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1,极限的性质,第四节 极限的性质与 两个重要极限,第一章 函数与极限,重要极限,重要极限,小结 思考题 作业,2,定理1(极限的唯一性),有极限,若在自变量的某种变化,趋势下,则极限值必唯一.,一、极限的性质,3,定理1(极限的唯一性),证,由定义,故收敛数列极限唯一.,才能成立.,使得,4,定理2(局部有界性),f(x)有极限,则f(x)在 上有界;,f(x)有,极限,5,定理2(收敛数列的有界性),证,由定义,有界性是数列收敛的必要条件,推论,收敛的数列必定有界.,无界数列必定发散.,不是充分条件.,6,例1,证,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,反证法,假设数列,收敛，,则有唯一极限a 存在.,但却发散.,7,定理3(局部保号性),特别,8,推论1,则必存在,的某去心邻域,在该邻域内恒有,推论2,则必存在,的某去心邻域,在该邻域内恒有,推论3,9,定理3(保号性),如果,且,证,由定义,对,有,从而,10,定理4 (极限不等式或保序性),设极限,都存在,且存在,的某去心邻域,在该邻域内恒有,则,11,定理4(极限不等式或保序性),给定数列,若从某项起有,且,则,用反证法可证.,问:,考虑,12,如果,那末,存在,且等于A.,有,定理5 (夹逼性),13,证,定理5(夹逼性或夹逼法则),满足下列条件:,如果数列,那末数列,的极限存在,且,14,上两式同时成立,15,例2 求,提示:,16,例3,解,由夹逼定理得,17,注,利用夹逼法则是求极限的一个重要手段,将复杂的函数 f (x)做适当的放大和缩小化简,找出有共同极限值又容易求极限的函数 g(x),和h(x)即可.,18,解,由于,以及,夹逼定理,练习,19,作为夹逼法则 的应用,二、两个重要极限,20,即,夹逼定理,该极限的特点:,21,?,一般有,问,正确,22,例4 求下列极限,23,练习,解,24,现证明数列xn单调增加,且有界.,利用,则,另一个重要极限,25,即,单调增加.,又因为,即,即,有上界.,利用后面要讲的单调有界准则,得到数列,收敛.,无理数,26,(2)再证明,不妨假设,则存在,从而,结合夹逼准则,可证,27,(3) 考虑,令,可证明,故,得到,28,“以1加非零无穷小为底,指数是无穷小的倒数,其极限为数e”.,该极限的特点:,(2) 括号中1后的变量(包括符号)与幂互为倒数.,若极限呈,但第二个特点不具备,通常凑指数幂使(2) 成立.,这个重要极限应灵活的记为:,则,一般有,29,问,?,正确解法,则,由于当,故,从而原式,30,例4 求下列极限,31,例5 证明:,特别,特别,32,2. 两个重要极限,极限的唯一性,有界性,保号性,保序性,夹逼准则;,三、小结,1. 函数极限与数列极限的性质,33,1. 选择题,D,练习,C,34,A,解,或,35,思考题,1. 求极限,2. 求极限,36,思考题解答,2. 原式=,37,作业,习题2-4 (5
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