高中函数与集合知识点归纳

集合与函数基本性质知识点汇总 整理者:陈老师一、集合一）集合的有关概念1. 关于集合的元素的特征（1）元素的确定性：（2）元素的互异性：（3）元素的无序性：2. 元素与集合的关系；属于aA，不属于aA二）集合的表示方法：列举法；描述法；图示法；符号简记法。三）集合的基本关系：1、集合与集合之间的“包含”关系；2、集合与集合之间的 “相等”关系；，则中的元素是一样的，因此即3、真子集的概念4、空集的概念：不含有任何元素的集合称为空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。5、结论：1）、，且，则2）、点集与数集的交集是. （例：A =(x，y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则AB =）一般地，含n(n0)个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集的个数是-1，非空真子集的个数为四）集合的基本运算：1. 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集记作：AB；AB=x|xA，或xB ABABAVenn图表示：2. 交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。记作：AB；AB=x|A，且xB交集的Venn图表示3. 补集：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集，记作：CUA；CUA=x|xU且xA 说明：补集的概念必须要有全集的限制补集的Venn图表示4. 集合基本运算的一些结论：交集：ABA， ABB， AA=A， A=, AB=BA并集：AAB， BAB， AA=A， A=A, AB=BA补集（CUA）A=U， （CUA）A= 若AB=A，则AB，反之也成立 若AB=B，则AB，反之也成立若x（AB），则xA且xB 若x（AB），则xA，或xB6摩根定律：（AB）C = （AC）（AC）（AB）C = （AC）（AC）二、函数相关概念和性质：1、 函数概念、解析式、分段函数、复合函数概念：1）映射2)函数3）函数的表示 列表法：用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法 图象法：用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法 解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来，这种方法称为解析法4）分段函数 （1)分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数称为分段函数 （2)分段函数的定义域和值域：分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集5）复合函数:若y是u的函数，u又是x的函数，即，那么y关于x的函数，叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，u的取值范围是的值域。2、 函数定义域：（1） 确定函数定义域的原则（四条）（2） 复合函数定义域的求法：若已知的定义域为，求的定义域，其方法是：利用，求得的范围，此即的定义域。若已知的定义域为，求的定义域，其方法是：利用，求得的范围，此即的定义域3、函数值域求解方法：一、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。二、配方法（二次函数法）：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法三、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。四、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以用反函数法。五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、均为常数，且）的函数常用此法求解。六、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。八、利用函数的导数求最值：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值。九、利用重要的不等式：基本不等式求值域。十、图像法（数形结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。注：求函数的值域没有通性解法，只有根据函数解析式的结构特征来确定相应的解法。但不论哪种方法，都应遵循一个原则：定义域优先的原则。4、反函数：1）反函数的定义：2）原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.注意：，但.函数的反函数是，而不是.4、函数的单调性：1）定义；特征：增（减）函数的y值，随自变量x值的增大而增大（减小），即从左边往右边看增函数的图象是上升的，减函数图象是下降的2）若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.3）判断证明函数单调性的一般步骤是：设,是给定区间内的任意两个值，且0)（1），则的周期T=a；（2），或，或,或,则的周期T=2a；(3)，则的周期T=3a；(4)且，则的周期T=4a；(5),则的周期T=5a；(6)，则的周期T=6a.8. 分数指数幂 (1)（，且）.(2)（，且）.9. 根式的性质（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.10. 有理指数幂的运算性质(1).(2).(3).注：若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式.34.对数的换底公式 (,且,且, ).推论 (,且,且, ).11. 对数的四则运算法则若a0，a1，M0，