工科数学分析-2(5)实数基本定理

1,单调有界收敛定理,第五节 实数基本定理,第一章 函数与极限,闭区间套定理与致密性定理,有限覆盖定理,柯西收敛原理,小结 思考题 作业,2,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,若数列单调增加(单调减少) , 有上 (下) 界, 则数列极限存在.,单调有界,有极限,有界,一、单调有界收敛定理,定理1 (单调有界收敛定理),3,证明:,设数列,单调增加有上界,利用确界原理,从而有上确界.,又由数列单调增加得到,故,4,函数极限也有类似的准则.,对于自变量的,不同变化过程,定理1有不同的形式.,定理1 (单调有界收敛定理),若函数,则极限,自己证明.,5,现证明数列xn单调增加,且有界.,利用,则,作为定理1的应用,6,即,单调增加.,又因为,即,即,有上界.,故,收敛.,无理数,7,(2)再证明,不妨假设,则存在,从而,结合夹逼准则,可证,8,(3) 考虑,令,可证明,故,得到,9,例1 判断下列数列的收敛性,10,例2 设,证明:,提示:,11,例3,证,极限存在.,因为,(1),存在.,所以,用归纳法可以证明,是单调增加的;,两端除以,于是有,是有界的;,12,另证,显然,(1),是单调增加的;,(2),数列的极限值,用归纳法可证明,是有界的;,存在.,13,(舍去),(3),极限存在.,解得,14,二、闭区间套定理与致密性定理,定理2 (闭区间套定理),设 是一串闭区间,满足条件:,则存在唯一的数 ,使得,且 是所有闭区间的唯一公共点,即,15,证明:,分析,(i) 由条件(1)知道:,单调有界,从而有极限,即,(ii) 有条件(2)知道,(iii) 设所有区间还有一个公共点,利用极限保序性,可得:,16,注意:,1. 在解决数学问题时,我们往往先找出解的大致范围,然后逐步缩小这个范围,这时就要用到闭区间套定理.,2. 闭区间是很重要的.,例4 考察开区间列,显然,但是这个区间列并没有公共交点.,17,例5 设有两个正数,作,证明:,存在且相等.,分析:只要证明,满足闭区间套定理的条件即可.,18,在数列 中依次任意抽出无穷多项:,所构成的新数列,这里 是原数列中的第 项,在子数列中是,第k项,子数列.,叫做数列,?,注意,对于一般的数列,我们先介绍子列的概念.,上面的定理只适合于特殊的数列,19,*,证,是数列,的任一子数列.,因为,则,成立.,于是当,时, 有,从而有,由此证明,*,定理3,设数列,现取正整数 K=N,则,20,由此定理可知,但若已知一个子数列发散,或有两个子数列,敛于a .,收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的.,一般不能断定原数列的收敛性;,还可以证明:,数列,的奇子数列,和偶子数列,均收敛于同一常数a 时,则数列,也收,仅从某一个子数列的收敛,21,例6,试证数列 不收敛.,证,因为 的奇子数列,收敛于,而偶子数列,收敛于,所以数列,不收敛.,22,现在我们利用闭区间套定理来证明实数的基本定理之一-致密性定理.,定理4 (Bolzano-Weierstrass致密性定理),每个有界数列都有收敛的子列.,分析:,设 有界,希望找到一个子列收敛于点,则在 的任意邻域内含有 中的无穷多项.,于是考虑用闭区间套定理,将上性质传递下去.,23,证明: 思路,选含有 中无穷多项的区间为,(2) 将此性质传递下去,利用闭区间套得到实数,(3) 选取子列趋于,24,注意:,1. 在解决数学问题时,我们常常希望满足某种,条件的无穷多个数学对象聚集在某点附近,这时就有可能应用到列紧性定理.,2. 列紧性定理在实数系中成立,在有理数系中未必成立.,25,如,可以证明:,它的任意一个子列都收敛于,但在有理数系中无收敛的子列.,26,3. 当数列无界时,也有类似的结论.,定理,若 是无界数列,则它必有一个子列趋于无穷.,27,三、柯西收敛准则,定义,设 是一个数列,如果,有,则称 为柯西(Cauchy)数列或基本列,28,定理5 (柯西收敛准则),数列 收敛的充要条件是:,为柯西数列.,证充分性时,先证数列 有界.,再利用致密性定理,知道有收敛的子列.,最后证明子列的极限就是该数列的极限.,29,定理5 (柯西收敛准则),收敛,结论:,不收敛,30,例7 设,证明:,收敛.,例8 证明调和数列,没有有限的极限.,31,四、有限覆盖定理,定理 (有限覆盖定理),设开区间族J是闭区间 的一个开覆盖,那么由J中必可选出有限个开区间,这有限个开区间已经覆盖了整个区间,分析:,反证.利用闭区间套定理,将不能被有限个开区间覆盖的性质传递下去,得到矛盾.,参看数学分析书.