素 9 C 11 1 1 lim1 lim 1 22 xx f xx xfx 若则 A 1 B 1 C D 2 1 2 1 10 已知 下面结论正确的是 23 1 2 1 xx f x x A 在处连续 B C D f x 1x 5f x 1 lim2 x f x 1 lim5 x f x 二二 填空题填空题 11 四个函数 f x g x sinx f x x f x ax3 bx2 cx d 其中在 x 0 x 1 处连续的函数是 把你认为正确的代号都填上 12 下四个命题 f x 在 0 1 上连续 x 1 若 f x 是 a b 内的连续函数 则 f x 在 a b 内有最大值和最小值 4 2 lim x x x cos 2sin2 若 f x 则f x 0 0 1 0 xx xx 0 lim x 其中正确命题的序号是 请把你认为正确命题的序号都填上 13 则 a b 14 函数 f x 在 0 内满足 f x 0 f 0 0 则 nn nn n f 5 3 f 4 f 3 3 f 2 Lim 15 n lim n n 21 2 16 n lim 32 2 2 2 n nn 三三 解答题解答题 17 求下列函数极限求下列函数极限 4 1 1 lim 1 x x x 3 8 13 lim 2 x x x 22 lim 0 xa xaxa a xa 18 数列 an 的首项为 a1 1 且对任意 n N an与 an 1恰为方程 x2 bnx c