【备课精选】2012年高一数学新人教B版必修三课件：1.3《中国古代数学中的算法案例（二）》

1 3中国古代数学中的算法案例 二 秦九韶算法 设计求多项式f x 2x5 5x4 4x3 3x2 6x 7当x 5时的值的算法 并写出程序 一般的解决方案 x 5 f 2 x 5 5 x 4 4 x 3 3 x 2 6 x 7 f 上述算法一共做了解15次乘法运算 5次加法运算 优点是简单 易懂 缺点是不通用 不能解决任意多项式的求值问题 而且计算效率不高 有没有更高效的算法 用提取公因式的方法多项式变形为 f x 2x5 5x4 4x3 3x2 6x 7 x4 2x 5 4x3 3x2 6x 7 x3 2x 5 4 3x2 6x 7 2x 5 x 4 x 3 x 6 x 7 这样共作了5次加法 5次乘法 从内到外 如果把每一个括号都看成一个常数 那么变形后的式子中有哪些 一次式 x的系数依次是什么 若将x的值代入变形后的式子中 那么求值的计算过程是怎样的 计算的过程可以列表表示为 f x 2x 5 x 4 x 3 x 6 x 7 x 5 秦九韶算法适用一般的多项式P x anxn an 1xn 1 a1x a0的求值问题 P x anxn an 1xn 1 a1x a0 anxn 1 an 1xn 2 a1 x a0 anxn 2 an 1xn 3 a2 x a1 x a0 anx an 1 x an 2 x a1 x a0 令vk anx an 1 x an k 1 x an k 由此我们得到v1 v0 x an 1 v2 v1x an 2 v3 v2x an 3 vn vn 1x a0 这种计算方法 称之为秦九韶方法 直到今天 这种算法仍是世界上多项式求值的最先进的算法 这种方法的计算量仅为 乘法n次 加法n次 直接求和法 直接计算P x anxn an 1xn 1 a1x a0的值需要进行n次加法 而乘法需要1 2 3 n n n 1 2次 逐项求和法在直接求和法的基础上作了改进 先把多项式写成P x an xn an 1 xn 1 a1 x1 a0的形式 这样多项式的每一含x的幂的项都是ak与xk的乘积 k 1 2 n 在计算ak xk项时 把xk的值保存在变量c中 求ak 1 xk 1项时 只须计算ak 1 x c 同时把x c xk 1的值存入c中 继续下一项的运算 逐项求和法所用的乘法的次数是2n 1 加法是n次 当n 3时 通过比较 我们知道秦九韶的算法比其它的算法要优越得多 怎样用程序框图表示秦九韶算法 观察秦九韶算法的数学模型 计算vk时要用到vk 1的值 若令v0 an 我们可以得到下面的递推公式 v0 anvk vk 1 x an k k 1 2 n 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤 可以用循环结构来实现 开始 输入x n a0 a1 a2 an k k 1 s ak s x 输出S 结束 k n s an 开始 输入x n a0 a1 a2 an k 0 是 否 Scilab语言 x input x n input n result input Thefirstxishu fori 1 1 na input xishu result result x a enddisp result Theresultis n input n 输入多项式次数a zeros 1 n 1 定义带下标的变量fori 1 1 n 1a i input a i 顺次输入系数a0 a1 anendx input x 输入自变量的值y a n 1 fori 1 1 ny y x a n 1 i endy 例1 用秦九韶方法求多项式f x 1 x 0 5x2 0 16667x3 0 04167x4 0 00833x5在x 0