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6 1线性微分方程的一般理论 一一阶线性微分方程组的向量表示 对一阶线性微分方程组 则 5 1 可写成 1 定义1 2 定义2 初值问题 解 显然 化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题 解 设 则有 即有 也即 注 每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成方程组 反之却不成立 如 方程组 不能化为一个二阶微分方程 二 存在唯一性定理 1存在唯一性定理 2n阶线性微分方程的解存在唯一性定理 推论 一阶线性微分方程组 称 5 15 为一阶齐线性微分方程组 非齐线性微分方程组 三一阶线性微分方程解结构理论 一齐次线性微分方程组 1叠加原理 定理2 证明 则有 所以 2函数向量组线性相关与无关 证明 3函数向量组线性相关与无关的判别准则 1 Wronsky行列式 由这n个向量函数所构成的行列式 称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式 2 定理3 证明 相关 3 定理4 证明 反证法 则 现在考虑函数向量 由定理2知 由 5 17 知 因此 由解的存在唯一性定理知 即有 矛盾 注1 注2 4 定理5 5 15 一定存在n个线性无关的解 证明 由解的存在唯一性定理知 5 15 一定存在满足初始条件 且 4通解结构及基本解组 定理6 证明 由已知条件 又因为 从而可知 即它们构成n维线性空间的基 现在考虑函数向量 由定理2知 由 5 20 知 因此 由解的存在唯一性定理 应有 即 推论1 5 15 的线性无关解的最大个数等于n 基本解组 为 5 15 的一个基本解组 注1 5 15 的基本解组不唯一 注2 5 15 所有解的集合构成一个n维线性空间 注3 由n阶线性微分方程的初值问题 5 6 与线性微分方组的初值问题 5 7 的等价性描述 本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去 5解矩阵与基解矩阵及性质 1 定义 则称这个矩阵为 5 15 的解矩阵 则称该解矩阵为 5 15 的基解矩阵 基解矩阵 以基本解组为列构成的矩阵 注1 行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关 如矩阵 注2 解 由于 又由于 证明 证明 于是有 由此可得 即有 解 又由于 其通解为 二非齐次线性微分方程组 1非齐线性微分方程组解的性质 性质1 性质2 性质3
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