高中数学教参——函数图像

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.掌握函数图象画法2.会利用变换作函数图象3.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题4.会用数形结合思想、转化与化归思想解决函数问题.1.由于题型的限制江苏没有单独对图象的画法进行考查，但不单独考查，并不意味基本作图的方法不用掌握2.函数图象的考查主要是其应用如求函数的值域、单调区间，求参数的取值范围，判断非常规解的个数等，以此考查数形结合思想的运用，在每一年的江苏高考中大量存在，如2012高考T13、T18等.归纳 知识整合1利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换：yf(x)yf(xa)；yf(x)yf(x)b.(2)伸缩变换：yf(x) yf(x)；yf(x)yAf(x)(3)对称变换：yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)(4)翻折变换：yf(x)yf(|x|)；yf(x)y|f(x)|.探究1.函数yf(x)的图象关于原点对称与函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称一致吗？提示：不一致，前者是本身的对称，而后者是两个函数图象间的对称2一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称有何区别？提示：一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称不是一回事函数yf(x)的图象关于y轴对称是自身对称，说明该函数为偶函数；而函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，是两个函数的图象对称3若函数yf(x)的图象关于点(a,0)(a0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？提示：向左平移a个单位即可；解析式变为yf(xa)自测 牛刀小试1函数yx|x|的图象经描点确定后的形状大致是_(填序号)解析：yx|x|为奇函数，奇函数图象关于原点对称答案：2函数yln(1x)的图象大致为_解析：yln(1x)ln(x1)，其图象可由yln x关于y轴对称的图象向右平移一个单位得到答案：3已知下图(1)中的图象对应的函数为yf(x)，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是_(填序号)yf(|x|)；y|f(x)|；yf(|x|)；yf(|x|)解析：由图(1)和图(2)的关系可知，图(2)是由图(1)在y轴左侧的部分及其关于y轴对称图形构成的，故符合答案：4(2012盐城调研)若yf(x)是定义在R上周期为2的周期函数，且f(x)是偶函数，当x0,1时，f(x)2x1，则函数g(x)f(x)log5|x|的零点有_个解析：分别作出函数yf(x)和ylog5|x|的图象，由此观察知，在y轴右侧，有4个交点，它们的横坐标分别位于区间(1,2)、(2,3)、(3,4)之中，第四个零点恰好为5，同理在y轴左侧，也有4个交点，故共有8个答案：85(2012镇江模拟)函数f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，那么不等式0的解集为_解析：利用函数f(x)的图象关于y轴对称和余弦函数ycos x的图象可知不等式的解集为.答案：作函数的图象例1分别画出下列函数的图象：(1)y|lg(x1)|；(2)y2x11；(3)yx2|x|2.自主解答(1)首先作出ylgx的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到ylg(x1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y|lg(x1)|.如图(1)所示(实线部分)(2)y2x11的图象可由y2x的图象向左平移1个单位，得y2x1的图象，再向下平移一个单位得到，如图(2)所示(3)yx2|x|2，其图象如图(3)所示画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.1分别画出下列函数的图象(1)y|x24x3|；(2)y；(3)y10|lg x|.解：(1)先画函数yx24x3的图象，再将其x轴下方的图象翻折到x轴上方，如图(1)(2)y2.可由函数y向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图(2)(3)y10|lg x|如图(3)识图与辨图例2(1)(2012山东高考)函数y的图象大致为_(2)已知定义在区间0,2上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为_自主解答(1)yf(x)，f(x)f(x)f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故错；当x从正方向趋近0时，yf(x)趋近，故错；当x趋近时，yf(x)趋近0，故错(2)法一：由yf(x)的图象知f(x)当x0,2时，2x0,2，所以f(2x)故yf(2x)图象应为.法二：当x0时，f(2x)f(2)1；当x1时，f(2x)f(1)1.观察各图象，可知图象正确答案(1)(2)寻找图象与函数解析式之间的对应法则的方法(1)知图选式：从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；从图象的变化趋势，观察函数的单调性；从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；从图象的循环往复，观察函数的周期性利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项(2)知式选图：从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从函数的奇偶性，判断图象的对称性从函数的周期性，判断图象的循环往复利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口2函数y2sin x的图象大致是_解析：当x0时，y0，故错；当x2时，y0，故错答案：3(2012杭州模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是_f(x)x22ln |x|；f(x)x2ln |x|；f(x)|x|2ln |x|；f(x)|x|ln |x|.解析：由函数图象可得，函数f(x)为偶函数，且x0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，2,1，由此可得仅函数f(x)x2ln |x|符合条件答案：函数图象的应用例3(2012天津高考)已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_自主解答先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解根据绝对值的意义，y在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示根据图象可知，当0k1或1k0，且a1，f(x)x2ax，当x(1,1)时，均有f(x)，则实数a的取值范围是_解析：由题知，当x(1,1)时，f(x)x2ax，即x2ax.在同一坐标系中分别作出二次函数yx2，指数函数yax的图象，如图，当x(1,1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需a2且a1.故实数a的取值范围是a1或1a2.答案：(1,2 1个易错点图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错3个关键点正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：(1)正确求出函数的定义域；(2)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如yx的函数；(3)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程3种方法识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：(1)定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；(2)定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题. 易误警示作图不准确或数与形不吻合致误典例(2011新课标全国卷)函数y的图象与函数y2sin x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于_解析由题意知y的图象是双曲线，且关于点(1,0)成中心对称，又y2sin x的周期为T2，且也关于点(1,0)成中心对称；因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称，再结合图象(如图所示)可知两图象在2,4上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x1x2x8428.答案8(1)如果作出的函数图象比较粗糙，极易造成区间(1,2)上的两个交点遗漏，从而致错(2)如果作函数y的图象不够准确，只注意到图象过点，极易忽视区间上的交点，从而致错(3)如果不能正确地挖掘函数y及y2sin x(2x4)的图象均关于点(1,0)对称，从而无法求出交点横坐标的和(4)解决此类问题，避免在解题过程中出现失误，应关注以下几点：平时涉及函数图象的问题时，要规范准确地画出图象，切忌不用尺规草草完成加强通过解析式分析其图象的对称性、周期性等性质的训练以提高解决这类问题的能力训练由图分析其函数性质的解题技巧1已知函数f(x)若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为_解析：因为方程f(x)a0的根，即是直线xa与函数f(x)的图象交点的横坐标，画出函数图象进行观察可以得知，a的取值范围是(0,1)答案：(0,1)2已知a，b，c依次是方程2xx0，log2x2x和logxx的实数根，则a，b，c的大小关系是_解析：由2xx0，得2xx，分别作出y2x，yx的图象，如图(1)，两图象交点的横坐标即为a，可得a0.同理，对于方程log2x2x，可得图(2)，得1b2；对于方程logxx，可得图(3)，得0c1，所以acb.答案：acb一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1函数y的图象大致是_解析：当x0的解集是_解析：由题图可知，当0x0，g(x)0；当x0，g(x)0；当1x2时，f(x)0，g(x)2时，f(x)0，g(x)0，因此f(x)g(x)0的解集是.答案：6(2012烟台模拟)f(x)的定义域为R，且f(x)若方程f(x)xa有两个不同实根，则a的取值范围为_解析：x0时，f(x)2x1,0x1时，1x10，f(x)f(x1)2(x1)1，故x0时，f(x)是周期函数如图欲使方程f(x)xa有两个不同的实数解，即函数f(x)的图象与直线yxa有两个不同的交点，故a|xa|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是_解析：在同一坐标系中画出函数f(x)2x2，g(x)|xa|的图象，如图所示若a0，则其临界情况为折线g(x)|xa|与抛物线f(x)2x2相切，由2x2xa可得x2xa20，由14(a2)0，解得a；若a0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0,2)，此时a2.结合图象可知，实数a的取值范围是.答案：8(2012苏州模拟)已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_解析：令x60，得x12.因为a，b，c互不相等，令abc，作出f(x)的图象令f(a)f(b)f(c)t，则根据图象可得1a10，bc21224，故abc(25,34)答案：(25,34)9(2012南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，若直线ykx1与曲线y有四个公共点，则实数k的取值范围是_解析：由题意得y是偶函数，且y作出曲线的图象(如图所示)当k0时，直线ykx1与曲线y有四个公共点；当k0时，要使它们有四个公共点，则需ykx1与y(x1)有一个公共点，此时kx1，即方程kx2x20有两个相等的实数解，从而18k0，故k；当k0时，根据对称性可得k.从而满足条件的k的取值范围是.答案：10(2012常州模拟)对于函数yf(x)(xR)，给出下列命题：在同一直角坐标系中，函数yf(1x)与yf(x1)的图象关于直线x0对称；若f(1x)f(x1)，则函数yf(x)的图象关于直线x1对称；若f(1x)f(x1)，则函数yf(x)是周期函数；若f(1x)f(x1)，则函数yf(x)的图象关于点(0,0)对称其中所有正确命题的序号是_解析：对于：函数yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称，即直线x0对称又f(1x)f(x1)，即yf(1x)的图象是由yf(x)的图象向右平移1个单位得到的，同理yf(x1)的图象是由yf(x)的图象向右平移1个单位得到的，所在函数yf(1x)与yf(x1)的图象关于直线x1对称，所以命题错误；对于：若f(1x)f(x1)，则令t1x，则x1t，所以f(t)f(t)，即f(x)f(x)所以其图象关于直线x0对称，所以命题错误；对于：令t1x，则xt1，所以x1t2.由f(1x)f(x1)得f(t)f(t2)，所以f(x)是周期为2的周期函数，所以命题正确；对于：若f(1x)f(x1)，则令t1x，则x1t，所以f(t)f(t)，其图象关于点(0,0)对称，所以命题正确综上所述，正确答案：二、解答题(本大题共4小题，共60分)11(满分14分)作出下列函数的图象：(1)y|x22x1|，(2)yx22|x|1解析：(1)当x22x10时，yx22x1，当x22x10时，yx22x1，作图步骤：作出函数yx22x1的图象，将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折(上方部分不变)，即得y|x22x1|的图象，图象(1)所示(2)当x0时，yx22x1，当x0时，yx22x1.作图步骤：作出yx22x1的图象；y轴右方部分不变，再将右方部分以y轴为对称轴向左翻折，即得yx22|x|1的图象，如图(2)所示12(满分14分)(2013昆山模拟)已知函数f(x)x|mx|(xR)，且f(4)0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集；(5)求当x1,5)时函数的值域解：(1)f(4)0，4|m4|0，即m4.(2)f(x)x|4x|f(x)的图象如图所示(3)f(x)的单调递减区间是2,4(4)由图象可知，f(x)0的解集为x|0x4(5)f(5)54，由图象知，函数在1,5)上的值域为0,5)13(满分16分)设函数f(x)x的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)(1)求g(x)的解析式；(2)若直线ym与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标解：(1)设点P(x，y)是C2上的任意一点，则P(x，y)关于点A(2,1)对称的点为P(4x,2y)，代入f(x)x，可得2y4x，即yx2.g(x)x2.(2)由消去y，得x