工科数学分析-3(2)求导法则

导数与微分,1,函数的和、差、积、商的求导法则,第二节 函数的求导法则,第二章 导数与微分,复合函数的求导法则,反函数的求导法则,高阶导数,小结 思考题 作业,2,定理1,并且,则它们的和、差、积、商,在点 x处也可导,一、函数的和、差、积、商的求导法则,3,证,由乘积的导数:,得,故,特别,即,4,推论,且,5,例1,求下列函数的导数.,6,例2,解,同理可得,即,7,例3,解,同理可得,即,8,练习,解,法一,法二,注,在进行求导运算中,且也能提高结果的准,这样使求导过程简单,尽量先化简再求导,确性.,9,?,用求导法则与用定义求导数时, 结果有时不一致,这是为什么?,如已知,无意义,解,所以,不存在.,上述解法有问题吗?,注意问题出在,不连续.,因此,可能在不连续点处不代表该点处的导数值.,用定义!,10,定理2,二、复合函数的求导法则,可导,且其导数为,或,链导法则,因变量对自变量求导,等于因变量对中间,变量求导,乘以中间变量对自变量求导.,关键:会将复杂的函数分解为简单函数.,11,例4 求下列函数的导数.,12,推广,例5 求下列函数的导数.,13,求导数时,要综合运用函数的和,差积,商的求导法则,与复合函数的求导法则.,例6 求下列函数的导数.,14,或,定理3,且,三、反函数的求导法则,15,求反函数导数的步骤:,(1) 将所给函数 转化为反函数,满足:单调,可导,且,(2) 由法则知道:,(3) 两边在x取值,即,16,例7,解,同理可得,单调、可导,直接函数,反函数,17,如果利用三角学中的公式:,也可得公式,也可得公式,18,例8,解,特别地,19,1. 常数和基本初等函数的导数公式,基本求导法则与导数公式,20,2. 函数的线性组合、积、商的求导法则,都可导, 则,3. 反函数的求导法则,或,且,21,4. 复合函数的求导法则,初等函数的导数未必为初等函数.,利用上述公式及法则初等函数求导问题,可完全解决.,22,有些初等函数在某些点处的导数不能用上述公式和法则去求,只能从定义出发计算.,注意:,例9 设,23,例10,解,所以,24,例11,解,25,例12,解,26,练习,求下列函数的导数.,27,解,则,练习,上式中,是函数 f,对括号中的中间,变量求导,?,28,答案,练习,练习,解,29,四、高阶导数,问题:变速直线运动的加速度.,定义,高阶导数也是由实际需要而引入的.,这就是二阶导数的物理意义,1、高阶导数的定义,存在,二阶导数.,记作,30,三阶导数的导数称为,二阶和二阶以上的导数统称为,二阶导数的导数称为,高阶导数.,三阶导数,四阶导数,n阶导数,记作,一般地,31,例13,解,由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数,只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去,而不需要新的方法.,32,例14 设,均二阶可导,求复合函数,的二阶导数.,例15 设,是三阶可导的函数,设,33,例16,解,2、几个基本初等函数的n阶导数,则,34,例17,解,例18,解,35,例19,解,同理可得,即,36,求n阶导数时, 关键要寻找规律,另外在,的规律性,写出n 阶导数.,便可看出规律;,一般求至三阶,求导过程中不要急于合并,分析结果,37,求n阶导数需要运用技巧,几个常用高阶导数公式,函数的n阶导数公式,使问题简化.,尽可能化为求某些熟知,(通过四则运算,变量代换,恒等变形),38,例20,解,若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律,所以将式子恒等变形.,39,莱布尼兹公式,可类比着牛顿二项公式加强记忆,则,莱布尼兹(Leibniz,16461727)德国数学家.,3、莱布尼兹公式,40,例21,解,则由莱布尼兹公式知,设,41,例22 证明:,满足:,并求,42,(注意成立条件);,复合函数的求导法则,五、小结,不能遗漏);,(对于复合函数,反函数的求导法则,层的复合结构,注意一层,函数的积、商求导法则,注意,记住基本初等函数的导数公式,高阶导数,莱布尼兹公式,43,思考题(是非题),非,例如,处处可导,处不可导,但复合函数,处处可导.,44,例,证,由于斜率相等,知二切线平行.,(1) 求交点,分别为曲线在A, B点,的切线斜率.,(2) 求导