数字电路及系统设计ch2

数字电路及系统设计 第二章逻辑代数基础 2 1逻辑代数的基本运算 2 1 1逻辑函数的基本概念 逻辑 指事物的因果所遵循的规律 逻辑代数 它是分析设计逻辑电路的数学工具 虽然它和普通代数一样也用字母表示变量 但变量的取值只有 0 1 两种 分别称为逻辑 0 和逻辑 1 这里 0 和 1 并不表示数量的大小 而是表示两种相互对立的逻辑状态 逻辑代数所表示的是逻辑关系 而不是数量关系 这是它与普通代数的本质区别 2 1 2三种基本逻辑运算 1 与运算 逻辑乘 A B都具备时 事件F才发生 真值表 AB F 00 0 01 0 10 0 11 1 逻辑式 F A B AB 与门 1 F B F F A A A B B 或门 逻辑式 F A B 2 或运算 逻辑加 A B有一个具备 事件F就发生 AB F 00 0 01 1 10 1 11 1 非门 3 非运算 逻辑反 R A具备时 事件F不发生 A不具备时 事件F发生 A F 0 1 1 0 逻辑式 F A 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 A B 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 波形图注意事项 1 输入波形要穷举所有可能的输入组合 n个输入变量由2n种可能 2 输出波形与输入变化对应 基本逻辑关系波形 2 2逻辑代数的基本定律和基本规则 自等律 0 1律 重叠律 还原律 互补律 交换律 2 2 1 基本定律 摩根定律 A B C ABC ABC A B C 结合律 分配律 常用公式 1 A AB A 2 A AB A B 证 右 A A A B A AB AB A AB 左 2 2 2 基本规则 1 代入规则 等式二边某个变量用一个函数取代 等式仍成立 2 反演规则 求反函数 原变量反变量 反变量原变量 10 01 注意 1 运算顺序 保持原来的优先顺序2 n个变量的公共反号应保持不变 不是一个变量上的反号 例 3 对偶规则 01 10 2 3复合逻辑和常用逻辑门 2 3 1 复合运算 1 与非逻辑 与非门 3 与或非逻辑 或非门 与或非门 4 异或逻辑 AB F AB F F A B 5 同或逻辑 00001101110 00101000111 A B不同 F为1 A B相同 F为0 A B不同 F为0 A B相同 F为1 2 3 2 常用形式 1 与或式F AB CD 2 或与式F A B C D 3 与非与非式 4 或非或非式 5 与或非式 2 3 3正 负逻辑和有效电平 正逻辑 1 表示高电平 0 表示低电平 负逻辑 0 表示高电平 1 表示低电平 正 负逻辑相互转换 输入 输出加小圈 与 改为 或 或 改为 与 1 正 负逻辑 2 有效电平 有效电平规定 当逻辑符号的输入或输出引脚上没有小圈时 表示该引脚是高电平有效 当逻辑符号的输入或输出引脚上有小圈时 表示该引脚是低电平有效 如 2 4逻辑函数的两种标准形式 函数表达式 用 与 或 非 等运算来表达逻辑函数的表达式 1 最小项和标准与或式 1 最小项 n个变量的最小项是n个变量的 与项 其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次 最小项编号 原变量记为1 反变量记为0 相应的十进制数作为编号 ABC 011 3D m3 2 标准与或式 最小项表达式 具有唯一性 已知函数一般表达式求最小项表达式 1 化为与或式 不要求最简 2 配项 例 L AB BC m3 m6 m7 m3 m5 m6 m7 m 3 5 6 7 2 最大项和标准或与式 1 最大项 n个变量的最大项是n个变量的 或项 其中每一个变量都以原变量或反变量的形式出现一次 最大项编号 原变量记为0 反变量记为1 相应的十进制数作为编号 A B C 011 M3 2 标准或与式 最大项表达式 具有唯一性 例 已知函数的真值表如下表所示 试写出其最小项和最大项表达式 解 挑出函数值为1的变量取值组合 1写为原变量 0写为反变量 变量与变量之间是与 乘积项之间是或 从而求出最小项表达式 挑出函数值为0的变量取值组合 0写为原变量 1写为反变量 变量与变量之间是或 每一项之间是与 从而求出最大项表达式 2 5逻辑函数的化简方法 1 公式法化简 公式法化简 用逻辑代数中的公式和定理进行化简 最简 与或 或与 表达式 1 与项 或项 的个数最少 2 每个与项 或项 所包含变量的个数最少 例 化简 吸收 吸收 吸收 吸收 B CD 例 化简 2 图形法化简 卡诺图 特定意义的方格图 特点 1 每个小方格与一最小项对应 2 相邻方格逻辑相邻 逻辑相邻 两个最小项中有且仅有一个变量互为相反 ABC ABC ABC 为相邻 不相邻 二进制数对应的十进制数编号 变量卡诺图的特点 上下相邻 0 2 左右相邻 四角相邻 0 函数卡诺图的画法 8 10 4 6 2 10 8 1 根据真值表画出函数卡诺图 如 将输出变量为 1 的填入对应的小方格 为 0 的填 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 最小项之和形式给出 在对应的最小项处填入1 3 一般表达式形式给出首先将函数变成 与或 表达式 不必变成最小项之和 然后在变量卡诺图中 把每一个乘积项所包含的最小项处都填入1 剩下填0 L 化简的依据 两个相邻的小方格逻辑相邻 两者之和可消去一个变量 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 化简的方法 1 在卡诺图上标出逻辑值为1的最小项 其余为0 2 按相邻原则 画包围圈合并最小项 包围圈必须包含2n个小方格 3 将每个包围圈的表达式进行求和 画包围圈的要点 1 每个圈必须至少有一个新的小方格 2 每个最小项方格必须至少包围一次 可重复包围 3 圈的个数尽可能少 4 圈越大越好 5 圈 1 圈内是 与 圈与圈是 或 与或 圈 0 圈内是 或 圈与圈是 与 或与 常用的最简形式 1 最简与或式 圈 1 0写为反变量 1写为原变量 2 最简或与式 圈 0 0写为原变量 1写为反变量 3 最简与非 与非式 最简与或式 两次求反 摩根定理 4 最简或非 或非式 最简或与式 两次求反 摩根定理 5 最简与或非 圈 0 求反函数 L A B C D m 0 1 2 4 5 7 9 12 L 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 例 L A B C m 0 1 5 6 L 1 1 0 0 0 0 1 例 L A B C D M 4 12 指在对应位置填入0 其余填1 L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 L 0 0 0 0 L B C A C 1 1 1 1 1 具有无关项的逻辑函数的化简 含无关项函数的化简 1 K图中或真值表用符号 或d表示 2 表达式中