工科数学分析-3(6)泰勒公式

1,几个初等函数的麦克劳林公式,小结 思考题 作业,泰勒(Taylor)（英）1685-1731,近似计算与误差估计,其它应用,第六节 泰勒(Taylor)公式,第三章 微分中值定理与导数的应用,泰勒公式的建立,2,简单的,多项式函数,特点,(1)易计算函数值;,(2)导数与积分仍为多项式;,(3)多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及导数值确定.,而其系数,?,用怎样的多项式去逼近给定的函数,误差又如何呢,?,一、泰勒公式的建立,熟悉的函数来近似代替复杂函数., 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,3,一次多项式,4,（如下图）,如,以直代曲,5,需要解决的问题,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,不足,1. 精确度不高；,2. 误差不能定量的估计.,希望,一次多项式,用适当的高次多项式,误差是 的高阶无穷小,问题,(1) 系数怎么定?,(2) 误差(如何估计)表达式是什么?,6,猜想,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,1.n次多项式系数的确定,7,假设,8,同理可得,即,9,从而,10,说明:,有直到n阶导数时,多项式,有相同的函数值及,直到n阶导数值.,从而,称为,n阶泰勒多项式.,称为,泰勒系数.,11,公式,称为,n阶泰勒公式.,称为n阶余项.,注意:,12,下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式.,定理1 (带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式),设,则,带有皮亚诺型余项n阶泰勒公式,13,证明: 对于,连续地用n-1次落必达法则,最后一次用定义即可证明.,14,下面的定理将指明:,可以用它的泰勒多项式逼近,函数,并估计它的误差.,15,定理2 (带拉格朗日(Largrange)余项的泰勒公式),设,则,泰勒(Taylor)中值定理,16,分析,即证,也即证,其中,17,证,令,由要求,18,柯西定理,柯西定理,用1次,用2次,19,如此下去,得,用n+1次柯西定理,注意到,即,可得,20,拉格朗日型余项,21,注意:,Taylor公式为,即为Lagrange中值公式.,则,22,特别,若,则,说明:,随n的增大可任意小,因此可选取适当的n,使近似代替达到,要求的任意精度.,23,皮亚诺型余项,当对余项要求不高时,可用皮亚诺型余项,带有皮亚诺型余项,(4) 展开式是唯一的,24,(5)在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即,按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为:,n阶泰勒公式,麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式,25,麦克劳林(Maclaurin)公式,近似公式,误差估计式为,带有拉格朗日型余项,带有皮亚诺型余项,26,解,代入上公式,得,二、几个初等函数的麦克劳林公式,例1,麦克劳林公式.,于是有,的近似表达公式,27,有误差估计式,得到,其误差,其误差,28,解,例2,因为,所以,29,误差为,30,泰勒多项式逼近,31,类似地,有,32,解,练习,一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.,的一阶泰勒公式是,其中,三阶泰勒公式是,33,常用函数的麦克劳林公式,34,35,36,例3,解,用间接展开的方法较简便.,两端同乘x,得,带拉格朗日型余项的公式展开问题,一般不能用这种方法.,37,须解决问题的类型:,(1) 已知x 和误差界,要求确定项数n;,(2) 已知项数n和x,计算近似值并估计误差;,(3) 已知项数 n 和误差界,确定公式中 x 的,三、近似计算与误差估计,适用范围.,38,例4,解,已知x 和误差界,要求确定项数n,39,满足要求.,40,四、其它应用,常用函数的泰勒展开求,例5,型未定式,解,41,求极限,练习,42,利用泰勒公式可以证明不等式 (多个点的函数值的关系).,例6,证明:,提示:,凸函数的定义,43,例7 设,上的最小值.,求证:,提示:,利用泰勒公式可以证明不等式 (有关高阶导与函数值的关系).,44,例8. 设,求证:,提示:,45,利用泰勒公式可以证明不等式 (有关高阶导与函数值的关系).,例9,证明:,提示:,46,五、小结,多项式局部逼近.,了解泰勒(Taylor)公式在近似计算中的应用.,泰勒(Taylor)